《浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第19练圆锥曲线热点问题试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第19练圆锥曲线热点问题试题.pdf（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 19 练 圆锥曲线热点问题第 19 练 圆锥曲线热点问题 明晰考情 1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高 考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型.2.题目难度：中高档难度 考点一 直线与圆锥曲线 方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题， 一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立 来处理 (1)设直线方程， 在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论， 或 者将直线方程设成xmyb(斜率不为 0)的形式 (2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程， 利用方程根的判别式或根与系数的 关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系 (3)一
2、般涉及弦长的问题， 要用到弦长公式|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.1k21 1 k2 1已知F是椭圆1 的右焦点， 过F的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x1，y2)两点 x2 6 y2 2 (1)若x1x23，求弦AB的长； (2)O为坐标原点，AOB，满足 3tan4，求直线l的方程OA OB 6 解 (1)由题意可知过F的直线l斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)， 联立Error! 得(3k21)x212k2x12k260， 0 显然成立 x1x23， 3， 12k2 3k21 k21，则x1x2 ， 12k26 3k21 3 2 |AB|x1x2|1k2 .2x1x
3、224x1x26 (2)3tan4，OA OB 6 |sin，OA OB 4 6 3 SAOB， 2 6 3 即 2|y1y2|， 1 2 2 6 3 由题意知，l的斜率不为 0，故设直线l的方程为xmy2，联立Error! 得(m23)y24my20，0 显然成立 y1y2，y1y2， 4m m23 2 m23 (y1y2)24y1y2 ， 8 3 即m43m20， m0 或m，3 直线l的方程为x2 或xy20.3 2设A，B为曲线C：y上两点， x2 4 A与B的横坐标之和为 4. (1)求直线AB的斜率； (2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的
4、方程 解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x2，y1，y2，x1x24， x2 1 4 x2 2 4 于是直线AB的斜率k1. y1y2 x1x2 x1x2 4 (2)由y，得y . x2 4 x 2 设M(x3，y3)，由题设知1， x3 2 解得x32，于是M(2,1) 设直线AB的方程为yxm， 故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|. 将yxm代入y， x2 4 得x24x4m0. 当16(m1)0， 即m1 时，x1,222.m1 从而|AB|x1x2|4.2 2 m 1 由题设知|AB|2|MN|， 即 42(m1)， 2 m 1 解得m7 或m1(舍
5、) 所以直线AB的方程为xy70. 3设椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 .已知A是抛物线y2 x2 a2 y2 b2 1 2 2px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 . 1 2 (1)求椭圆的方程和抛物线的方程； (2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x 轴相交于点D.若APD的面积为，求直线AP的方程 6 2 解 (1)设点F的坐标为(c，0)，依题意，得 ， c a 1 2 a，ac ， p 2 1 2 解得a1，c ，p2， 1 2 于是b2a2c2 . 3 4 所以椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y24x
6、. 4y2 3 (2)设直线AP的方程为xmy1(m0)， 与直线l的方程x1 联立， 可得点P， (1， 2 m) 故点Q. (1， 2 m) 将xmy1 与x21 联立，消去x， 4y2 3 整理得(3m24)y26my0， 解得y0 或y. 6m 3m24 由点B异于点A，可得点B， ( 3m24 3m24 ， 6m 3m24) 由Q，可得直线BQ的方程为(x1)0， (1， 2 m)( 6m 3m24 2 m)( 3m24 3m24 1)(y2 m) 令y0，解得x， 23m2 3m22 故点D. ( 23m2 3m22，0) 所以|AD|1. 23m2 3m22 6m2 3m22 又
7、因为APD的面积为， 6 2 故 ，整理得 3m22|m|20， 1 2 6m2 3m22 2 |m| 6 2 6 解得|m|， 6 3 所以m. 6 3 所以直线AP的方程为 3xy30 或 3xy30.66 考点二 圆锥曲线中的范围、最值问题 方法技巧 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法 (1)几何法 ： 若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结 合求解 (2)代数法 ： 若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参 数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围 4 已知椭圆E：1 的焦点在x轴上，A是E的左顶点， 斜率为k(k
