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1、专题 4.11 匀速圆周运动问题（提高篇）专题 4.11 匀速圆周运动问题（提高篇） 一选择题 1（3 分）(2019 浙江台州模拟)如图所示，A、B 为某小区门口自动升降杆上的两点，A 在杆的顶端，B 在 杆的中点处。杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程中，下列判断正确的是（ ） AA、B 两点角速度大小之比 2：1 BA、B 两点线速度大小之比 2：1 CA、B 两点向心加速度大小之比 4：1 DA、B 两点向心加速度大小之比 1：4 【参考答案】B 【命题意图】 本题以小区门口自动升降杆为情景，考查匀速圆周运动的角速度与线速度、周期、向心加 速度及其相关的知识点。 【解题思路】因为自动升降
2、杆上的两点 A、B 两点是同轴转动，所以 A、B 两点的角速度是相等的，选项 A 错误；由角速度与线速度关系式 vr，可知角速度相等时线速度之比等于半径之比，即 A、B 两点线速 度大小之比为 2：1，选项 B 正确；由向心加速度公式 ar2，可知角速度相等时向心加速度之比等于半径 之比，所以 A、B 两点向心加速度大小之比 2：1，故 CD 错误。 2. （2019 辽宁沈阳一模）我国高铁技术发展迅猛，目前处于世界领先水平，已知某路段为一半径为 5600 米的弯道，设计时速为 216km/h（此时车轮轮缘与轨道间无挤压） ，已知我国的高铁轨距约为 1400mm，且角 度较小时可近似认为，重力
3、加速度 g 等于 10m/s2，则此弯道内、外轨高度差应为（ ） A. 8cm B. 9cm C. 10cm D. 11cm 【参考答案】B 【名师解析】 要使火车安全通过弯道，则火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据向 心力公式列式求解； 由题可知：半径，时速为；根据牛顿第二定律得： 解得 ： 。由题意得，而，联立得 ：，故 B 正确，ACD 错误。 【名师点睛】解决本题的关键理清向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，注意单位的统一。 3. (2019 浙江模拟)如图所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另 一端栓接一质量为m的小球
4、B， 绳长lh， 转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动， 当转动的角速度 逐渐增大时，下列说法正确的是 A. 小球始终受三个力的作用 B. 细绳上的拉力始终保持不变 C. 要使球离开水平面角速度至少为 D. 若小球飞离了水平面则线速度为 g h gl 【参考答案】C 【名师解析】当小球角速度较小时，小球受重力、支持力和拉力三个力作用，当小球角速度较大时，小球 会脱离水平面，小球受重力和拉力两个力作用，故A错误。小球在水平面内做匀速圆周运动，竖直方向上 的合力为零，当小球脱离水平面后，角速度增大时，绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大，故B错误。 当小球刚好离开水平面时，受重力和拉力作用，根据牛
5、顿第二定律得，Fcos=mg，Fsin=mlsin2， 联立解得 =，故C正确；v=lsin=htan，选项D错误。 g h 4. （2018 湖北荆州中学质检）在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低如图所示，在某路段汽车向 左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些汽车的运动可看做是做半径为R的圆周运动设内外路面 高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦 力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( ) A. B. C. D. gRh L gRh d gRL h gRd h 【参考答案】B 【名师解析】要使车轮与路面之间的横
6、向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，重力与支持力的合力等于向 心力，mgtan=m 2 v R ，tan=h/d，联立解得汽车转弯时的车速 v=，选项 B 正确。 gRh d 5.质量分别为M和m的两个小球， 分别用长 2l和l的轻绳拴在同一转轴上， 当转轴稳定转动时， 拴质量为M 和m的小球悬线与竖直方向夹角分别为和，如图所示，则( ) AcosBcos2cos cos 2 CtanDtantan tan 2 【参考答案】 A 【名师解析】 以M为研究对象受力分析， 由牛顿第二定律得MgtanM2lsin， 解得。 2 12 1 gtan 2lsin 同理：以m为研究对象：。因12，所以 2
7、coscos，故 A 正确。 2 2 gtan lsin 6.(2018浙江省名校协作体 3 月考试)游乐园中的竖直摩天轮在匀速转动时，其每个载客轮舱能始终保持 竖直直立状(如图)，一质量为m的旅行包放置在该摩天轮轮舱水平板上。已知旅行包在最高点对水平板的 压力为 0.8mg，下列说法正确的是( ) A摩天轮转动过程中，旅行包所受合力不变 B旅行包随摩天轮的运动过程中始终受到轮舱水平板的摩擦力作用 C旅行包随摩天轮运动到圆心等高处时受到的摩擦力为 0.2mg D旅行包随摩天轮运动的过程中机械能守恒 【参考答案】C 【名师解析】 旅行包跟随摩天轮做匀速圆周运动，旅行包所受合力提供向心力，大小不变
