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1、4.解析几何4.解析几何 1.如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，1). x2 a2 y2 b2 3 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设点Q在椭圆C上， 且PQ与x轴平行， 过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2) 两点，若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值. 解 (1)由e ，得abc21， c a 3 2 3 椭圆C的方程为1. x2 4b2 y2 b2 把P(2，1)代入，得b22， 所以椭圆C的方程是1. x2 8 y2 2 (2)由已知得PA，PB的斜率存在，且互为相反数. 设直线PA的方程为y1k(x2)，其
2、中k0. 由Error!消去y，得x24kx(2k1)28， 即(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)280， 因为该方程的两根为 2，xA， 所以 2xA， 42k 1 28 14k2 即xA， 8k28k2 14k2 从而yA. 4k24k1 4k21 把k换成k，得xB，yB. 8k28k2 14k2 4k24k1 4k21 故kAB ，是定值. yByA xBxA 8k 16k 1 2 2.已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为 2，且离心率e. x2 a2 y2 b2 3 2 2 (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在定圆E， 使得过圆E上的任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1，
3、l2， 且l1，l2 与椭圆C都只有一个公共点？若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆C：1(ab0)的离心率为得，ac， x2 a2 y2 b2 2 2 2 又短轴长为 2，所以 2b2，b.333 又b2c2a2，得a，bc，63 所以椭圆C的方程为1. x2 6 y2 3 (2)假设满足条件的圆E存在，则可设P(x0，x0)是圆E上的任意一点，当过P的直线l的斜 率为k时，其方程为yk(xx0)y0，代入1，得1. x2 6 y2 3 x2 6 kxkx0y02 3 即(12k2)x24k(y0kx0)x2(y0kx0)260. 若直线l与椭圆C的公共点只有一个
4、，则中判别式0， 即 16k2(y0kx0)28(12k2)(y0kx0)230. 整理得关于k的方程(6x)k22x0y0ky30， 2 02 0 要使过圆E上任意一点都可以作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2与椭圆C都只有一个 公共点，则方程必须有两根，且两根之积为1， 故1，即xy9，满足中的判别式0. y2 03 6x2 0 2 02 0 又对于点(，)，(，)，(，)，(，)，直线l1，l2中有一条的斜率63636363 不存在，另一条的斜率为 0，显然成立，故满足条件的圆E存在，方程为x2y29. 3.已知中心在坐标原点的椭圆E的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.
5、 (1， 2 2) (1)求椭圆E的标准方程； (2)设点Q(2,0)， 过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点， 且， 若2， 1，F2A F2B 以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC的长度的最小值. 解 (1)设椭圆E的标准方程为1(ab0)，易知c1. x2 a2 y2 b2 因为椭圆E过定点M，所以1， (1， 2 2) 1 a2 1 2b2 结合c2a2b2可得a，b1，2 所以椭圆E的标准方程为y21. x2 2 (2)由题意可设l：xky1， 由Error!得(k22)y22ky10， 则4k24(k22)8(k2 1)0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
6、因为y1,2， 2k 8 k2 1 2 k2 2 k 2 k2 1 k22 所以Error! 由2得22， y1 y2 y2 y1 4k2 k22 1 4k2 k22 由2，1得 20 0，解得 0k2 . 1 2 1 1 2 4k2 k22 2 7 (x12，y1)，(x22，y2)，(x1x24，y1y2)，QA QB QA QB x1x24k(y1y2)2， 4 k2 1 k22 QC2|2(x1x24)2(y1y2)216.QA QB 16 k2 1 2 k2 2 2 4k2 k2 2 2 28 k22 8 k2 2 2 令t，则t，QC28t228t168 2 . 1 k22 7 1
7、6， 1 2(t 7 4) 17 2 所以当t 时，(QC)min2. 1 2 4.已知A，F分别是椭圆C：1(ab0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点， x2 a2 y2 b2 当PFx轴时，AF2PF. (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C上存在点Q， 使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)， 求直线AP与OQ 的斜率之积； (3)记圆O：x2y2为椭圆C的“关联圆”. 若b，过点P作椭圆C的“关联圆” ab a2b2 3 的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证 ：为定值. 3 m2 4 n2 (1)解 由PFx轴，知xPc，代入椭圆C
8、的方程， 得1，解得yP. c2 a2 y2 P b2 b2 a 又AF2PF，所以ac，所以a2ac2b2， 2b2 a 即a22c2ac0，所以 2e2e10， 由 0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上(异于椭圆C的左、 x2 a2 y2 b2 右顶点)，过右焦点F2作F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且OQ2(O为坐标 原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为 4.3 (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：xmy4(mR R)与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A，直 线AB交x轴于点D，求当ADB的面积最大时，直线l的方程. 解 (1)由椭
9、圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为 4ab4，得ab2. 1 2 33 延长F2Q交直线F1P于点R，因为F2Q为F1PF2的外角平分线的垂线， 所以PF2PR，Q为F2R的中点， 所以OQa， F1R 2 F1PPR 2 F1PPF2 2 所以a2，b，所以椭圆C的方程为1. 3 x2 4 y2 3 (2)联立Error!消去x， 得(3m24)y224my360， 所以(24m)2436(3m24)144(m24)0，即m24. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)， 解得y1,2， 12m 6m24 3m24 则y1y2，y1y2， 24m 3m24 36 3m24
10、 直线AB的斜率k， y2y1 x2x1 y2y1 x2x1 所以直线AB的方程为yy1(xx1)， y1y2 x2x1 令y0，得xD4， x1y2x2y1 y1y2 my1 4 y2y1my2 4 y1y2 2my1y2 y1y2 故xD1，所以点D到直线l的距离d， 3 1m2 所以SADBABdd 1 2 1 2 x1x22 y1y22 |y1y2| 3 2 18. m24 3m24 令t(t0)，则SADB18，m24 t 3t216 18 3t16 t 18 2 3 16 3 3 4 当且仅当 3t，即t2m24，即m24，m时，ADB的面积最大， 16 t 16 3 28 3 2 21 3 所以直线l的方程为 3x2y120 或 3x2y120.2121