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1、考点规范练考点规范练 47 双曲线双曲线 考点规范练第考点规范练第 63 页页 基础巩固组基础巩固组 1.(2018浙江一模摸底)双曲线=1(a0)的渐近线方程为( ) 2 2 2 42 A.y=2xB.y= x 1 2 C.y=4xD.y=x 2 答案 A 解析根据双曲线的渐近线方程定义, 可知其方程为 y=x=2x.故选 A. 2 2.已知双曲线 C:=1的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的方程为( ) 2 2 2 2 5 4 A=1B=1. 2 4 2 3 . 2 9 2 16 C=1D=1. 2 16 2 9 . 2 3 2 4 答案 C 解析由焦点 F2(
2、5,0)知 c=5. 又 e=,得 a=4,b2=c2-a2=9. = 5 4 双曲线 C 的标准方程为=1. 2 16 2 9 3.(2017课标高考)已知 F是双曲线 C:x2-=1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐 2 3 标是(1,3),则APF 的面积为( ) ABCD. 1 3 .1 2 .2 3 .3 2 答案 D 解析由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F 的坐标为(2,0).将 x=2 代入 x2-=1,得 y=3,所以 PF=3.又点 A 2 3 的坐标是(1,3),故APF的面积为3(2-1)= ,故选 D. 1 2 3 2
3、4.(2018浙江嘉兴调研)过双曲线=1(a0,b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于 A,B 2 2 2 2 两点,若OAB的面积为,则双曲线的离心率为( ) 13 3 ABCD. 5 2 . 5 3 . 13 2 . 13 3 答案 D 解析由题意可求得|AB|=,所以 SOAB=c=,整理得,即 e=故选 D. 2 1 2 2 13 3 = 13 3 13 3 . 5.(2018浙江衢州模拟)已知 l 是双曲线 C:=1 的一条渐近线,P是 l 上的一点,F1,F2是 C 的两个焦 2 2 2 4 点,若=0,则点 P 到 x轴的距离为( )12 ABC.2D. 23 3 .2.2
4、 6 3 答案 C 解析由题意知 F1(-,0),F2(,0),不妨设渐近线 l的方程为 y=x,则可设 P(x0,x0).由=(- 6622 12 -x0,-x0)(-x0,-x0)=3-6=0,得 x0= 6262 2 0 2. 故点 P 到 x轴的距离为|x0|=2,应选 C. 2 6.点 P 是双曲线=1 的右支上的一点,M 是圆(x+5)2+y2=4 上的一点,点 N 的坐标为(5,0),则|PM|- 2 9 2 16 |PN|的最大值为 . 答案 8 解析设圆(x+5)2+y2=4圆心为 F,则|PM|-|PN|PF|+2-|PN|=2a+2=23+2=8. 7.过双曲线 x2-=
5、1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则 2 3 |AB|= . 答案 4 3 解析由题意知,双曲线 x2-=1 的渐近线方程为 y=x,将 x=c=2 代入得 y=2,即 A,B 两点的坐标 2 3 33 分别为(2,2),(2,-2),所以|AB|=4 333. 8.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为(,0),则 2 2 2 2 5 a= ;b= . 答案 1 2 解析由 2x+y=0,得 y=-2x,所以 =2. 又 c=,a2+b2=c2,解得 a=1,b=2. 5 能力提升组能力提升组 9.设点 P 为有公共焦点
6、 F1,F2的椭圆和双曲线的一个交点,且 cosF1PF2= ,椭圆的离心率为 e1,双曲 3 5 线的离心率为 e2,若 e2=2e1,则 e1=( ) ABCD. 10 4 . 7 5 . 7 4 . 10 5 答案 D 解析设双曲线的实轴长为 2a,则椭圆的长轴长为 4a,不妨设|PF1|PF2|, 在PF1F2中,由余弦定理可知 4c2=9a2+a2-23aa | 1| + |2| = 4, | 1| - |2| = 2 | 1| = 3, | 2| = , 3 5 = e1=,故选 D. 210 5 2 = 10 5 10.若点 O和点 F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a0)的
7、中心和左焦点,点 P为双曲线右支上的任意一点, 2 2 则的取值范围为( ) A.3-2,+)B.3+2,+) 33 CD.- 7 4, + ) .7 4, + ) 答案 B 解析由 a2+1=4,得 a=,则双曲线方程为-y2=1. 3 2 3 设点 P(x0,y0),则=1,即-1. 2 0 3 2 0 2 0= 2 0 3 =x0(x0+2)+2x0+-12 0= 20 2 0 3 =, 4 3(0 + 3 4) 2 7 4 x0,当 x0=时,取最小值 3+2 33 3. 故的取值范围是3+2,+). 3 11.若双曲线=1(a0,b0)上存在一点 P 满足以|OP|为边长的正方形的面
8、积等于 2ab(其中 O 为 2 2 2 2 坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是( ) AB.( 1, 5 2 .( 1, 7 2 CD. 5 2 , + ). 7 2 , + ) 答案 C 解析由已知条件,得|OP|2=2ab,P 为双曲线上一点, |OP|a,2aba2.2ba. 又c2=a2+b2a2+a2,e= 2 4 = 5 4 5 2 . 12.点 P 是双曲线=1(a0,b0)左支上的一点,其右焦点为 F(c,0),若 M 为线段 FP 的中点,且 M 2 2 2 2 到坐标原点的距离为 ,则双曲线的离心率 e的取值范围是( ) 8 A.(1,8BCD.(2,3.( 1,
