《浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第16练立体几何试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第16练立体几何试题.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 16 练 立体几何第 16 练 立体几何 明晰考情 1.命题角度 ： 高考中考查线面的位置关系和线面角，更多体现传统方法.2.题目 难度：中档难度 考点一 空间中的平行、垂直关系 方法技巧 (1)平行关系的基础是线线平行， 比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系， 利用平行四边形构造平行关系 (2)证明线线垂直的常用方法 利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直 ； 利用勾股定理的逆定理； 利用线面垂直的性质 1如图，在六面体ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC. (1)求证：AE平面DBC； (2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC
2、. 证明 (1)过点D作DOBC，O为垂足 又平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC， DO平面ABC. 又AE平面ABC， AEDO. 又AE平面DBC，DO平面DBC， 故AE平面DBC. (2)由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC， DOAB. 又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC， AB平面DBC. DC平面DBC， ABDC. 又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD， DC平面ABD. 又AD平面ABD， ADDC. 2(2018江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， AA1AB，AB1B1C1. 求证：(1)AB平面A1B
3、1C； (2)平面ABB1A1平面A1BC. 证明 (1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1. 因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， 四边形ABB1A1为平行四边形 又因为AA1AB， 所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1A1B. 又因为AB1B1C1，BCB1C1， 所以AB1BC. 又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC， 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1平面A1BC. 3(2018全国)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAP
4、BPCAC4，O为AC2 的中点 (1)证明：PO平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离 (1)证明 因为PAPCAC4，O为AC的中点， 所以OPAC，且OP2.3 如图，连接OB. 因为ABBCAC， 2 2 所以ABC为等腰直角三角形， 所以OBAC，OBAC2. 1 2 由OP2OB2PB2知POOB. 因为OPOB，OPAC，OBACO， OB，AC平面ABC， 所以PO平面ABC. (2)解 作CHOM，垂足为H， 又由(1)可得OPCH， 因为OMOPO，OM，OP平面POM， 所以CH平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离 由题意
5、可知OCAC2，CMBC， 1 2 2 3 4 2 3 ACB45， 所以在OMC中，由余弦定理可得OM， 2 5 3 CH. OCMCsinACB OM 4 5 5 所以点C到平面POM的距离为. 4 5 5 4如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60. (1)求三棱锥PABC的体积； (2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值 PM MC 解 (1)AB1，AC2，BAC60， SABC ABACsin60. 1 2 3 2 由PA平面ABC可知，PA是三棱锥PABC的高，且PA1， 三棱锥PABC的体积V SABCPA. 1 3 3 6
6、 (2)在平面ABC内， 过点B作BNAC， 垂足为N， 在平面PAC内， 过点N作MNPA交PC于点M， 连接BM. PA平面ABC，AC平面ABC， PAAC， MNAC. 又BNAC，BNMNN，BN，MN平面BMN， AC平面MBN. 又BM平面MBN，ACBM. 在 RtBAN中，ANABcosBAC ， 1 2 从而NCACAN ， 3 2 由MNPA，得 . PM MC AN NC 1 3 考点二 空间角的求解 要点重组 设直线l，m的方向向量分别为a a(a1，b1，c1)，b b(a2，b2，c2)平面， 的法向量分别为u u(a3，b3，c3)，v v(a4，b4，c4)(
