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1、专题 18 双曲线 专题 18 双曲线 考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.双曲线的定义 及其标准方程 了解 2017 课标全国,5;2017 天 津,5; 2016 课标全国,5;2016 天 津,6; 2015 天津,6 选择题 填空题 2.双曲线的几何 性质 了解 2017 课标全国,15;2017 北 京,9; 2017 山东,14;2016 课标全国 ,11; 2016 浙江,7;2015 课标,5 选择题 填空题 3.直线与双曲线 的位置关系 了 解 双 曲 线 的 定 义、几何图形和标 准方程,知道它的 简单几何性质 了解2015 四川,5;2014 福
2、建,19 选择题 解答题 分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解 参数 a、b、c、e 的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的 问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程 和性质为主,分值约为 5 分,属中档题. 2018 年高考全景展示 1 【2018 年浙江卷】双曲线的焦点坐标是 A. (，0)，(，0) B. (2，0)，(2，0) C. (0，)，(0，) D. (0，2)，(0，2) 【答案】B 点睛：由双曲线方程可得焦点坐标
3、为，顶点坐标为，渐 近线方程为. 2 【2018 年理数天津卷】已知双曲线的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的直线 与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的 方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即 可确定双曲线方程. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准 方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程， 求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲
4、线方程为，再由条件求出的值即可. 3 【2018 年理新课标 I 卷】已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的 两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】分析 ： 首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到， 根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求 得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立， 求得，利用两点间距离同时求得的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为
5、，从而得到，所以直线的 倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为， 分别与两条渐近线和联立， 求得， 所以， 故选 B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点 是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线 方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程， 之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 4 【2018 年全国卷理】设是双曲线（）的左、右焦点， 是坐标原 点过作 的一条渐近线的垂线，垂足为 若，则
6、 的离心率为 A. B. 2 C. D. 【答案】C 点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。 5 【2018 年理数全国卷 II】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根据离心率得 a,c 关系，进而得 a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解 ：因为渐近线方程为， 所以渐近线方程为 ，选 A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 6 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近 线的距离为，则其离心率的值是_ 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点
7、到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a. 2017 年高考全景展示 1.【2017 课标 II，理 9】若双曲线C: 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的一条渐近线被圆 2 2 24xy 所截得的弦长为 2，则C的离心率为（ ） A2 B3 C2 D 2 3 3 【答案】A 【解析】 试题分析：由几何关系可得，双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的渐近线为：0bxay， 圆心2,0到渐近线距离为： 22 213d ， 不妨考查点2,0到直线0
8、bxay的距离： 22 202 3 bab d c ab ， 即： 22 2 4 3 ca c ，整理可得： 22 4ca, 双曲线的离心率 2 2 42 c e a 。故选 A。 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常 见有两种方法： 求出a，c，代入公式 c e a ； 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等 式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。 2.
9、【2017 课标 3， 理 5】 已知双曲线C： 22 22 1 xy ab (a0,b0)的一条渐近线方程为 5 2 yx,且与椭圆 22 1 123 xy 有公共焦点，则C的方程为 A 22 1 810 xy B 22 1 45 xy C 22 1 54 xy D 22 1 43 xy 【答案】B 【解析】 试题分析：双曲线C： 22 22 1 xy ab (a0,b0)的渐近线方程为 b yx a ， 椭圆中： 22222 12,3,9,c3abcab ，椭圆，即双曲线的焦点为3,0 ， 据此可得双曲线中的方程组： 222 5 2 3 b a cab c ，解得： 22 4,5ab ，
10、则双曲线C 的方程为 2 1 45 xy . 故选B. 【考点】 双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程. 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线 标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线 方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 2 22 0 xy ab ，再由条件求出 的值即可. 3.【2017 天津，理 5】已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为2.若经过F和 (0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，
11、则双曲线的方程为 （A） 22 1 44 xy （B） 22 1 88 xy （C） 22 1 48 xy （D） 22 1 84 xy 【答案】B 【解析】由题意得 22 4 ,14,2 21 88 xy abcab c ，选 B. 【考点】 双曲线的标准方程 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目 的条件列出关于, ,a b c的方程，解方程组求出, a b，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两 点可设为 22 1(0)mxnymn， （2）与 22 22 1 xy ab 共渐近线的双曲线可设为 22 22 (0) xy a
