《2020版数学新优化浙江大一轮试题：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 单元质检五 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学新优化浙江大一轮试题：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 单元质检五 Word版含答案.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、单元质检五单元质检五 平面向量与复数平面向量与复数 (时间:120分钟 满分:150分) 单元质检卷第单元质检卷第 9 页页 一、选择题(本大题共 10小题,每小题 4分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.(2018全国 3)(1+i)(2-i)=( ) A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i 答案 D 2.(2017浙江诸暨调研)在ABC 中,点 D 在 BC边上,且=2=r+s,则 r+s 等于( ), ABC.-3D.0. 2 3 .4 3 答案 D 3.(2018全国 2)=( ) 1 + 2i 1 - 2i A.-iB.-i 4 5 3 5
2、 4 5 + 3 5 C.-iD.-i 3 5 4 5 3 5 + 4 5 答案 D 4.已知 a,b 是任意的两个向量,则下列关系式中不恒成立的是( ) A.|a|+|b|a-b| B.|ab|a|b| C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 答案 D 5.(2017浙江绍兴期中)已知|a|=2,|b|=3,(2a+b)(a-2b),则向量 b 在向量 a 方向上的投影为( ) A.-BC.-D 5 3 .5 4 5 6 .5 6 答案 A 6. (2018天津高考)在如图的平面图形中,已知 OM=1,ON=2,MON=120,=2=2,则,
3、的值为( ) A.-15B.-9 C.-6D.0 答案 C 解析连接 MN,=2=2, , =3=3 ,. =3()=3=3(). = OM=1,ON=2,MON=120, =3()=3(-|2) =3=-6. 2 1 (- 1 2) - 1 7.已知 O为ABC 内一点,且满足+(-1)=0.若OAB的面积与OAC 的面积比值为 ,则 1 3 的值为( ) AB.2CD. 3 2 .1 3 .1 2 答案 A 解析+(-1)=0, ()= + = . 取 BC的中点 D,AB的中点 E,连接 DE,则 2 = . O在线段 DE 上,且 2OD=AC=2DE,=,连接 AD.设 OD=1,则
4、 DE=,OE=-1. ,SABD=SADC=SAOC= SABC, = = - 1 1 2 ,解得 = 故选 A. = - 1 = 1 3 3 2. 8.已知向量 a,b,c 满足|a|=2,|b|=ab=3,若(c-2a)=0,则|b-c|的最小值是( )( - 2 3) A.2+B.2- 33 C.1D.2 答案 B 解析|a|=2,|b|=ab=3,则 b=(3,0)或 b=(- 3 2, 33 2). 设 a=(1,),b=(3,0),c=(x,y), 3 由(c-2a)=0,得(x-2)2+(y-)2=3.( - 2 3) 3 c的终点在以(2,)为圆心,以为半径的圆上, 33 |
5、b-c|的最小值为=2-(2 - 3)2 + ( 3- 0)233. 同理,当 b=时,|b-c|的最小值也是 2-故选 B. (- 3 2, 33 2) 3. 9.已知 G是ABC 的重心,过点 G 作直线 MN与 AB,AC 交于点 M,N,且=x=y(x,y0),则, 3x+y的最小值是( ) ABCD. 8 3 .7 2 .5 2 .4 3 + 2 3 3 答案 D 解析如图,M,N,G 三点共线, =, =(), G是ABC 的重心, ). G = 1 3( + )-x=, 1 3( + - 1 3( + ) 解得(3x-1)(3y-1)=1; 1 3 - = - 1 3 , 1 3
6、 = - 1 3 , 结合图形可知x1,y1; 1 2 1 2 令 3x-1=m,3y-1=nm2,n2 ; 1 2 1 2 故 mn=1,x=,y=; 1 + 3 1 + 3 故 3x+y=1+m+m+2,当且仅当 m=,n=时等号成立.故选 D. 1 + 3 = 4 3 3 4 3 1 3 = 4 3 + 23 3 3 3 3 10.如图,在ABC 中,已知,P 为 AD 上一点,且满足=m,若ABC 的面积为, = 1 2 + 4 9 3 ACB= ,则|的最小值为( ) 3 ABCD. 16 3 .16 9 .8 3 .4 3 答案 D 解析过 P点分别作 PMBC 交 AC 于点 M
7、,PNAC 交 BC 于点 N,则=m,因为, = 4 9 | | = ,所以求出 m= ,设|=b,|=a,则由三角形面积公式有 ab,即 ab=4,而 | | 1 3 1 2 3 2 = 3 = 1 3 + 4 9 ,则b2+a2+2,故|的最小值为 ,故选 D.2= 1 9 16 81 16 27 1 9 16 81 22+ 16 27 = 16 9 4 3 二、填空题(本大题共 7小题,多空题每小题 6分,单空题每小题 4分,共 36分.将答案填 在题中横线上) 11.已知向量 a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b 的夹角为 ,则|a+2b|= ;a 与 a-2b 的夹角为 . 3
8、 答案 2 3 3 12.(2017浙江绍兴)若复数 z=4+3i,其中 i是虚数单位,则|z|= ,= . 1 + i 答案 5 7 + i 25 13.(2017浙江杭州调研)已知复数 z=x+yi,其中 x,yR,且|z-2|=,则 的最大值为 ,最小值 3 为 . 答案 - 33 14.设 e1,e2为单位向量,且 e1,e2的夹角为 60,若 a=e1+3e2,b=2e1,则|a+b|等于,向量 a 在 b 方 向上的投影为 . 答案 3 3 5 2 15.ABC中,cos A= ,AB=2,则的最小值是 . 1 3 答案- 1 9 16.在ABC中,内角 A,B,C 所对的边分别为