8、0)的直线交E于A，M x2 t y2 3 两点，点N在E上，MANA. (1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积； (2)当 2|AM|AN|时，求k的取值范围 解 (1)设M(x1，y1)，则由题意知y10. 当t4 时，椭圆E的方程为1，A(2,0) x2 4 y2 3 由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为. 4 因此直线AM的方程为yx2. 将xy2 代入1，得 7y212y0， x2 4 y2 3 解得y0 或y，所以y1. 12 7 12 7 因此AMN的面积SAMN2 . 1 2 12 7 12 7 144 49 (2)由题意知t3，k0，A(，0)，设M(
9、x1，y1)，t 将直线AM的方程yk(x)代入1，t x2 t y2 3 得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.t 由x1()，t t2k23t 3tk2 得x1， t 3 tk2 3tk2 故|AM|x1|.t1k2 6t 1 k2 3tk2 由题设，直线AN的方程为y (x)， 1 k t 故同理可得|AN|. 6k t 1 k2 3k2t 由 2|AM|AN|，得， 2 3tk2 k 3k2t 即(k32)t3k(2k1)， 当k时上式不成立，因此t. 3 2 3k 2 k 1 k32 t3 等价于b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点， 直线AF x2 a2 y2 b2 3 2
10、的斜率为，O为坐标原点 2 3 3 (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程 解 (1)设F(c，0)，由条件知， ，得c. 2 c 2 3 3 3 又 ，所以a2，b2a2c21. c a 3 2 故E的方程为y21. x2 4 (2)当lx轴时不合题意， 故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 将ykx2 代入y21， x2 4 得(14k2)x216kx120. 当16(4k23)0， 即k2 时，x1,2. 3 4 8k 2 4k23 4k21 从而|PQ|x1x2|.k21 4k21 4k23 4k21 又点O到
11、直线PQ的距离d， 2 k21 所以OPQ的面积SOPQ d|PQ|. 1 2 4 4 k23 4k21 设t，4k23 则t0，SOPQ1. 4t t24 4 t4 t 当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0. 7 2 所以当OPQ的面积最大时，l的方程为 2yx40.7 6(2016浙江)如图所示，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距 离等于|AF|1. (1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B， 过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN 与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围 解 (1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到
12、直线x1 的距离， 由抛物线的定义得 1，即p2. p 2 (2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)， 可设A(t2，2t)，t0，t1，B(xB，yB) AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)， 由Error!消去x得y24sy40，0 显然成立 故 2tyB4，yB ， 2 t B. ( 1 t2， 2 t) 又直线AB的斜率为， 2t t21 故直线FN的斜率为， t21 2t 从而得直线FN：y(x1)， t21 2t 直线BN：y . 2 t N. ( t23 t21， 2 t) 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得， 2t t2m 2t2 t t2t 23
13、t21 于是m2， 2t2 t21 2 t21 m2. 经检验知，m2 满足题意 综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，) 考点三 圆锥曲线中的证明问题 方法技巧 圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现 无论证明什么结论， 要对 已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思 路及转化方向 7(2018全国) 设椭圆C：y21 的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点， x2 2 点M的坐标为(2,0) (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB. (1)解 由已知得F(1,0)，l的方程为x1. 由
14、已知可得，点A的坐标为或. (1， 2 2) (1， 2 2) 又M(2,0)， 所以AM的方程为yx或yx. 2 2 2 2 2 2 即xy20 或xy20.22 (2)证明 当l与x轴重合时，OMAOMB0. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以OMAOMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和22 kMAkMB. y1 x12 y2 x22 由y1kx1k，y2kx2k，得 kMAkMB. 2kx1x23kx1x2 4 k x1 2 x2 2 将yk(x1)代入y21，得
15、 x2 2 (2k21)x24k2x2k220，由题意知0 恒成立， 所以x1x2，x1x2. 4k2 2k21 2k22 2k21 则 2kx1x23k(x1x2)4k0， 4k34k12k38k34k 2k21 从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补 所以OMAOMB. 综上，OMAOMB. 8已知椭圆C：1(ab0)的焦距为 2，且C过点. x2 a2 y2 b2 3 ( 3， 1 2) (1)求椭圆C的方程； (2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任意一点，过点P 作PMy轴于M，N为线段PM的中点， 直线B2N与直线y1 交于点D，E为线段B
16、1D的中点，O 为坐标原点，求证：ONEN. (1)解 由题设知焦距为 2，所以c. 33 又因为椭圆过点， ( 3， 1 2) 所以代入椭圆方程得1， 3 a2 1 4 b2 因为a2b2c2，解得a2，b1, 故所求椭圆C的方程是y21. x2 4 (2)证明 设P(x0，y0)，x00，则M(0，y0)，N. ( x0 2 ，y0) 因为点P在椭圆C上， 所以y1. x2 0 4 2 0 即x44y. 2 02 0 又B2(0,1)，所以直线B2N的方程为y1x. 2 y0 1 x0 令y1，得x， x0 1y0 所以D. ( x0 1y0，1) 又B1(0，1)，E为线段B1D的中点，
