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1、第四单元曲线运动 万有引力与航天 微专题 4 天体运动的热点问题 见自学听讲P72 一宇宙速度的理解与计算 宇宙速度(地球) 宇宙速度数值意义推导 第一宇宙速度 (环绕速度) 7.9 km/s 卫星在地面附近环 绕地球做匀速圆周 运动时具有的速度, 是绕地球做匀速圆 周运动的最小发射 速度,最大环绕速 度。若 7.9 km/sv16.7 km/s,物体将脱离太 阳系在宇宙空间运 行 例 1 宇航员在某星球表面上固定了一个倾角=37的足够长的斜面,他将一个质量m=2.0 kg 的小物块弹射出去,使 它从斜面底端以初速度v0=9 m/s 沿斜面向上运动,并测量到当它运动了 1.5 s 时速度恰好变
2、为零。已知小物块和斜面间的动摩 擦因数为 0.25,该星球半径R=1.2103 km,sin 37=0.6,cos 37=0.8,求: (1)该星球表面的重力加速度g的大小。 (2)该星球的第一宇宙速度。 解析 (1)小物块沿斜面向上运动过程 0=v0-at 解得a=6 m/s2 又mgsin +mgcos =ma 解得g=7.5 m/s2。 (2)设星球的第一宇宙速度为v,根据万有引力提供向心力,万有引力近似等于重力,则有 mg=m 2 解得v=3103 m/s。 答案 (1)7.5 m/s2 (2)3103 m/s 特别警惕“三个不同”概念:(1)两种周期自转周期和公转周期的不同;(2)两
3、种速度环绕速度与发射速度的不同,最大环绕 速度等于最小发射速度;(3)两个半径天体半径R和卫星轨道半径r的不同。 二人造卫星的运行规律 1.卫星的轨道特点:一切卫星轨道的圆心与地心重合。因为万有引力提供向心力,故地心和轨道的圆心重 合。 2.卫星的动力学特点:卫星绕地球的运动近似看成圆周运动,万有引力提供向心力,类比行星绕太阳的运动 规律,同样可得G=m =m2r=mr=ma,可推导出: 2 2 42 2 =越高越慢 2 = 2 a 1 2 2 v = v 1 2r = 3 1 3 42 2 rT = 423 T 3 3.解题思路 (1)一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运
4、动模型。 (2)两组公式 卫星运动的向心力来源于万有引力,即G=m2r=mr=ma 2 ( 2 ) 2 2 在中心天体表面或附近运动时,万有引力近似等于重力,即mg=G(g为星体表面处的重力加速度)。 2 例 2 如图所示,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以 相同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空 间站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )。 A.a2a3a1 B.a2a1a3 C.a3a1a2D.a3a2a1
5、 解析 根据向心加速度an=r,由于空间站的轨道半径小于月球轨道半径,所以a2a1,同步卫星周期小于月球周期,故同步卫 42 2 星离地距离小于空间站的轨道半径,根据a=得a3a2,D 项正确。 2 答案 D 赤道表面的物体、近地卫星、同步卫星的对比 比较内容赤道表面的物体近地卫星同步卫星 向心力来源 万有引力的分力万有引力 向心力方向指向地心 重力与万有 引力的关系 重力略小于 万有引力 重力等于万有引力 1=地球2= GM R3 3=地球= GM (R + h)3 角速度 1=3m Mm r2 v2 r 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较 大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨
6、道上运动 例 3 我国首枚“火星探测器”将在 2020 年发射,在飞行一年后于 2021 年登陆火星。已知地球公转周期为T,到太阳 的距离为R1,运行速率为v1,火星到太阳的距离为R2,运行速率为v2,太阳质量为M,引力常量为G。一个质量为m的探测器被发射到 一围绕太阳的椭圆轨道上,以地球轨道上的A点为近日点,以火星轨道上的B点为远日点,如图所示。不计火星、地球对探测器的 影响,则下列说法正确的是( )。 A.探测器在A点的加速度大于 12 1 B.探测器在B点的加速度大小为 2 C.探测器在B点的动能为m 1 2 22 D.探测器沿椭圆轨道从A到B的飞行时间为 2( 1+ 2 21) 3 2
7、 解析 根据牛顿第二定律,加速度由合力和质量决定,故探测器在A点的加速度等于沿着图中小虚线圆轨道绕太阳公转的向 心加速度,a=;A 项错误;在B点的加速度等于沿着图中大虚线圆轨道绕太阳公转的向心加速度,a=,B 项错误;探测器在B点的 12 1 22 速度小于v2,故动能小于m,C 项错误;根据开普勒第三定律,有=,联立解得T=T,故探测器沿椭圆轨道从A 1 2 22 13 2 ( 1+ 2 2 ) 3 2 ( 1+ 2 21) 3 2 到B的飞行时间为,D 项正确。 2( 1+ 2 21) 3 2 答案 D 分析人造卫星变轨问题的三点注意事项 (1)人造卫星变轨时半径的变化,根据万有引力和所
8、需向心力的大小关系判断;稳定在新的圆轨道上的运行速度变化由v=判断。 (2)人造卫星在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大。 (3)人造卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等,外轨道的速度大于内轨道的速度。 (4)卫星变轨问题的判断: 卫星的速度变大时,做离心运动,重新稳定时,轨道半径变大。 卫星的速度变小时,做近心运动,重新稳定时,轨道半径变小。 圆轨道与椭圆轨道相切时,切点处外面的轨道上的速度大,向心加速度相同。 变式 1 北京航天飞行控制中心对“嫦娥二号”卫星实施多次变轨控制并获得成功。首次变轨是在卫星运行到远地点时实 施的,紧随其 后进行的 3 次变轨均在近地点实施。