8、，方向时刻在 变化，故 A 错误。旅行包随摩天轮的转动而做匀速圆周运动，合力提供向心力，在最高点与最低点只受到 重力和支持力的作用， 不受摩擦力， 故 B 错误。 在最高点有 ：mgFNm， 且FN0.8mg， 联立解得m0.2mg； v2 R v2 R 旅行包随摩天轮运动到圆心等高处时，由摩擦力提供向心力，则有Ffm0.2mg，故 C 正确；旅行包随 v2 R 摩天轮运动的过程中动能不变，而重力势能会变，故机械能不守恒，故 D 错误。 7.如图所示，倾角为 30的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板，质量为m的小球 从斜面上高为 处静止释放，到达水平面时恰能贴着挡板内侧运动。
9、不计小球体积，不计摩擦和机械能损失。 R 2 则小球沿挡板运动时对挡板的压力是( ) A.0.5mg B.mg C.1.5mg D.2mg 【参考答案】B 【名师解析】 设小球运动至斜面最低点(即进入水平面上的半圆形挡板)时的速度为v， 由机械能守恒定律 得mg mv2，解得v； 依题意可知，小球贴着挡板内侧做匀速圆周运动，所需要的向心力由挡板对 R 2 1 2 gR 它的弹力提供，设该弹力为FN，则FNm，将v代入解得FNmg； 由牛顿第三定律可知，小球沿挡板 v2 R gR 运动时对挡板的压力大小等于mg，故选项 B 正确。 8如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴
10、上，a、b为两个可视为质点的小 球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oaab，已知b球质量为a球质量的 3 倍。当轻杆绕O轴 在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为( ) A.13 B.16 C.43 D.76 【参考答案】D 【名师解析】 设a球质量为m，则b球质量为 3m，由牛顿第二定律得， 对a球：FOaFabm2xOa 对b球：Fab3m2(xOaxab) 由以上两式得，Oa和ab两线的拉力之比为FOaFab76，D 正确。 9.(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M2.0 kg 的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm6.0 N， 绳 的一端系住木块，另一端穿过转
11、台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m1.0 kg 的小球，当转台以5.0 rad/s 的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是( ) A.6 cm B.15 cm C.30 cm D.34 cm 【参考答案】BC 【名师解析】 转台以一定的角速度旋转， 木块M所需的向心力与回旋半径r成正比， 在离O点最近处r r1时，M有向O点的运动趋势，这时摩擦力Ff沿半径向外，刚好达最大静摩擦力Ffm，即mgFfmM2r1 得r1 m0.08 m8 cm mgFfm M2 1.0 106.0 2.0 5.02 同理，M在离O点最远处rr2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力Ff的方向指
12、向O点，且达到最大静 摩擦力Ffm，即mgFfmM2r2 得r2 m0.32 m32 cm mgFfm M2 1.0 106.0 2.0 5.02 则木块M能够相对转台静止，回旋半径r应满足关系式r1rr2。选项 B、C 正确。 10.如图所示，在光滑水平面上，钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A 上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉 子上，现使小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放， 在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( ) A.小球的线速度变
13、大 B.小球的角速度变大 C.小球的加速度变大 D.细绳对小球的拉力变小 【参考答案】D 【名师解析】 小球以初速度v0在水平面上沿俯视逆时针方向做圆周运动， 小球的线速度不变， 选项 A 错误 ； 由于vr，两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，小球做圆周运动的半径r增大，角速度减小，选项 B 错误 ； 由av可知，小球的加速度变小，选项 C 错误；由牛顿第二定律可知，细绳对小球的拉力变小，选项 D 正确。 11.质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb，如图所示，当木架 绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，
14、 当小球运动到图示位置时，绳b被烧断，同时木架停止转动，则( ) A.小球仍在水平面内做匀速圆周运动 B.在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大 C.若角速度较小，小球可能在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动 D.绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为m2lb 【参考答案】BC 【名师解析】 根据题意，在绳b被烧断之前，小球绕BC轴做匀速圆周运动，竖直方向上受力平衡，绳a 的拉力等于mg，D 错误；绳b被烧断的同时木架停止转动，此时小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球 将在垂直于平面ABC的平面内运动，若较大，则在该平面内做圆周运动，若较小，则在该平面内来 回摆动，C 正确，A 错误；
