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1、专题对点练 25 7.17.3 组合练专题对点练 25 7.17.3 组合练 (限时 90 分钟,满分 100 分) 一、选择题(共 9 小题,满分 45 分) 1 1.直线x-3y+3=0 与圆(x-1)2+(y-3)2=10 相交所得弦长为( ) A.B.C.4D.330 53 2 23 2 2.圆x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线ax+y-1=0 的距离为 1,则a=( ) A.-B.-C.D.2 4 3 3 4 3 3 3.圆x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线x+y-8=0 的最大距离与最小距离的差是( ) A.18B.6C.5D.4222 4 4.已知直线l:
2、mx+y-1=0(mR R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0 的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线, 切点为B,则|AB|为( ) A.4B.2C.4D.352 5 5.若直线 2x+y-4=0,x+ky-3=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为( ) A.B.C.D.5 11 4 55 4 41 20 6 6.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B为切点, 若四边形PACB面积的最小值是 2,则k的值是( ) A.B.C.2D.22 21 2 2 7 7.(2018 全国,文 10)已知
3、双曲线C:=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线 x2 a2 - y2 b2 2 的距离为( ) A.B.22 C.D.2 32 2 2 8 8.已知双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为 2 的等边 x2 a2 - y2 b2 三角形(O为原点),则双曲线的方程为( ) A.=1B.=1 x2 4 - y2 12 x2 12 - y2 4 C. -y2=1D.x2- =1 x2 3 y2 3 9 9.已知离心率为的双曲线C:=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条 5 2 x2 a2 - y2 b2 渐近线上的
4、点,且OMMF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是( )S OMF2 A.32B.16C.8D.4 二、填空题(共 3 小题,满分 15 分) 1010.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于 点A,若FAC=120,则圆的方程为 . 1111.(2018 江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐 x2 a2 - y2 b2 近线的距离为c,则其离心率的值为 . 3 2 1212.(2018 浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m1)上两点A,B满足=2,则当m= 时,
5、 x2 4 APPB 点B横坐标的绝对值最大. 三、解答题(共 3 个题,满分分别为 13 分,13 分,14 分) 1313.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4. (1)求动点A的轨迹M的方程; (2)P为轨迹M上动点,PBC的外接圆为O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离 的最小值. 1414.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为 x2 a2 + y2 b2 3 2 ,O为坐标原点. 23 3 (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积
6、最大时,求l的方程. 1515.已知椭圆=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),EFA的面积 x2 a2 + y2 b2 为. b2 2 (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|= c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线PM 3 2 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为 3c. 求直线FP的斜率; 求椭圆的方程. 专题对点练 2525 答案 1 1.A 解析 圆(x-1)2+(y-3)2=10 的圆心坐标为(1,3),半径r=,10 圆心到直线x-3y+3=0 的距离d=,故弦|AB|=2,故选 A.
7、|1 - 9 + 3| 10 = 5 10 10 - 25 10 =30 2 2.A 解析 由x2+y2-2x-8y+13=0, 得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4). 因为圆x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线ax+y-1=0 的距离为 1, 所以=1,解得a=-,故选 A. |a + 4 - 1| a2+ 12 4 3 3 3.B 解析 由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,圆半径r=3.2 圆上的点到直线x+y-8=0 的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径, 故圆的点到直线x+y-8=0 的最大
8、距离与最小距离的差是 6,故选 B.2 4 4.A 解析 由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C(2,-1),r=2. 由题意可得,直线l:mx+y-1=0 经过圆C的圆心(2,-1), 则 2m-1-1=0,m=1,故点A(-2,1). |AC|=,|CB|=r=2,20 切线的长|AB|=4.20 - 4 5 5.C 解析 圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以 2x+y-4=0 与x+ky-3=0 垂直. 所以 21+1k=0,解得k=-2,直线 2x+y-4=0 与坐标轴的交点为(2,0),(0,4), x+ky-3=0 与坐标轴的交点为,
