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1、专题对点练 16 空间中的平行与几何体的体积专题对点练 16 空间中的平行与几何体的体积 1 1. 如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为 2,B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面 3 ABB1A1底面ABC. (1)证明:MN平面ABB1A1; (2)求三棱柱B1-ABC的高及体积. 2 2.(2018 全国,文 19) 如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点. CD CD (1)证明:平面AMD平面BMC; (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由. 3 3. (2018 广西名校联盟)如图,在三棱锥P-
2、ABC中,ABPC,CA=CB,M是AB的中点.点N在棱PC上,点D 是BN的中点. 求证:(1)MD平面PAC; (2)平面ABN平面PMC. 4 4. 如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB与PAD都是边长为 2 的等边三角 形,E是BC的中点. (1)求证:AE平面PCD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积. 5 5. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点 F在棱AB上,且AF= AB. 1 4 (1)求证:EF平面BDC1; (2)求三棱锥D-BEC1的体积. 6
3、 6. 如图,正方形ABCD的边长等于 2,平面ABCD平面ABEF,AFBE,BE=2AF=2,EF=.3 (1)求证:AC平面DEF; (2)求三棱锥C-DEF的体积. 7 7. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,点M是棱CC1的中点. (1)在棱AB上是否存在一点N,使MN平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理 由; (2)当ABC是等边三角形,且AC=CC1=2 时,求点M到平面AB1C1的距离. 8 8. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BCC1B1,BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点. 3 (1)求证:
4、DB1平面ABD; (2)求点A1到平面ADB1的距离. 专题对点练 1616 答案 1 1.(1)证明 取AC的中点P,连接PN,PM. 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点, PNAB1,PMAA1. PMPN=P,AB1AA1=A,PM,PN平面PMN,AB1,AA1平面AB1A1, 平面PMN平面AB1A1. MN平面PMN, MN平面ABB1A1. (2)解 设O为AB的中点,连接B1O,由题意知B1BA是正三角形,则B1OAB. 侧面ABB1A1底面ABC,且交线为AB,B1O平面ABC, 三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=. 3 2 3 SAB
5、C= 22sin 60=, 1 2 3 三棱柱B1-ABC的体积V= SABCB1O=1. 1 3 1 3 3 3 2 2.解 (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面 CMD,故BCDM. 因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. CD 又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD, 故平面AMD平面BMC. (2)当P为AM的中点时,MC平面PBD. 证明如下:连接AC交BD于O. 因为ABCD为矩形,所以O为AC中点. 连接OP,因为P为AM中点, 所以MCOP. MC平面PBD,OP平面PBD, 所以MC
6、平面PBD. 3 3.证明 (1)在ABN中,M是AB的中点,D是BN的中点, 所以MDAN. 又因为AN平面PAC,MD平面PAC,所以MD平面PAC. (2)在ABC中,CA=CB,M是AB的中点, 所以ABMC. 又因为ABPC,PC平面PMC,MC平面PMC,PCMC=C,所以AB平面PMC.又因为AB平面ABN,所 以平面ABN平面PMC. 4 4.(1)证明 ABC=BAD=90, ADBC. BC=2AD,E是BC的中点, AD=CE, 四边形ADCE是平行四边形, AECD. 又AE平面PCD,CD平面PCD, AE平面PCD. (2)解 连接DE,BD,设AEBD=O,连接O
7、P, 则四边形ABED是正方形, O为BD的中点. PAB与PAD都是边长为 2 的等边三角形,BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,222 OPOB,OP=,OP2+OA2=PA2,即OPOA.2 又OA平面ABCD,BD平面ABCD,OAOB=O,OP平面ABCD. VP-ABCD= S梯形ABCDOP=(2+4)2=2. 1 3 1 3 1 2 22 5 5.(1)证明 取AB的中点O,连接A1O. AF= AB,F为AO的中点. 1 4 又E为AA1的中点,EFA1O. A1D= A1B1,BO= AB,ABA1B1,A1DBO, 1 2 1 2 四边形A1DBO为平行四边形, A
8、1OBD, EFBD.又EF平面BDC1,BD平面BDC1,EF平面BDC1. (2)解 AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,AA1C1D. A1C1=B1C1=A1B1=2,D为A1B1的中点, C1DA1B1,C1D=.3 又AA1平面AA1B1B,A1B1平面AA1B1B,AA1A1B1=A1, C1D平面AA1B1B. AB=AA1=2,D,E分别为A1B1,AA1的中点, SBDE=22- 12- 12- 11= . 1 2 1 2 1 2 3 2 SBDEC1D=.VD - BEC1= VC1- BDE= 1 3 1 3 3 2 3 = 3 2 6 6.(1)证明 连接
9、BD,记ACBD=O,取DE的中点G,连接OG,FG. 点O,G分别是BD和ED的中点, OGBE. 1 2 又AFBE, 1 2 OGAF, 四边形AOGF是平行四边形, AOFG,即ACFG. 又AC平面DEF,FG平面DEF, AC平面DEF. (2)解 在四边形ABEF中,过F作FHAB交BE于点H. 由已知条件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=,EH=1,3 则FH2=EF2+EH2,即FEEB,从而FEAF. AC平面DEF,点C与点A到平面DEF的距离相等, VC-DEF=VA-DEF. DAAB,DA平面ABEF, 又SAEF= AFEF= 1. 1 2 1 2 3
10、= 3 2 三棱锥C-DEF的体积VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF= SAEFAD=2=. 1 3 1 3 3 2 3 3 7 7.解 (1)在棱AB上存在中点N,使MN平面AB1C1,证明如下: 设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点, 所以NDAB1,DMB1C1,所以ND平面AB1C1,DM平面AB1C1. 又NDDM=D,所以平面NDM平面AB1C1.因为MN平面NDM,所以MN平面AB1C1. (2)因为MN平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等. 又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1
11、C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半. 因为AA1平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以AB1C1的底边B1C1上的高为.2(2 2) 2 - 1 =7 设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,VA - BC1B1= VB - AB1C1 得22h,可得h=,即点M到平面AB1C1的距离为. 1 3 3 = 1 3 1 2 7 221 7 21 7 8 8.(1)证明 在四边形BCC1B1中, BC=CD=DC1=1,BCD=, 3 BD=1. B1D=,BB1=2,3 B1DBD. AB平面BCC1B1, ABDB1, DB1平面ABD. (2)解 对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为 2. 设A1到平面ADB1的距离为h, ADB1为直角三角形,ADDB1=,S ADB1= 1 2 1 2 5 3 = 15 2 h=h.VA1- ADB1= 1 3 15 2 15 6 22=2,D到平面AA1B1的距离为,S AA1B1= 1 2 3 2 2.VD - AA1B1= 1 3 3 2 = 3 3 ,VA1- ADB1= VD - AA1B1 15h 6 = 3 3 解得h=. 25 5 点A1到平面ADB1的距离为. 25 5