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1、9 立体几何与空间向量9 立体几何与空间向量 12018唐山一模在长方体 1111 ABCDA B C D中， 1 2ABBCAA，则异面直线 1 A B与 1 B C所成角的余弦 值为（ ） A 10 5 B 1 5 C 5 5 D 15 5 22018珠海模底圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则圆锥的表面积为（ ） A 3 B4C3D5 32018大同中学平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是 1 m和 1 n，给出下列 四个命题： 11 mnmn； 11 mnmn； 1 m与 1 n相交m与n相交或重合； 1 m与 1 n平行m 与n平行或重合；其中不正确的命题个数是
2、（ ） A1B2C3D4 42018长春质检在正方体 1111 ABCDA B C D中，直线 11 AC与平面 11 ABC D所成角的正弦值为（ ） A1B 3 2 C 2 2 D 1 2 52018珠海模底如图所示，已知四棱锥PABCD的高为 3，底面ABCD为正方形，PA PBPCPD 且6AB ，则四棱锥PABCD外接球的半径为（ ） A 3 2 B2C3D3 62018玉溪一中九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA 平面ABC，2PAAB， 2 2AC ， 三棱锥PABC的四个顶点都
3、在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A12B16C20D24 7 2018湖师附中在棱长为 6 的正方体 1111 ABCDA B C D中，M是BC的中点， 点P是正方形 11 DCC D面内 (包括边界)的动点，且满足APDMPC ，则三棱锥PBCD的体积最大值是（ ） 一、选择题一、选择题 A36B24C18 3D12 3 82018郑州模拟在空间直角坐标系Oxyz中，四面体SABC各顶点坐标分别1,1,2S，3,3,2A， 3,3,0B，1,3,2C，则该四面体外接球的表面积是（ ） A16B12C4 3D6 9 2018荆州中学已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA
4、平面ABC，ABC是边长为2 的等边三角形，若球O的体积为 8 2 3 ，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（ ） A 3 11 11 B 2 11 11 C 3 10 10 D 10 10 102018湖南联考在长方体 1111 ABCDA B C D中，4AB ，3BC ， 1 5AA ，M，N分别在线段 1 AA和 AC上，2MN ，则三棱锥 1 DMNC的体积最小值为（ ） A4B3 21C4 32D6 24 112018太原模拟如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中 点，在这个正四面体中：DE与MN平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角
5、；DE与MN 垂直以上四个命题中，正确命题的个数是（ ） A1B2C3D4 12 2018中原名校已知边长为2 3的菱形ABCD， 3 A ， 沿对角线BD把ABD折起， 二面角ABDC 的平面角是 2 3 ，则三棱锥ABCD的外接球的表面积是（ ） A20B28C36D54 132018东台中学已知平面，直线m，n，给出下列命题： 若m，n，mn，则；若，m，n，则mn； 若m，n，mn，则；若，m，n，则mn 其中是真命题的是_ （填写所有真命题的序号） 二、填空题二、填空题 14 2018盐城中学a，b为空间中两条互相垂直的直线， 等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a， b都垂直
6、，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a成60角时，AB与b成30角； 当直线AB与a成60角时，AB与b成60角； 直线AB与a所成角的最小值为45； 直线AB与a所成角的最大值为60 其中正确的是_(填写所有正确结论的编号) 152018北京一模如图，在矩形ABCD中，4AB ，2AD ，E为边AB的中点将ADE沿DE翻折， 得到四棱锥 1 ADEBC设线段 1 AC的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题： 总有BM平面 1 A DE； 三棱锥 1 CA DE体积的最大值为 4 2 3 ； 存在某个位置，使DE与 1 AC所成的角为90 其中正确的命题是_ （写出所
7、有正确命题的序号） 162018石家庄二中已知平面截球O的球面得圆M，过圆心M的平面与的夹角为 6 且平面截 球O的球面得圆N，已知球O的半径为 5，圆M的面积为9，则圆N的半径为_ 1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】在长方体 1111 ABCDA B C D中，连接 1 A D，可得 11 A DB C， 异面直线 1 A B与 1 B C所成的角，即为直线 1 A B与直线 1 A D所成的角， 即 1 DA B为异面直线 1 A B与 1 B C所成的角， 在长方体 1111 ABCDA B C D中，设 1 22ABBCAA，则 11 5A BA D，2 2BD ， 在 1 A
8、BD中，由余弦定理得 222 11 1 11 5581 cos 25255 A BA DBD DA B A B A D ，故选 B 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形ABC， 圆锥的底面半径1r ，母线长2l ；表面积 2 1 223 2 Srrl 故选 C 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D中： 对于说法：若取平面为ABCD， 1 m， 1 n分别为AC，BD，m，n分别为 1 AC， 1 BD， 答 案 与 解 析 一、选择题一、选择题 满足 11 mn，但是
9、不满足mn，该说法错误； 对于说法：若取平面为 11 ADD A， 1 m， 1 n分别为 11 A D， 1 AD，m，n分别为 11 AC， 1 BD， 满足mn，但是不满足 11 mn，该说法错误； 对于说法：若取平面为ABCD， 1 m， 1 n分别为AC，BD，m，n分别为 1 AC， 1 BD， 满足 1 m与 1 n相交，但是m与n异面，该说法错误； 对于说法：若取平面为 11 ADD A， 1 m， 1 n分别为 11 A D，AD，m，n分别为 11 AC，BC， 满足 1 m与 1 n平行，但是m与n异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是 4故选 D 4 【答案】【