15、绳b被烧断瞬间，绳a的拉力与重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重 力，绳a中的张力突然变大了，故 B 正确。 12.(2015河北唐山高三一模)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动， 有两个质量相同的小球A和小球B紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的 是( ) AA球的线速度必定小于B球的线速度 BA球的角速度必定大于B球的角速度 CA球运动的周期必定大于B球的周期 DA球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力 【参考答案】C 【名师解析】 两球所受的重力大小相等， 支持力方向相同， 根据力的合成， 知两支持力大小、 合力大小相等， D
16、 错误 ； 根据F合，合力、质量相等，r越大，线速度大，所以球A的线速度大于球B的线速度，A 错误 ；F mv2 r 合m2r合力、 质量相等，r越大， 角速度越小，A球的角速度小于B球的角速度， B 错误 ； 根据F合m r， 42 T2 合力、质量相等，r越大，周期越大，A球的周期大于B球的周期，C 正确。 13 (2019湖南六校联考)如图所示， 在某行星表面上有一倾斜的匀质圆盘， 盘面与水平面的夹角为 30， 圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离L处有一小物体与圆盘保持 相对静止，当圆盘的角速度为时，小物块刚要滑动物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力
17、3 2 等于滑动摩擦力)，该星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是( ) A这个行星的质量M 2R2L G B这个行星的第一宇宙速度v12 LR C这个行星的同步卫星的周期是 R L D离行星表面距离为R的地方的重力加速度为2L 【参考答案】 BCD 【名师解析】当物体转到圆盘的最低点，所受的摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二 定律可得mgcos 30mgsin 30m2L，所以g42L，绕该行星表面做 m2L mcos 30msin 30 匀速圆周运动的物体受到的万有引力提供向心力，则Gmg，解得M，A 错误；行星的第一 Mm R2 gR2 G 42R2L G 宇宙速
18、度v12， B正确 ； 这个行星的同步卫星的周期与行星的自转周期相同， 由GmgmRgRLR Mm R2 42 T2 得T， 所以 C 正确 ； 离行星表面距离为R的地方的引力为mgmg， 即重力加速度为g R L GMm 2R2 1 4 g2L，D 正确 1 4 14.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶 上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( ) A.绳的张力可能为零 B.桶对物块的弹力不可能为零 C.随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变 D.随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大 【参考答案】C 【名师解析】 当物块随
19、圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力 为一定值，且不可能为零，A、D 项错误，C 项正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力 恰好为零，B 项错误。 15.(2018河南洛阳名校联考)在室内自行车比赛中， 运动员以速度v在倾角为的赛道上做匀速圆周运动。 已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) A将运动员和自行车看作一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 B运动员受到的合力大小为m，做圆周运动的向心力大小也是m v2 R v2 R C运动员做圆周运动的角速度为vR D如果运动员减速，运动员将做
20、离心运动 【参考答案】B 【名师解析】向心力是整体所受力的合力，选项 A 错误 ； 做匀速圆周运动的物体，合力提供向心力，选项 B 正确；运动员做圆周运动的角速度为 ，选项 C 错误；只有运动员加速到所受合力不足以提供做圆周运 v R 动的向心力时，运动员才做离心运动，选项 D 错误。 二计算题 1. （2019 四川成都七中质检）转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰 链连接，轻杆长均为l，球的质量均为m，环质量为 2m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质 弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢 上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求： 弹簧的劲度系数k； 杆中弹簧长度为 时，装置转动的角速度。 【名师解析】装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为。 小环受到弹簧的弹力为： 小环受力平衡，则有： 小球受力平衡，则竖直方向有： 水平方向有： 解得：。 弹簧长度为时，设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为。 小环受到的弹力为： 小环受力平衡，有：，且 对小球， 竖直方向有： 水平方向有：， 解得：。 答：弹簧的劲度系数k是。 弹簧长度缩短为时，装置转动的角速度是。