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1、专题能力训练专题能力训练 14 空间中的平行与垂直空间中的平行与垂直 一、能力突破训练 1.如图,O为正方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是( ) A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1 2.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 P,点 P 在AEF 内的射影为 O.则下列说法正确的是( ) A.O是AEF的垂心 B.O 是AEF 的内心 C.O是AEF的外心 D.O 是AEF 的重心 3., 是两个平面,m,n是两条直
2、线,有下列四个命题: 如果 mn,m,n,那么 . 如果 m,n,那么 mn. 如果 ,m,那么 m. 如果 mn,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 4.已知正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC的中点,动点 P 在表面上运动,并且总保持 PEAC,则动点 P的轨迹的周长为 . 5.下列命题中正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号) 空间中三个平面 ,若 ,则 ; 若 a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与 a,b,c 都相交; 若球 O与棱长为 a 的正四面体各面都相切,则该球的表面
3、积为 a2; 6 在三棱锥 P-ABC中,若 PABC,PBAC,则 PCAB. 6. 在正三棱柱 A1B1C1-ABC 中,点 D 是 BC 的中点,BC=BB1.设 B1DBC1=F. 2 求证:(1)A1C平面 AB1D; (2)BC1平面 AB1D. 7. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是ABC=60 的菱形,M为 PC 的中点. (1)求证:PCAD; (2)证明在 PB上存在一点 Q,使得 A,Q,M,D 四点共面; (3)求点 D到平面 PAM的距离. 8.(2018全国,理 18) 如图,四边形 ABCD
4、 为正方形,E,F 分别为 AD,BC的中点,以 DF为折痕把DFC 折起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PFBF. (1)证明:平面 PEF平面 ABFD; (2)求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值. 二、思维提升训练 9.(2018浙江,8)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段 AB上的点(不含端点). 设 SE 与 BC所成的角为 1,SE 与平面 ABCD 所成的角为 2,二面角 S-AB-C 的平面角为 3,则( ) A.123B.321 C.132D.231 10. 如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADA
5、B,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E 2 是 DD1的中点,F是平面 B1C1E 与直线 AA1的交点. (1)证明:EFA1D1;BA1平面 B1C1EF; (2)求 BC1与平面 B1C1EF 所成角的正弦值. 11.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 CD 的中点,F 为 AE 的中点.现在沿 AE 将ADE 向上折 起,在折起的图形中解答下列问题: (1)在线段 AB上是否存在一点 K,使 BC平面 DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由; (2)若平面 ADE平面 ABCE,求证:平面 BDE平面 ADE. 12.已知正三棱柱 ABC-A
6、1B1C1中,AB=2,AA1=,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1上. 3 (1)当 AEEA1=12时,求证:DEBC1; (2)是否存在点 E,使三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1B1C1体积的 ?若存在,求 AE 的长,若不 1 3 存在,请说明理由. 13.如图,在四边形 ABCD 中(如图),E 是 BC的中点,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.将ABD(如图 52 )沿直线 BD 折起,使二面角 A-BD-C 为 60(如图). (1)求证:AE平面 BDC; (2)求异面直线 AB与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD
7、 的距离. 专题能力训练 14 空间中的平行与垂直 一、能力突破训练 1.D 解析 易知 A1C1平面 BB1D1D. B1O平面 BB1D1D,A1C1B1O,故选 D. 2.A 解析 如图,易知 PA,PE,PF 两两垂直, PA平面 PEF,从而 PAEF, 而 PO平面 AEF,则 POEF, EF平面 PAO,EFAO. 同理可知 AEFO,AFEO, O为AEF 的垂心. 3. 解析 对于,若 mn,m,n,则 ,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为 n,所 以过直线 n作平面 与平面 相交于直线 c,则 nc.因为 m,所以 mc,所以 mn,故正确;对于 ,由两个平面平行的性
8、质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的 命题有. 4 解析 . 2+6 如图,取 CD的中点 F,SC的中点 G,连接 EF,EG,FG. 设 EF 交 AC 于点 H,连接 GH,易知 ACEF. 又 GHSO, GH平面 ABCD, ACGH. 又 GHEF=H,AC平面 EFG. 故点 P 的轨迹是EFG,其周长为 2+6. 5. 解析 中也可以 与 相交;作平面与 a,b,c 都相交;中可得球的半径为 r=a;中由 6 12 PABC,PBAC 得点 P在底面ABC 的射影为ABC的垂心,故 PCAB. 6.证明 (1)连接 A1B,设 A1B交 AB1于点
9、 E,连接 DE. 点 D是 BC 的中点,点 E是 A1B 的中点, DEA1C. A1C平面 AB1D,DE平面 AB1D, A1C平面 AB1D. (2)ABC 是正三角形,点 D 是 BC 的中点, ADBC. 平面 ABC平面 B1BCC1,平面 ABC平面 B1BCC1=BC,AD平面 ABC, AD平面 B1BCC1. BC1平面 B1BCC1,ADBC1. 点 D是 BC 的中点,BC=BB1, 2 BD=BB1. 2 2 ,RtB1BDRtBCC1, 1 = 1 = 2 2 BDB1=BC1C. FBD+BDF=C1BC+BC1C=90. BC1B1D. B1DAD=D,BC
10、1平面 AB1D. 7.(1)证法一 取 AD 的中点 O,连接 OP,OC,AC,依题意可知PAD,ACD 均为正三角形, 所以 OCAD,OPAD. 又 OCOP=O,OC平面 POC,OP平面 POC, 所以 AD平面 POC. 又 PC平面 POC,所以 PCAD. 证法二 连接 AC,依题意可知PAD,ACD 均为正三角形. 因为 M为 PC 的中点,所以 AMPC,DMPC. 又 AMDM=M,AM平面 AMD,DM平面 AMD, 所以 PC平面 AMD. 因为 AD平面 AMD,所以 PCAD. (2)证明 当点 Q为棱 PB 的中点时,A,Q,M,D 四点共面,证明如下: 取棱
11、 PB 的中点 Q,连接 QM,QA. 因为 M为 PC 的中点,所以 QMBC. 在菱形 ABCD 中,ADBC,所以 QMAD,所以 A,Q,M,D 四点共面. (3)解 点 D到平面 PAM的距离即点 D 到平面 PAC 的距离. 由(1)可知 POAD,又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PO平面 PAD, 所以 PO平面 ABCD,即 PO 为三棱锥 P-ACD 的高. 在 RtPOC 中,PO=OC=,PC=, 36 在PAC 中,PA=AC=2,PC=,边 PC 上的高 AM=, 62- 2= 10 2 所以PAC 的面积 SPAC= PCAM= 1
12、2 1 2 6 10 2 = 15 2 . 设点 D到平面 PAC 的距离为 h,由 VD-PAC=VP-ACD,得 SPACh= SACDPO. 1 3 1 3 因为 SACD=22=,所以h=,解得 h=, 3 4 3 1 3 15 2 1 3 33 215 5 所以点 D 到平面 PAM的距离为 215 5 . 8.(1)证明 由已知可得,BFPF,BFEF, 所以 BF平面 PEF. 又 BF平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD. (2)解 作 PHEF,垂足为 H. 由(1)得,PH平面 ABFD. 以 H为坐标原点,的方向为 y 轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直
13、角坐标系 H-xyz. 由(1)可得,DEPE.又 DP=2,DE=1,所以 PE=又 PF=1,EF=2,故 PEPF. 3. 可得 PH=,EH= 3 2 3 2. 则 H(0,0,0),P,D为平面 ABFD 的法向量. ( 0,0, 3 2) (- 1, - 3 2 ,0 ), =( 1, 3 2, 3 2), =( 0,0, 3 2) 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 sin =| | = 3 4 3 = 3 4 . 所以 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 . 二、思维提升训练 9.D 解析 当点 E不是线段 AB的中点时,如图,点 G 是 AB 的中点,SH
14、底面 ABCD,过点 H 作 HF AB,过点 E作 EFBC,连接 SG,GH,EH,SF. 可知 1=SEF,2=SEH,3=SGH. 由题意可知 EFSF, 故 tan 1=tan 3. = 13. 又 tan 3=tan 2,32.132. 当点 E 是线段 AB 的中点时,即点 E与点 G 重合,此时 1=3=2. 综上可知,132. 10.(1)证明 因为 C1B1A1D1,C1B1平面 ADD1A1, 所以 C1B1平面 ADD1A1. 因为平面 B1C1EF平面 ADD1A1=EF, 所以 C1B1EF.所以 A1D1EF. 因为 BB1平面 A1B1C1D1,所以 BB1B1