7、以下相同) (1)线线角 设l，m所成的角为，则 (0 2) cos. |a ab b| |a a|b b| |a1a2b1b2c1c2| a2 1b2 1c2 1 a2 2b2 2c2 2 (2)线面角 设直线l与平面所成的角为， (0 2) 则 sin|cosa a，u u|. |a au u| |a a|u u| (3)二面角 设l的平面角为，(0 ) 则|cos|cosu u，v v|. |u uv v| |u u|v v| 方法技巧 求空间角的两种方法 (1)按定义作出角，然后利用图形计算 (2)利用空间向量，计算直线的方向向量和平面的法向量，通过向量的夹角计算 5(2018诸暨模拟
8、)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD是边长为 2 的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，BADCDA，AB2CD2，E是CD的中点 2 2 (1)证明：AEPB； (2)设F是棱PB上的点，EF平面PAD，求EF与平面PAB所成角的正弦值 (1)证明 取AD的中点G，连接PG，BG， 平面PAD平面ABCD，PGAD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD， PG平面ABCD，AEPG. 又tanDAEtanABG，AEBG. 又PGBGG，PG，BG平面PBG， AE平面PBG，AEPB. (2)解 作FHAB交PA于点H，连接DH， EF平面PAD，平面FHDE
9、平面PADDH， EFDH. 四边形FHDE为平行四边形 HFDEAB， 1 4 即H为PA的一个四等分点 又ABAD，平面ABCD平面PAD，平面ABCD平面PADAD，AB平面ABCD， AB平面PAD， 作DKPA于点K， ABDK，DKPA，PAABA，PA，AB平面PAB， DK平面PAB， DHK为所求线面角， sinDHK. DK DH 3 13 2 2 39 13 6 在三棱柱ABCA1B1C1中， 侧面AA1B1B是边长为 2 的正方形， 点C在平面AA1B1B上的射影H 恰好为A1B的中点，且CH，设D为CC1的中点3 (1)求证：CC1平面A1B1D； (2)求DH与平面
10、AA1C1C所成角的正弦值 方法一 (几何法) (1)证明 因为CC1AA1且在正方形AA1B1B中AA1A1B1， 所以CC1A1B1， 取A1B1的中点E，连接DE，HE， 则HEBB1CC1且HEBB1CC1. 1 2 1 2 又D为CC1的中点， 所以HECD且HECD， 所以四边形HEDC为平行四边形， 因此CHDE， 又CH平面AA1B1B， 所以CHHE，DEHE， 所以DECC1， 又A1B1DEE，A1B1，DE平面A1B1D， 所以CC1平面A1B1D. (2)解 取AA1的中点F，连接CF，作HKCF于点K， 因为CHDE，FHA1B1，CHFHH，DEA1B1E， 所以
11、平面CFH平面A1B1D， 由(1)得CC1平面A1B1D， 所以CC1平面CFH，又HK平面CFH， 所以HKCC1， 又HKCF，CFCC1C，CF，CC1平面AA1C1C， 所以HK平面AA1C1C， 所以DH与平面AA1C1C所成的角为HDK. 在 RtCFH中，CF2，KH，31 3 2 在 RtDHK中， 由于DH2，sinHDK， KH DH 3 4 故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为. 3 4 方法二 (向量法) (1)证明 如图，以H为原点，建立空间直角坐标系， 则C(0,0，)，C1(， ，)，A1(，0,0)，32232 B1(0， ，0)，D，2 ( 2 2 ，
12、2 2 ， 3 ) 所以(， ，0)，CC1 22A1D ( 2 2 ， 2 2 ， 3 ) .B1D ( 2 2 ， 2 2 ， 3 ) 所以0，0，CC1 A1D CC1 B1D 因此CC1平面A1B1D. (2)解 设平面AA1C1C的法向量为n n(1，x，y)， 由于(， ，0)，(，0，)，AA1 22A1C 23 则n nx0，AA1 22 n ny0，A1C 23 得x1，y， 6 3 所以n n. (1，1， 6 3) 又，HD ( 2 2 ， 2 2 ， 3 ) 设为DH与平面AA1C1C所成的角， 所以 sin， |HD n n| |HD |n n| 2 2 2 6 3
13、3 4 故DH与平面AA1C1C所成角的正弦值为. 3 4 7 (2018浙江省杭州市第二中学模拟)如图， 在四边形ABCD中，ABCD， ABD30，AB 2CD2AD2，DE平面ABCD，EFBD，且BD2EF. (1)求证：平面ADE平面BDEF； (2)若二面角CBFD的大小为 60，求CF与平面ABCD所成角的正弦值 (1)证明 在ABD中，ABD30， 由AD2AB2BD22ABBDcos30， 解得BD，3 所以AD2BD2AB2， 根据勾股定理得ADB90， ADBD. 又因为DE平面ABCD，AD平面ABCD， 所以ADDE. 又因为BDDED，BD，DE平面BDEF， 所以
14、AD平面BDEF， 又AD平面ADE， 所以平面ADE平面BDEF， (2)解 方法一 如图，由(1)可得ADB90，ABD30， 则BDC30，则BCD为锐角为 30的等腰三角形 CDCB1, 则CG . 1 2 过点C作CHDA，交DB，AB于点G，H， 则点G为点F在平面ABCD上的投影连接FG， 则CGBD，DE平面ABCD，则CG平面BDEF. 过点G作GIBF于点I，连接HI，CI， 则BF平面GCI， 即GIC为二面角CBFD的平面角， 则GIC60. 则 tan60，CG ，则GI. CG GI 1 2 1 2 3 在直角梯形BDEF中，G为BD的中点，BD，GIBF，GI，3
