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1、专题 04 函数性质与应用 文专题 04 函数性质与应用 文 考纲解读明方向 考点内容解读要求常考题型预测热度 1.函数的单调性及最 值 理解函数的单调性、最大(小)值及 其几何意义 2.函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义,会判断简 单的函数的奇偶性 3.函数的周期性了解函数周期性的含义 选择题、 填空题、 分析解读 1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定 义或导数判断或证明函数的单调性等. 2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的 重视. 3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于中档
2、题. 命题探究练扩展 2018 年高考全景展示 1 【2018 年全国卷文】下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：确定函数过定点（1，0）关于 x=1 对称点，代入选项验证即可。 详解：函数过定点（1，0） ， （1，0）关于 x=1 对称的点还是（1，0） ，只有过此点。 故选项 B 正确. 点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。 2 【2018 年全国卷文】已知函数，则_ 【答案】 点睛：本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现和关键，属于中档题。 2017 年高考全景展示 1.【2017 天津，文 6】已
3、知奇函数( )f x在R上是增函数.若 0.8 22 1 (log),(log 4.1),(2) 5 afbfcf ， 则, ,a b c的大小关系为 （A）abc（B）bac（C）cba（D）cab 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意： 22 1 loglog 5 5 aff ，且： 0.8 22 log 5log 4.12,122， 据此： 0.8 22 log 5log 4.12，结合函数的单调性有： 0.8 22 log 5log 4.12fff， 即,abc cba，本题选择 C 选项. 【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数
4、的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性 质和对数运算法则， 2 log 5af，再比较 0.8 22 log 5,log 4.1,2比较大小. 2.【2017 课标 1，文 9】已知函数( )lnln(2)f xxx，则 A 在（0，2）单调递增B( )f x在（0，2）单调递减 Cy=( )f x的图像关于直线x=1 对称 Dy=( )f x的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】 【考点】函数性质 【名师点睛】如果函数( )f x，xD ，满足xD ，恒有()()f axf bx，那么函数的图象有对 称轴 2 ab x ；如果函数( )f x，xD ，满足xD ，恒有()()
5、f axf bx ，那么函数( )f x的 图象有对称中心(,0) 2 ab 3.【2017 山东，文 10】若函数 exf x(e=2.71828,是自然对数的底数)在 f x的定义域上单调递增,则 称函数 f x具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A . 2 x f x B. 2 f xx C. 3 x f x D. cosf xx 【答案】A 【解析】由 A,令( )e2 xx g x , 11 ( )e (22ln)e 2 (1 ln)0 22 xxxxx g x ,则( )g x在 R R 上单调递增, ( )f x具有M性质,故选 A. 【考点】导数的应用 【名师点睛】(1)确定
6、函数单调区间的步骤 ： 确定函数f(x)的定义域 ； 求f(x)； 解不等式 f(x)0, 解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减 区间 (2)根据函数单调性确定参数范围的方法：利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a,b)上单调,则区间 (a,b)是相应单调区间的子集转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f(x)0；若函数 单调递减,则f(x)0”来求解 4.【2017 课标 II，文 14】已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当(,0)x 时， 32 ( )2f xxx, 则(2)f _ 【答案】12 【解析】 (2)( 2
7、)2 ( 8)412ff 【考点】函数奇偶性 【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式， 或充分利用奇偶性得出关于( )f x的方程，从而可得( )f x的值或解析式. (2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据( )()0f xfx得到关于待求参数的恒 等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. 5.【2017 山东， 文 14】 已知f(x)是定义在 R R 上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 3,0x 时, ( )6 x f x , 则f(919)= . 【答案】6 【解析】 【考点】函
8、数奇偶性与周期性 【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法 已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组), 从而得到f(x)的解析式 已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方 程求解 应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 2016 年高考全景展示 1.【2016 高考北京文数】下列函
9、数中，在区间( 1,1) 上为减函数的是（ ） A. 1 1 y x B.cosyx C.ln(1)yx D.2 x y 【答案】D 【解析】 试题分析：由 1 2( ) 2 xx y 在R上单调递减可知 D 符合题意，故选 D. 考点：函数单调性 【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法 (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单 调性. 2.【2016 高考上海文科】设( )f x、( )g x
10、、( )h x是定义域为R的三个函数，对于命题 ： 若( )( )f xg x、 ( )( )f xh x、( )( )g xh x均为增函数，则( )f x、( )g x、( )h x中至少有一个增函数；若( )( )f xg x、 ( )( )f xh x、( )( )g xh x均是以T为周期的函数，则( )f x、( )g x、( )h x均是以T为周期的函数，下列 判断正确的是（ ） A、和均为真命题 B、和均为假命题 C、为真命题，为假命题 D、为假命题，为真命题 【答案】D 【解析】 故选 D. 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性. 【名师点睛】本题主要考查抽
11、象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度. 解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法” ，通过举反例应用“排除法”等. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 3.【2016 高考山东文数】若函数( )yf x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称( )yf x具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ） （A）sinyx（B）lnyx（C）exy （D） 3 yx 【答案】A 【解析】 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关
12、系，本题给出常见的三角函数、 指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与 直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考 查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. 4.【2016 高考山东文数】已知函数 f(x)的定义域为 R.R.当x0 时，f(x)=x3-1；当-1x1 时，f(-x)= f(x)；当x 1 2 时，f(x+ 1 2 )=f(x 1 2 ).则 f(6)= （ ） （A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】 试题分析： 当 1
13、 2 x 时， 11 ()() 22 f xf x， 所以当 1 2 x 时， 函数( )f x是周期为1的周期函数， 所以(6)(1)ff， 又因为当11x 时， fxf x ，所以 3 (1)( 1)112ff ，故选 D. 考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定 难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好 的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 5. 【2016 高考四川文科】已知函数( )f x是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，( )4xf x ， 则 5 ()(1) 2 ff= . 【答案】-2 【解析】 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性 ( )()f xf xT，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区 间上，再由函数式求值即可