15、C1. 因为 B1C1B1A1,所以 B1C1平面 ABB1A1, 所以 B1C1BA1. 在矩形 ABB1A1中,F 是 AA1的中点, 即 tanA1B1F=tanAA1B=,即A1B1F=AA1B.故 BA1B1F. 2 2 又 B1FB1C1=B1,所以 BA1平面 B1C1EF. (2)解 设 BA1与 B1F 的交点为 H,连接 C1H(如图). 由(1)知 BA1平面 B1C1EF, 所以BC1H 是 BC1与平面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 ABB1A1中,AB=,AA1=2,得 BH= 2 4 6. 在 RtBHC1中,BC1=2,BH=, 5 4 6 得 sinBC1
16、H= 1 = 30 15 . 所以 BC1与平面 B1C1EF所成角的正弦值是 30 15 . 11. (1)解 线段 AB 上存在一点 K,且当 AK= AB 时,BC平面 DFK. 1 4 证明如下:设 H 为 AB的中点,连接 EH,则 BCEH. 又因为 AK= AB,F为 AE 的中点, 1 4 所以 KFEH,所以 KFBC. 因为 KF平面 DFK,BC平面 DFK, 所以 BC平面 DFK. (2)证明 因为 F为 AE的中点,DA=DE=1, 所以 DFAE.因为平面 ADE平面 ABCE, 所以 DF平面 ABCE. 因为 BE平面 ABCE,所以 DFBE. 又因为在折起
17、前的图形中 E 为 CD 的中点,AB=2,BC=1, 所以在折起后的图形中 AE=BE=, 2 从而 AE2+BE2=4=AB2,所以 AEBE. 因为 AEDF=F,所以 BE平面 ADE. 因为 BE平面 BDE,所以平面 BDE平面 ADE. 12.(1)证明 因为三棱柱 ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以ABC 是正三角形. 因为 D是 AC 的中点,所以 BDAC. 又平面 ABC平面 CAA1C1,所以 BDDE. 因为 AEEA1=12,AB=2,AA1=, 3 所以 AE=,AD=1, 3 3 所以在 RtADE 中,ADE=30. 在 RtDCC1中,C1DC=60, 所
18、以EDC1=90,即 DEDC1. 因为 C1DBD=D,所以 DE平面 BC1D, 所以 DEBC1. (2)解 假设存在点 E满足题意. 设 AE=h,则 A1E=-h, 3 所以-SAED-=2h-(-h)-h. 1= 四边形11 1 11 3 1 2 3 3 2 = 3 2 + 1 2 因为 BD平面 ACC1A1, 所以h,又 V棱柱=2=3,1- = - 1= 1 3( 3 2 + 1 2) 3= 1 2 + 3 6 1 2 33 所以h=1,解得 h=, 1 2 + 3 6 33 故存在点 E,当 AE=,即 E与 A1重合时,三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1
19、B1C1体积的 3 1 3. 13. (1)证明 如图,取 BD 的中点 M,连接 AM,ME. AB=AD=,DB=2, 2 AMBD. DB=2,DC=1,BC=满足 DB2+DC2=BC2, 5 BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形,BDDC, E 是 BC 的中点, ME为BCD的中位线,ME CD, 1 2 MEBD,ME= , 1 2 AME 是二面角 A-BD-C 的平面角, AME=60. AMBD,MEBD,且 AM,ME是平面 AME 内两相交于 M 的直线,BD平面 AEM. AE平面 AEM,BDAE. ABD 为等腰直角三角形, AM= BD=1.在AEM中, 1
20、2 AE2=AM2+ME2-2AMMEcosAME=1+ -21cos 60= ,AE=, 1 4 1 2 3 4 3 2 AE2+ME2=1=AM2,AEME. BDME=M,BD平面 BDC,ME平面 BDC,AE平面 BDC. (2)解 取 AD的中点 N,连接 MN,则 MN 是ABD 的中位线,MNAB. 又 MECD,直线 AB 与 CD 所成角 等于 MN与 ME 所成的角,即EMN 或其补角. AE平面 BCD,DE平面 BCD, AEDE.N 为 RtAED 斜边的中点, NE= AD=,MN= AB=,ME= , 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos =|cosE
21、MN|=| 2+ 2- 2 2 |= 2 4+ 1 4- 2 4 2 2 2 1 2 = 2 4 . (3)解 记点 B 到平面 ACD 的距离为 d,则三棱锥 B-ACD 的体积 VB-ACD= dSACD. 1 3 又由(1)知 AE是三棱锥 A-BCD 的高,BDCD, VB-ACD=VA-BCD= AESBCD= 1 3 1 3 3 2 (1 2 2 1)= 3 6 . E 为 BC 中点,AEBC,AC=AB= 2. 又 DC=1,AD=,ACD 为等腰三角形, 2 SACD=DC1, 1 2 2-(1 2) 2 = 1 2 (2)2-(1 2) 2 = 7 4 点 B 到平面 ACD 的距离 d= 3 - = 3 3 6 7 4 = 221 7 .