9、 a,b,c,c-b=6,c+b-a=2,且 O 为此三角形的内心,则= . 答案 6 解析过 O作 ODAB于 D,OEAC 于 E,则()=|AD|AB|- = |AE|AC|,因为 O 为ABC 的内心,所以|AD|AB|-|AE|AC|=|AD|c-|AD|b,|AD|= ,所以=6. + + - (| + | + |) 2 = + - 2 = ( - )( + - ) 2 17.已知 m,n 为两个非零向量,且|m|=,|m+2n|=,则|2m+n|+|n|的最大值为 . 33 答案 4 解析|m|=,|m+2n|=, 33 (m+2n)2=m2+4n2+4mn=m2, 4n2+4m
10、n=0,即 mn=-n2, |2m+n|=,42+ 2+ 4 =12 - 32 |2m+n|+|n|=+|n|=+|n|,12 - 3|2 3 4 - |2 令|n|=2sin ,(0 2) 则+|n|=2cos +2sin =4sin, 3 4 - |23 ( + 3) 当 = 时,4sin取得最大值 4,故答案为 4. 6 ( + 3) 三、解答题(本大题共 5小题,共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(14分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61, (1)求 a 与 b的夹角 ; (2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求ABC 的面积.
11、 解(1)(2a-3b)(2a+b)=61, 4|a|2-4ab-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,64-4ab-27=61, ab=-6.cos =- | = - 6 4 3 1 2. 又 0,= 2 3 . (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2 =42+2(-6)+32=13,|a+b|= 13. (3)的夹角 =,ABC=- B与 2 3 2 3 = 3. 又|=|a|=4,|=|b|=3, SABC=|sin ABC=43=3 1 2| 1 2 3 2 3. 19.(15分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,
12、-1). (1)求以线段 AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长. (2)设实数 t满足(-t)=0,求 t 的值. 解(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则=(2,6),=(4,4). + 所以|=2,|=4 + 10 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4,2 210. (2)由题设知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t). 由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=- 11 5 . 20.(15分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且向量 m=(5a-4c,4b)与向量 n=(cos C,cos B
13、)共线. (1)求 cos B; (2)若 b=,c=5,ac,且=2,求 BD 的长度. 10 解(1)m,n 共线, (5a-4c)cos B-4bcos C=0, 即 5sin Acos B=4sin Ccos B+4sin Bcos C=4sin(B+C)=4sin A. sin A0,cos B= 4 5. (2)在ABC 中,由余弦定理,得 cos B=, 2+ 2 - 2 2 = 4 5 即,解得 a=3 或 a=5(舍去). 2+ 15 10 = 4 5 cos A= 2+ 2 - 2 2 = 1310 50 . =2,AD= b= 2 3 210 3 . 在ABD 中,由余弦
14、定理,得 BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=BD= 109 9 . 109 3 . 21.(15分)(2017浙江杭州联考)如图,已知 O 为ABC 的外心,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 3+4+5=0,求 cos BOC 的值; (2)若,求的值. = 2+ 2 2 解(1)设外接圆半径为 R,由 3+4+5=0. 得:4+5=-3,两边平方得:16R2+40+25R2=9R2,即:=- R2,则 cosBOC=- 4 5 4 5. (2),()=(),即-=-, = + + 可得-R2cos 2A+R2cos 2B=-R2cos 2C+R2cos 2A,
15、 2cos 2A=cos 2C+cos 2B,即:2(1-2sin2A)=2-(2sin2B+2sin2C), 2sin2A=sin2B+sin2C,利用正弦定理变形得:2a2=b2+c2, =2. 2+ 2 2 22.(15分)(2017浙江杭州模拟)ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且(2a-c)cos B=bcos C, =-3. (1)求ABC的面积; (2)若 sin Asin C=32,求 AC 边上的中线 BD 的长. 解(1)已知等式(2a-c)cos B=bcos C, 利用正弦定理化简得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 整理得 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A, sin A0,cos B= ,则 B=60. 1 2 =-3,accos(-B)=-3,ac=6, SABC= acsin B=6 1 2 1 2 3 2 = 33 2 . (2)由 sin Asin C=32,可得 ac=32,解得 a=,又由(1)可得 ac=6,解得 a=3,c=2, 3 2 ), = 1 2( + 4+2=c2+a2-2=22+32-2(-3)=19,2= 2+ 2 |=,即 AC 边上的中线 BD 的长为 19 2 19 2 .