9、(3,0),两直线的交点纵坐标为-,(0, - 3 2) 2 5 所以四边形的面积为31,故选 C. 1 2 3 2 - 1 2 2 5 = 41 20 6 6.C 解析 圆的方程为x2+(y-1)2=1,圆心C(0,1),半径r=1. 根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时, 即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为 2, |PA|=|PB|=2,圆心到直线l的距离为d=.直线方程为y+4=kx,5 即kx-y-4=0, ,解得k=2, 5 = | - 4 - 1| 1 + k2 k0,所求直线的斜率为 2.故选 C. 7 7.D 解析 双曲线C的离心率
10、为,e=,即c=a,a=b.其渐近线方程为y=x,故2 c a =22 (4,0)到C的渐近线的距离d=2. |4| 2 2 8 8.D 解析 双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且OAF是 x2 a2 - y2 b2 边长为 2 的等边三角形,不妨设点A在渐近线y= x上, b a 解得双曲线的方程为x2- =1.故选 D. c = 2, b a = tan60, a2+ b2= c2, a = 1, b = 3. y2 3 9 9.B 解析 设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y= x,可得|F2M|=b. b a bc a2+ b2 OMMF2,
11、|OM|=a,由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且,c2- b2S OMF2 1 2 c a = 5 2 解得a=8,即有双曲线的实轴长为 16.故选 B. 1010.(x+1)2+(y-)2=1 解析 抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,3 由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b0),则C(-1,b),A(0,b). FAC=120,kAF=tan 120=-,直线AF的方程为y=-x+.333 点A在直线AF上,b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.33 1111.2 解析 因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线
12、y= x的距离为=b,所以b=c. b a |bc 0| a2+ b2 = bc c 3 2 因为a2=c2-b2=c2- c2= c2, 3 4 1 4 所以a= c,e=2. 1 2 1212.5 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2). P(0,1),=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).APPB =2,APPB - x1= 2x2, 1 - y1= 2(y2- 1), 即 x1=- 2x2, y1= 3 - 2y2. 又=m,+(3-2y2)2=m, x21 4 + y21 ( - 2x2)2 4 即+4-12y2+9=m. 4x22 4 y22 又=m,4m-12y2+9
13、=m, x22 4 + y22 即 12y2=3m+9,4y2=m+3. =m, x22 4 +( m + 3 4 ) 2 即=4m,x22+ m2+ 6m + 9 4 即=-m- .x22 m2 4 + 5 2 9 4 当m=5 时,的最大值为 4,即点B横坐标的绝对值最大.x22 1313.解 (1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(ab0 且y0), x2 a2 + y2 b2 所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4, 且a2=b2+c2,解得a=2,b=,3 所以,动点A的轨迹M满足的方程为=1(y0). x2
14、4 + y2 3 (2)设P(x0,y0),不妨设 00,即k2时,x1,2=. 3 4 8k 24k2- 3 4k2+ 1 从而|PQ|=|x1-x2|=.k2+ 1 4k2+ 14k2- 3 4k2+ 1 又点O到直线PQ的距离d=, 2 k2+ 1 所以OPQ的面积SOPQ= d|PQ|=. 1 2 44k2- 3 4k2+ 1 设=t,则t0,SOPQ=.4k2- 3 4t t2+ 4 = 4 t + 4 t 因为t+4,当且仅当t=2,即k=时,等号成立,且满足0, 4 t 7 2 所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2 或y=-x-2. 7 2 7 2 1515.解 (1
15、)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= . 1 2 b2 2 又由b2=a2-c2,可得 2c2+ac-a2=0,即 2e2+e-1=0. 又因为 00),则直线FP的斜率为. 1 m 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0, x 2c + y c 与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为. (2m - 2)c m + 2 3c m + 2 ( (2m - 2)c m + 2 , 3c m + 2) 由已知|FQ|= c,有, 3 2 (2m - 2)c m + 2 + c 2 +( 3c m + 2) 2 =( 3c 2) 2 整理得 3
16、m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. 4 3 3 4 由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.3 x2 4c2 + y2 3c2 由得直线FP的方程为 3x-4y+3c=0, 与椭圆方程联立消去y,整理得 7x2+6cx-13c2=0, 3x - 4y + 3c = 0, x2 4c2 + y2 3c2 = 1, 解得x=-(舍去)或x=c. 13c 7 因此可得点P,进而可得|FP|=,(c, 3c 2) (c + c)2+( 3c 2) 2 = 5c 2 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=c. 5c 2 - 3c 2 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP. 因为QNFP, 所以|QN|=|FQ|tanQFN=, 3c 2 3 4 = 9c 8 所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理FPM的面积等于, 1 2 27c2 32 75c2 32 由四边形PQNM的面积为 3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c0,得c=2.所以,椭圆的方程为 75c2 32 - 27c2 32 x2 16 =1.+ y2 12