9、4 3 .(4 3, 5 3) 答案 B 解析由题意,设 P(x,y),x-a,M, ( + 2 , 2) , ( + )2 4 + 2 4 = 2 64 即 x2+2cx+c2+x2-b2=c2, 2 2 2 16( + ) 2 = 1 16 x-a,x+a-c+a, (-c+a)2c2(-c+a)2cc-ae=,10,b0)的左、右焦点分别为 5 2 2 2 2 2 F1,F2,M是双曲线 C 的一条渐近线上的点,且 OMMF2,O 为坐标原点,若=16,则双曲线的实 2 轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B 解析由题意知 F2(c,0),不妨令点 M 在渐近线 y= x
10、 上,由题意可知|F2M|=b,所以|OM|= 2+ 2 =a.由=16,可得 ab=16,即 ab=32.又 a2+b2=c2,所以 a=8,b=4,c=4所以双曲线2 - 2 2 1 2 = 5 2 5. C的实轴长为 16.故选 B. 14.(2018浙江台州调研)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于 2 2 2 2 点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 5 2 解析双曲线=1 的渐近线方程为 y= x. 2 2 2 2 由得 A, = , - 3 + = 0, ( 3 - , 3 - ) 由得 B
11、, = - , - 3 + = 0 ( - + 3, + 3) 所以 AB 的中点 C 的坐标为( 2 92 - 2, 32 92 - 2). 设直线 l:x-3y+m=0(m0), 因为|PA|=|PB|,所以 PCl. 所以 kPC=-3,化简得 a2=4b2. 在双曲线中,c2=a2+b2= a2,所以 e= 5 4 = 5 2 . 15.设双曲线 x2-=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,若点 P 在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则 2 3 |PF1|+|PF2|的取值范围是 . 答案(2,8) 7 解析如图,由已知可得 a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨
12、设点 P 在右支上,设|PF2|=m,则 3 |PF1|=m+2a=m+2, 由于PF1F2为锐角三角形, 结合实际意义需满足解得-1+0)左焦点 F1的直线交双曲线左支于 A,B两点,C 是双曲线右支上一点, 2 2 2 2 且 A,C在 x轴的异侧,若满足|OA|=|OF1|=|OC|,|CF1|=2|BF1|,则双曲线的离心率为 . 答案 17 3 解析取双曲线的右焦点 F2,连接 CF2,延长交双曲线于 D, 连接 AF2,DF1, 由|OA|=|OF1|=|OC|=|OF2|=c, 可得四边形 F1AF2C为矩形, 设|CF1|=2|BF1|=2m, 由对称性可得|DF2|=m,|A
13、F1|=,42- 42 即有|CF2|=,42- 42 由双曲线的定义可得 2a=|CF1|-|CF2|=2m-,42- 42 在直角三角形 DCF1中,|DC|=m+,|CF1|=2m,42- 42 |DF1|=2a+m, 可得(2a+m)2=(2m)2+(m+)2,42- 42 由可得 3m=4a,即 m=, 4 3 代入可得 2a=,化简可得 c2=a2, 8 3 42- 642 9 17 9 即有 e=故答案为 = 17 3 . 17 3 . 17.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).点 M(3,m)在双曲线 210 上. (1)求双曲线方程
14、; (2)求证:=0;12 (3)求F1MF2的面积. (1)解e=,可设双曲线方程为 x2-y2=(0). 2 双曲线过点(4,-),16-10=,即 =6. 10 双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明由(1)可知,在双曲线中 a=b=,c=2, 63 F1(-2,0),F2(2,0). 33 , 1= 3 + 23,2 = 3 - 23 又点 M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3. =-=-1. 12= 3 + 23 3 - 23 2 3 MF1MF2=0 12 (3)解由(2)知 MF1MF2,MF1F2为直角三角形. 又 F1(-2,0),F2(2,0),m=,M(3,
15、)或(3,-), 33333 由两点间距离公式得 |MF1|=, ( - 2 3- 3)2+ (0 -3)2=24 + 123 |MF2|=, (2 3- 3)2+ (0 -3)2=24 - 123 |MF1|MF2| 12= 1 2 = 1 2 24 + 12 3 24 - 123 =12=6,即F1MF2的面积为 6. 1 2 18.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+与双曲线 C 左支交于 A,B 两点,求 k 的取值范围; 2 (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0与 y 轴交于
16、 M(0,m),求 m 的取值范围. 解(1)设双曲线 C的方程为=1(a0,b0). 2 2 2 2 由已知得 a=,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, 3 双曲线 C 的方程为-y2=1. 2 3 (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB),将 y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0. 2 2 3 2 由题意知解得 0, + = 62 1 - 32 0, 3 3 当k1时,l与双曲线左支有两个交点. 3 3 (3)由(2)得 xA+xB=, 62 1 - 32 yA+yB=(kxA+)+(kxB+) 22 =k(xA+xB)+2 2= 22 1 - 32. AB 的中点 P 的坐标为( 32 1 - 32, 2 1 - 32). 设直线 l0的方程为 y=- x+m,将 P 点坐标代入直线 l0的方程,得 m=k1, 1 k 42 1 - 32. 3 3 -21-3k20.m-2 2. m的取值范围为(-,-2). 2