12、b ， （3） 等轴双曲线可设为 22 (0)xy 等，均为待定系数法求标准方程. 4.【2017 课标 1，理】已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A， 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若MAN=60，则C的离心率为_. 【答案】 2 3 3 【解析】试题分析： 如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线 b yx a 上的点，且( ,0)A a，AMANb 而APMN，所以30PAN ， 点( ,0)A a到直线 b yx a 的距离 2 2 | 1 b AP b a 在R
13、t PAN中，cos PA PAN NA 代入计算得 22 3ab，即3ab 由 222 cab得2cb 所以 22 3 33 cb e ab . 【考点】双曲线的简单性质. 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓 住以下重点：求解渐近线，直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可；双曲线的焦点到渐近线的距离是b； 双曲线的顶点到渐近线的距离是 ab c . 5.【2017 山东，理 14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右支与焦点为F的抛物 线 2 20xpx p交于,A B两点，若4AFBFOF
14、，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 2 2 yx 【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线 ： (1) 掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线 与椭圆的标准方程可统一为1 22 ByAx的形式，当0A，0B，BA时为椭圆，当0AB时为双 曲线. 2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 6.【2017 北
15、京，理 9】若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率为3，则实数m=_. 【答案】2 【解析】 试题分析： 22 1,abm ，所以 1 3 1 cm a ，解得2m . 【考点】双曲线的方程和几何性质 【名师点睛】 本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质， 属于基础题 解题时要注意a、 b、c的关系 222 cab，否则很容易出现错误以及当焦点在x轴时，哪些量表示 22 ,a b ，根据离心率 的公式计算. 7.【2015 高考北京，理 10】已知双曲线 2 2 2 10 x ya a 的一条渐近线为30xy，则a 【答案】 3 3 【解析】双曲线 2 2 2 10 x y
16、a a 的渐近线方程为 1 yx a ，303xyyx ， 0a,则 13 3, 3 a a 【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐 近线方程求参数. 【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双 曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0” ，利用已知 渐近线方程，求出参数a的值. 2016 年高考全景展示 1.【2016 高考新课标 1 卷】已知方程 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n的取值范围是
17、( ) （A）1,3 （B） 1, 3 （C）0,3 （D） 0, 3 【答案】A 考点：双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦 距是 2c不是c,这一点易出错. 2.【2016 高考新课标 2 理数】已知 12 ,F F是双曲线 22 22 :1 xy E ab 的左，右焦点，点M在E上， 1 MF与x 轴垂直， 21 1 sin 3 MF F,则E的离心率为（ ） （A）2 （B） 3 2 （C） 3 （D）2 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 1 MF垂 直 于x轴 ， 所 以 22 12 ,2 bb
18、 MFMFa aa ， 因 为 21 1 sin 3 MF F， 即 2 1 2 2 1 3 2 b MF a bMF a a ，化简得ba，故双曲线离心率12 b e a .选 A. 考点：双曲线的性质.离心率. 【名师点睛】 区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系， 在椭圆中a2b2c2， 而在双曲线中c2a2 b2.双曲线的离心率e(1，)，而椭圆的离心率e(0，1) 3.【2016 高考天津理数】已知双曲线 2 2 2 4 =1 xy b （b0） ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长 的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为 2b，
19、则双曲线的方程为 （ ） （A） 22 44 3 =1 yx （B） 22 34 4 =1 yx （C） 2 2 2 4 =1 xy b （D） 22 24 =1 1 xy 【答案】D 【解析】 试题分析：根据对称性，不妨设 A 在第一象限，( , )A x y， 22 2 2 4 4 4 4 2 2 4 x xy b b b yx y b ， 2 2 16 12 4 22 bb xyb b ，故双曲线的方程为 22 1 412 xy ，故选 D. 考点：双曲线渐近线 【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点： (1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦
20、点在哪条坐 标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法 (2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论 若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2By21(AB0) 若已知渐近线方程为mxny0，则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0) 4.【2016 高考山东理数】 已知双曲线E： 22 22 1 xy ab （a0，b0） ， 若矩形ABCD的四个顶点在E上， AB，CD的中点为E的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_. 【答案】2 考点：双曲线的几何性质 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特
21、殊情况的讨论，转化 得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能 力等. 5.【2016 高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 1 73 xy 的焦距是_. 【答案】2 10 【解析】 试题分析： 22222 7,3,7310,10,22 10abcabcc 故答案应填：2 10 ， 焦距为 2c 考点：双曲线性质 【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标 准方程中量所对应关系是解题关键 ： 22 22 1(0,0) xy ab ab 揭示焦点在 x 轴，实轴长为2a，虚轴长为2b， 焦距为 22 22cab，渐近线方程为 b yx a ，离心率为 22 cab aa