15、 1 2 3 设DEx，则GFx， SBGF BGGF BFGI， 1 2 1 2 则DE.tanFCG， 6 8 FG GC 6 4 则 sinFCG，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为. 33 11 33 11 方法二 由题意可知DA，DB，DE两两垂直， 以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线为x轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设DEh，则D(0,0,0)，B(0， ，0)，C，F.3 ( 1 2， 3 2 ，0) (0， 3 2 ，h) ，BC ( 1 2， 3 2 ，0)BF (0， 3 2 ，h) 设平面BCF的法向量为m m(x，y，z)， 则Err
16、or! 所以Error!取x，3 所以m m， ( 3，1， 3 2h) 取平面BDEF的法向量为n n(1,0,0)， 由|cosm m，n n|cos60， |m mn n| |m m|n n| 解得h，则DE， 6 8 6 8 又，CF ( 1 2，0， 6 8) 则|，CF 22 8 设CF与平面ABCD所成的角为， 则 sin. |CF DE | |CF |DE | 33 11 故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为. 33 11 8.如图， 在四棱锥PABCD， 底面ABCD为梯形，ADBC，ABBCCD1，DA2，DP平面ABP，O， M分别是AD，PB的中点 (1)求证：PD
17、平面OCM； (2)若AP与平面PBD所成的角为 60，求线段PB的长 (1)证明 连接OB，设BD与OC的交点为N，连接MN. 因为O为AD的中点，AD2， 所以OAOD1BC. 又因为ADBC， 所以四边形OBCD为平行四边形， 所以N为BD的中点， 又因为M为PB的中点， 所以MNPD. 又因为MN平面OCM，PD平面OCM， 所以PD平面OCM. (2)解 由四边形OBCD为平行四边形，知OBCD1， 所以AOB为等边三角形，所以BAD60 所以BD，142 1 2 1 2 3 即AB2BD2AD2，即ABBD. 因为DP平面ABP，所以ABPD. 又因为BDPDD，BD，PD平面BD
18、P， 所以AB平面BDP， 所以APB为AP与平面PBD所成的角，即APB60， 所以在 RtABP中，可得PB. 3 3 例 (15 分)如图，已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，现将DAC沿着对角线AC向上翻折 到PAC的位置，此时PAPB. (1)求证：平面PAB平面ABC； (2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值 审题路线图 (1)分析翻折前后的图形关系PAPB，PAPCPA 平面PBCPABC BCAB BC 平面PAB平面PAB 平面ABC (2)方法一 (作角) 作BDPC于D，连接AD证明BAD为直线AB与平面PAC所成的角 在 ADB中计算sinBAD 方法二 (向量法
19、) 利用1中垂直关系建立空间直角坐标系写出点的坐标求平面PAC的法向量 求向量的夹角线面角 规范解答评分标准 (1)证明 因为PAPB，PAPC，PBPCP， 所以PA平面PBC，2 分 所以PABC， 又BCAB，ABAPA， 所以BC平面PAB，4 分 又BC平面ABC， 所以平面PAB平面ABC.6 分 (2)解 方法一 如图，作BDPC于点D，连接AD， 由(1)知，PA平面PBC， 所以PABD， 而BDPC，PAPCP，PA，PC平面PAC， 所以BD平面PAC， 所以BAD为直线AB与平面PAC所成的角9 分 在 RtPBC中，BC3，PC4，PB，7 所以BD，又AB4， 3
20、7 4 在 RtADB中，sinBAD，13 分 BD AB 3 7 16 所以直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15 分 3 7 16 方法二 由(1)知平面PAB平面ABC， 所以在平面PAB内，过点P作PEAB于点E， 则PE平面ABC， 如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系(z轴与直线PE平行)， 在 RtPBC中，BC3，PC4，PB，7 在 RtAPB中，AP3，AB4，PE，BE ， 3 7 4 7 4 可知A(0，4,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)， P，(3,4,0)，10 分 (0， 7 4， 3 7 4) AC AP (0， 9 4， 3 7 4) 则易
21、得平面PAC的一个法向量为m m，12 分 (4，3， 9 7) (0,4,0)，所以 cos，m m，AB AB AB m m |AB |m m| 3 7 16 故直线AB与平面PAC所成角的正弦值为.15 分 3 7 16 构建答题模板 方法一 第一步 找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直 第二步 作角：利用定义结合垂直关系作出所求角 第三步 计算：将所求角放在某三角形中，计算 方法二 第一步 找垂直：利用图形中的线线垂直推证线面垂直和面面垂直，同时为建系作准备 第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点的坐标 第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量 第四步 求夹