10、答案】D 【解析】【解析】如图所示： 连接 1 A D， 1 AD交于点O，连接 1 OC，在正方体中，AB 平面 1 AD， 1 ABA D， 又 11 A DAD，且 1 ADABAI， 1 A D 平面 11 AD C B， 11 AC O即为所求角， 在 11 RtAC O中， 11 1 sin 2 AC O， 11 AC与平面 11 ABC D所成角的正弦值为 1 2 ，故选 D 5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由已知，四棱锥PABCD为正四棱锥，设外接球半径为R， 连接AC、BD交于点O，连接PO，外接球的球心O在高PO上，连接OA，则OAOPR， 四棱锥PABCD的高为
11、3，6AB ，即3PO ， 6 3 2 O A ，3OOR， 又OO A为直角三角形 222 OAO AOO，即 2 2 2 33RR，解得2R 故选 B 6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意，PA 平面ABC，2PAAB，2 2AC ， 平面ABC，和平面PBC都是是直角三角形，则角ABC为直角， 此时满足BC垂直于PA，BC垂直于AB进而得到BC垂直于PB， 此时满足面PBC为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC的中点， 球心在过底面圆心并且和PA平行的直线上， 并且球心到圆心的距离为 1，直角三角形外接圆的半径为2r 22 1Rr，即3R 球O的表面积 2 412SR 故选
12、A 7 【答案】【答案】D 【解析】【解析】易知APDMPC:，则2 PDAD PCMC ，欲使三棱锥PBCD的体积最大，只需高最大， 通过坐标法得到动点 运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值2 3， max 11 662 312 3 32 P BCD V 故选 D 8 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意计算可得2AB ，2AC ，2SC ，2 2BC ，0,0, 2AB uu u r ，2,0,0AC uuu r ， 0, 2,0CS uu r ， 0 0 AB CS CSABC AC CS uu u r uu r uuu r uu r 平面，故四面体SABC是底面为等腰直角三角
13、形，侧棱SC垂直底面的几何体， 四面体的外接球就是棱长为 2 的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线2 3，半径为3 则该四面体外接球的表面积是 2 4312故选 B 9 【答案】【答案】A 【解析】【解析】设ABC的中心为E，M为AB的中点，过O作ODPA，则D为PA的中点， CPM是直线PC与平面PAB所成角 ABC是边长为 2 的等边三角形， 22 3 33 ODAECM， 3 48 2 33 OP ，2OP ， 22 2 6 22 3 PAPDOPOD， 22 33 3 PMPAAM， 3 11 tan 11 CM CPM PM 故选 A 10 【答案】【答案】A 【解析】【解析】如
14、图，面 1 MNC就是平面 11 ACC A，因此D点到面 1 MNC的距离为定值 12 5 ， 由题意 11 ACC A是正方形，由对称性知当M（或N）与A重合时， 1 C到直线MN的距离最小，最小值为 5， 此时 1 1 255 2 C MN S ， 1 112 54 35 D MNC V 最小 故选 A 11 【答案】【答案】C 【解析】【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A BCDEF、，如图： 对于，M、N分别为EF、AE的中点，则MNAF，而DE与AF异面， 故DE与MN不平行，故错误； 对于，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与AD
15、EF为正四 面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面） ； 对于，依题意，GHAD，MNAF，60DAF，故GH与MN成60角，故正确； 对于，连接GF，A点在平面DEF的射影 1 A在GF上，DE 平面AGF，DEAF， 而AFMN，DE与MN垂直，故正确 综上所述，正确命题的序号是，故答案为故选 C 12 【答案】【答案】B 【解析】【解析】如图所示，设菱形的对角线交于F，由菱形的性质可得， 二面角ABDC的平面角是120AFC o， 60AFE o， 菱形的边长为2 3， 3 A ， 3 2 33 2 AF ， 3 3 2 AE ， 3 2 EF ， 设OOx，则2O B ，1O F ，
16、 由勾股定理可得， 222 ROBOA， 即 2 2 22 33 3 41 22 Rxx ，解得3x ， 2 7R ， 四面体的外接球的表面积为 2 428R，故选 B 13 【答案】【答案】 【解析】【解析】对于，若m，n，mn，则或，相交，该命题是假命题； 对于，若，m，n，则m，n可能平行、相交、异面，该命题是假命题； 对于可以证明是真命题 故答案为 14 【答案】【答案】 【解析】【解析】过点B作 1 aa， 1 bb， 当直线AB与a成60角时， 由题意， 可知AB在由 1 a， 1 b确定的平面上的射影为BC， 且BC与 1 a成45角， 又 ab，故AB与b所成角也是60错，正确
17、； 当直线aBC时，AB与a所成角最小，故最小角为45正确，错误 综上，正确的是，错误的是(注：一条斜线与平面所成角的余弦值和其在平面内的射影与平面内一 条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值) 15 【答案】【答案】 【解析】【解析】取DC的中点为F，连结FM，FB，可得 1 MFA D，FBDE，可得平面MBF平面 1 A DE， BM平面 1 A DE，正确； 当平面 1 A DE与底面ABCD垂直时，三棱锥 1 CA DE体积取得最大值， 最大值为 11114 222 22 32323 ADAEEC ，正确 存在某个位置，使DE与 1 AC所成的角为90DEEC，DE 平面 1 A EC， 可得 1 DEA E，即AEDE，矛盾，不正确； 故答案为 16 【答案】【答案】13 【解析】【解析】 二、填空题二、填空题 如图，9 M S e ，5OA ，3AM ， 22 4OMOAAM， 过圆心M的平面与的夹角为 6 且平面截球O的球面得圆N， 6 NOM ，cos2 3 6 ONOM ， 5OB ， 22 13BNOBON