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1、考点规范练考点规范练 13 导数与函数的单调性导数与函数的单调性 考点规范练第考点规范练第 15 页页 基础巩固组基础巩固组 1.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+) 答案 D 解析因为 f(x)=(x-3)ex,则 f(x)=ex(x-2),令 f(x)0,得 x2,所以 f(x)的单调递增区间为(2,+). 2.(2017浙江嘉兴调研)已知函数 f(x)= x3+ax+4,则“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的( ) 1 2 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A
2、解析 f(x)= x2+a,当 a0时,f(x)0 恒成立,故“a0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件. 3 2 3.设 f(x)是函数 f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是( ) 答案 C 解析由 y=f(x)的图象易知当 x2 时,f(x)0,故函数 y=f(x)在区间(-,0)和(2,+)上单调递增; 当 00), 1 2 9 当 x- 0,即 00,且 a+13,解得 10时,g(x)在(0,+)上为增函数,则 g0,解得-10,a3; 1 2 1 4 + 4 当 a0(x0),可得解得 x(0,e). ( ln ) 1 - l
3、n 2 1 - ln 0, 0, 7.(2017浙江丽水模拟)已知函数 f(x)=ln x+2x,若 f(x2+2)0,函数单调递增,所以由 1 f(x2+2)0,所以 f(x)在 R 上单调递增, 所以 f(mx-2)+f(x)0,f(2)= ,则不等式 f(lg x)0, 1 1 2 g(x)在(0,+)递增,而 g(2)=f(2)- =4, 1 2 故由 f(lg x)1D.x|x1 答案 D 解析设 F(x)=f(x)-,则 F(1)=f(1)-=1-1=0,又 F(x)=f(x)- ,对任意 xR,有 F(x)=f(x)- 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 1 2 0 时,
4、f(x)=, ln| + 3 2 2 ln| + 3 2 2 ln + 3 2 2 则 f(x)=, 1 2 -(ln + 3 2) 2 4 = - 2ln - 3 4 = - 2(1 + ln) 4 由 f(x)0 得-2x(1+ln x)0,得 1+ln x0,即 ln x-1,得 x ,此时函数单调递减, 1 e 即当 x0 时,x= 时,函数 f(x)取得极大值 f=e2= e2,作出函数 f(x)的图象如 1 e 1 e ln1 e + 3 2 (1 e) 2 =(- 1 + 3 2) 1 2 图.要使 a=有 4个不同的交点,则满足 00 时,f(x)=-xe-x; 函数 f(x)
5、的单调递减区间是(-,-1)和(1,+); 对x1,x2R,都有|f(x1)-f(x2)| .其中正确的序号是 . 2 e 答案 解析当 x0 时,f(x)=-f(-x)=-(-x)e-x=xe-x,x0,故错误; 当 x - 2或 ,即实数 t的取值范围是(-3,-2)(-1,0),故填:(-3,-2)(-1,0). 0 16.(2017江苏高考)已知函数 f(x)=x3-2x+ex- ,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a2)0,则实数 a 1 e 的取值范围是 . 答案 - 1, 1 2 解析因为 f(-x)=-x3+2x+ -ex=-f(x),所以函数 f(x)是奇函
6、数,因为 f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+2 1 e e e - 0,所以 f(x)在 R 上单调递增,又 f(a-1)+f(2a2)0,即 f(2a2)f(1-a),所以 2a21-a,即 2a2+a-10,解得- 1a ,故实数 a的取值范围为. 1 2 - 1, 1 2 17.设 f(x)=,其中 a 为正实数. e 1 + 2 (1)当 a= 时,求 f(x)单调区间; 4 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求实数 a 的取值范围. 解对 f(x)求导得 f(x)=ex. 1 + 2- 2 (1 + 2)2 (1)当 a= 时,若 f(x)=0,则 4x2-8x
7、+3=0, 4 3 解得 x1= ,x2= .结合,可知 3 2 1 2 x (- , 1 2) 1 2 ( 1 2, 3 2) 3 2 ( 3 2, + ) f(x)+0-0+ f(x) 极 大 值 极 小 值 所以增区间为;减区间为. (- , 1 2),( 3 2, + ) ( 1 2, 3 2) (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f(x)在 R上不变号,结合与条件 a0,知 ax2-2ax+10 在 R 上 恒成立,即 =4a2-4a=4a(a-1)0,又 a0,得 00,函数 f(x)在(0,+)上单调递增. 当 a0. 1 2 设 x1,x2(x10, + 1 - 2 + 1 - = 2+ 2 + 1 -2 + 1 - 所以 x(0,x1)时,g(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递增; x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递减. 综上可得: 当 a0 时,函数 f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a- 时,函数 f(x)在(0,+)上单调递减; 1 2 当- a0 时,f(x)在, 1 2 ( 0, - ( + 1) +2 + 1 ) 上单调递减, ( - ( + 1) - 2 + 1 , + ) 在上单调递增. ( - ( + 1) +2 + 1 , - ( + 1) - 2 + 1 )