17、 所以E. ( x0 21y0，1) 所以，.ON ( x0 2 ，y0)EN ( x0 2 x0 21y0，y 01) 因为y0(y01)ON EN x0 2 x0 2 x0 21y0 yy01y01y01y00， x2 0 4 x2 0 41y0 2 0 44y2 0 41y0 所以，即ONEN.ON EN 9 已知抛物线C：y22px过点P(1,1)， 过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N， (0， 1 2) 过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点 (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点 (1)解 由抛物线C：y
18、22px过点P(1,1)，得p ， 1 2 所以抛物线C的方程为y2x， 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x . ( 1 4，0) 1 4 (2)证明 由题意，直线l的斜率存在， 设直线l的方程为ykx (k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2) 1 2 由Error! 得 4k2x2(4k4)x10， 则x1x2，x1x2. 1k k2 1 4k2 (4k4)216k216k232k1616k232k160，所以kb0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆 x2 a2 y2 b2 3 3 截得的线段长为. 4 3 3 (1)求椭圆的方程； (2)设A，
19、B分别为椭圆的左、 右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点 若AC 8，O为坐标原点，求OCD的面积DB AD CB 解 (1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以. 4 3 3 2b2 a 4 3 3 因为椭圆的离心率为，所以 ， 3 3 c a 3 3 又a2b2c2，可解得b，c1，a.23 所以椭圆的方程为1. x2 3 y2 2 (2)由(1)可知F(1,0)， 则直线CD的方程为yk(x1) 联立Error! 消去y得(23k2)x26k2x3k260. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以x1x2，x1x2. 6k2 23k2 3k26 2
20、3k2 又A(，0)，B(，0)，33 所以AC DB AD CB (x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)3333 6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k268， 2k212 23k2 解得k.2 从而x1x2 ，x1x20. 6 2 23 2 3 2 3 26 23 2 所以|x1x2| ，x1x224x1x2 ( 3 2) 24 0 3 2 |CD|x1x2| .1k212 3 2 3 3 2 而原点O到直线CD的距离d， |k| 1k2 2 12 6 3 所以OCD的面积 S |CD|d . 1 2 1 2 3 3 2 6 3 3 2 4 3(2018金华浦江适应
21、性考试)如图，设椭圆C：1(ab0)，左、右焦点为F1，F2， x2 a2 y2 b2 上顶点为D，离心率为，且2. 6 3 DF1 DF2 (1)求椭圆C的方程； (2)设E是x轴正半轴上的一点， 过点E任作直线l与C相交于A，B两点， 如果 1 |EA|2 1 |EB|2 是定值，试确定点E的位置，并求SDAESDBE的最大值 解 (1)由题意知，D(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)， 由e，得 . 6 3 c a 6 3 由2，得c2b22，DF1 DF2 又a2b2c2， a，b，c2.62 椭圆C的方程为1. x2 6 y2 2 (2)当l的斜率不为 0 时，设AB的方程为x
22、tym， 由Error!消去x，得 (t23)y22tmym260， 4t2m24(m26)(t23)4(6t2183m2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1y2，y1y2， 2tm t23 m26 t23 ， 1 |EA|2 1 |EB|2 1 1t2( 1 y2 1 1 y2 2) 1 1t2 y1y222y1y2 y1y22 2 m212t2 6 m2 6 m2 6 2 1 t2 m，它满足0，3 E(，0)，为定值 2.3 1 |EA|2 1 |EB|2 当E为(，0)，l：y0 时，满足2，3 1 |EA|2 1 |EB|2 此时SDAESDBE () () . 1 2
23、263 1 2 263 3 2 当l的斜率不为 0 时，y1y2，y1y2， 2 3 t t23 3 t23 由D到AB的距离d，|AE|y1|，|BE|y2|， | 2 t 3| 1t2 1t21t2 得SDAESDBEd|AE|. 1 2( 1 2d|BE|) 3 2t 3 2 4(t23) 令ut，则t，23 u 3 2 则SDAESDBE ， 3 2 u2 u22 3u9 3 2( 9 u2 2 3 u 1) 3 29(1 u 3 9) 22 3 9 4 当且仅当 ，即u3，t时，等号成立 1 u 3 9 36 故(SDAESDBE)max . 9 4 4(2017浙江)如图，已知抛物
24、线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y) ( 1 2， 1 4)( 3 2， 9 4) ，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. ( 1 2x 3 2) (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|PQ|的最大值 解 (1)设直线AP的斜率为k，kx ， x21 4 x1 2 1 2 因为 x . 1 2 3 2 所以直线AP斜率的取值范围为(1,1) (2)联立直线AP与BQ的方程Error! 解得点Q的横坐标是xQ. k24k3 2 k2 1 因为|PA| 1k2(x1 2) (k1)，1k2 |PQ|(xQx)1k2 ， k 1 k 1 2 k21 所以|PA|PQ|(k1)(k1)3， 令f(k)(k1)(k1)3， 因为f(k)(4k2)(k1)2， 所以f(k)在区间上单调递增，在区间上单调递减 (1， 1 2)( 1 2，1) 因此当k 时，|PA|PQ|取得最大值. 1 2 27 16