22、角：计算向量的夹角，得到所求的线面角或二面角 1在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD， 底面ABCD为梯形，ABCD， ABCBCD 90，BCCD2. AB 2 (1)证明：BDPA； (2)若PAD为正三角形，求直线PA与平面PBD所成角的余弦值 (1)证明 在直角梯形ABCD中，因为AD2，BD2，AB4，42222222222 所以AD2BD2AB2，所以BDAD. 又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，BD底面ABCD， 所以BD平面PAD， 又PA平面PAD， 所以BDPA. (2)解 方法一 如图，取PD的中点M，连接AM，BM. 因为PAD为正三角形，所
23、以AMPD. 又由(1)知，BD平面PAD， 所以平面PBD平面PAD， 又平面PAD平面PBDPD，AM平面PAD， 所以AM平面PBD， 故APM即为直线PA与平面PBD所成的角 故 cosAPM ， 1 2 即直线PA与平面PBD所成角的余弦值为 . 1 2 方法二 在平面PAD内， 过点P作PQAD， 垂足为Q， 取AB的中点N， 连接QN， 易知，PQ，AQ，QN 两两垂直 以Q为坐标原点，QA，QN，QP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示 则P(0,0，)，A(，0,0)，62 B(，2，0)，D(，0,0)222 设n n(x，y，z)为平面PBD的法向量 由
24、n n0，n n0，且(0,2，0)，DB PD DB 2 (，0，)，PD 26 得Error! 取z1，则n n( ，0，1)，3 又(，0，)，PA 26 所以 cosn n， ，PA 2 3 6 1 8 2 3 2 因此直线PA与平面PBD所成角的余弦值为 . 1 2 2 设平面ABCD平面ABEF，ABCD，ABEF， BAFABC90，BCCDAFEF1，AB2. (1)证明：CE平面ADF； (2)求直线DF与平面BDE所成角的正弦值 (1)证明 ABCD, ABEF，CDEF. 又CDEF， 四边形CDFE是平行四边形 CEDF，又CE平面ADF，DF平面ADF， CE平面AD
25、F. (2)解 取AB的中点G，连接CG交BD于点O，连接EO，EG. CDEF， DF与平面BDE所成的角等于CE与平面BDE所成的角 ABAF，平面ABCD平面ABEF， AF平面ABCD. 又EGAF， EG平面ABCD， EGBD.连接DG， 在正方形BCDG中，BDCG， 故BD平面ECG. 平面BDE平面ECG. 在平面CEO中，作CHEO，交直线EO的延长线于点H，得CH平面BDE. CEH是CE与平面BDE所成的角 过点G作GQEO. OCOG， CHGQ. 3 3 CE，3 sinCEH . CH CE 1 3 3(2018宁波模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PAD为正三角
26、形，四边形ABCD为直角 梯形，CDAB，BCAB， 平面PAD平面ABCD， 点E，F分别为AD，CP的中点，ADAB2CD2. (1)证明：直线EF平面PAB； (2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值 (1)证明 设BC的中点为M，连接EM，FM， 易知EMAB，FMPB， 因为EMAB，EM平面PAB，AB平面PAB， 所以EM平面PAB. 同理FM平面PAB. 又EMFMM，EM平面FEM，FM平面FEM， 所以平面FEM平面PAB， 又EF平面FEM， 所以直线EF平面PAB. (2)解 连接PE，PM， 因为平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，且PEAD，PE
27、平面PAD， 所以PE平面ABCD，PEBC. 又因为EMBC，PEEME， 所以BC平面PEM， 所以平面PBC平面PEM. 过点E作EHPM于点H，连接FH， 由平面PBC平面PEM可知，EH平面PBC. 所以直线EF与平面PBC所成的角为EFH. 易求得EFPC，EH， 1 2 6 2 3 7 7 所以 sinEFH. EH EF 3 7 7 6 2 42 7 4如图，在边长为 2 的正方形ABCD中，E为AB的中点，将ADE沿直线DE折起至ADE 的位置，使得平面ADE平面BCDE，F为线段AC的中点 (1)求证：BF平面ADE； (2)求直线AB与平面ADE所成角的正切值 (1)证明
28、 取AD的中点M，连接FM，EM， F为AC的中点， FMCD且FMCD， 1 2 又E为AB的中点，且ABCD，且ABCD， BECD且BECD， 1 2 BEFM且BEFM， 四边形BFME为平行四边形 BFEM， 又EM平面ADE，BF平面ADE， BF平面ADE. (2)解 在平面BCDE内作BNDE，交DE的延长线于点N， 平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，BN平面BCDE， BN平面ADE，连接AN， 则BAN为AB与平面ADE所成的角 易知BNEDAE， ，又BE1， EN BN AE AD 1 2 BN，EN. 2 5 5 5 5 在ADE中，作APDE，垂足为P， AE1，AD2， AP，EP. 2 5 5 5 5 在 RtAPN中，PNPEEN，AP， 2 5 5 2 5 5 AN. 2 10 5 在 RtABN中，tanBAN， BN AN 2 2 直线AB与平面ADE所成角的正切值为. 2 2