9、“嫦娥二号”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施,是为了抬高卫星近地点的轨 道高度。同样的道理,要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨。图示为“嫦娥二号”某次在近地点A由轨道 1 变轨到轨 道 2 的示意图,下列说法中正确的是( )。 A.“嫦娥二号”在轨道 1 的A点处应点火加速 B.“嫦娥二号”在轨道 1 的A点处的速度比在轨道 2 的A点处的速度大 C.“嫦娥二号”在轨道 1 的A点处的加速度比在轨道 2 的A点处的加速度大 D.“嫦娥二号”在轨道 1 的B点处的机械能比在轨道 2 的C点处的机械能大 解析 卫星要由轨道 1 变轨到轨道 2 需在A处做离心运动,应加速,使其做圆周运动所
10、需向心力m大于地球所能提供的万 2 有引力G,故 A 项正确,B 项错误;由G=ma可知,卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等,C 项错误;卫星由轨道 1 变轨到轨 2 2 道 2,反冲发动机的推力对卫星做正功,卫星的机械能增加,所以卫星在轨道 1 的B点处的机械能比在轨道 2 的C点处的机械能 小,D 项错误。 答案 A 双星与多星模型 1.双星模型 模型 可视天体绕黑洞 做圆周运动 黑洞与可视天体构成 的双星模型 两颗可视天体构成的双星模型 图示 向心力 的来源 黑洞对可视天体 的万有引力 彼此给对方的万有引 力 彼此给对方的万有引力 2.多星模型 模型 三星模型(正三角 形排列) 三星
11、模型(直线等 间距排列) 四星模型 图示 向心力 的来源 另外两星球对其万 有引力的合力 另外两星球对其万 有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力 3.解题模板 例 4 如图所示,质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间的 距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线,A和B分别在O点的两侧,引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期。 (2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但 在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期为T2。已知地球和
12、月球的质量分别为 5.981024 kg 和 7.351022 kg。求T2与T1两者的平方之比。(结果保留 3 位小数) 解析 (1)A和B绕O点做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,则A和B所受的向心力相等,且A、B的中心和O 点始终共线,说明A和B组成双星系统且有相同的角速度和周期。设A、B做圆周运动的半径分别为r、R,则有 m2r=M2R,r+R=L 联立解得R=L,r=L + + 对A,根据牛顿第二定律和万有引力定律得 =mL 2 ( 2 ) 2 + 解得T=2。 3 ( + ) (2)由题意,可以将地月系统看成双星系统,由(1)得 T1=2 3 ( + ) 若认为月球绕地心
13、做圆周运动,则根据牛顿第二定律和万有引力定律得 =mL 2 ( 2 2) 2 解得T2=2 3 所以T2与T1的平方之比为 =1.012。 22 12 + 答案 (1)2 (2)1.012 3 ( + ) (1)双星系统:各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m12R1=m22R2。两颗星到圆心的距离R1、R2之比等于与其 12 2 对应星体质量的反比,即=。双星运行周期T=2,双星总质量m1+m2=。 1 2 2 1 3 (1+ 2) 43 2 (2)对于多星问题要弄清楚两个要点:任意星做匀速圆周运动的向心力,由其他各星的万有引力的合力来提供;根据数学关 系找到做圆周运动的半径。 变式
14、 2 (多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的由四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力 作用。设四星系统中每个星体的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上,其中L远大于R。已 知引力常量为G,忽略星体的自转,则关于四星系统,下列说法正确的是( )。 A.四颗星做圆周运动的轨道半径为 2 B.四颗星做圆周运动的线速度均为 (2 + 2 4) C.四颗星做圆周运动的周期均为 2 23 (4 +2)Gm D.四颗星表面的重力加速度均为G 2 解析 如图所示,四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,轨道半径r=L,取任一顶点上的星体为研究对象,
15、它受 2 2 到其他三个星体的万有引力的合力F合=G+G,由F合=F向=m =m,解得v=,T=2,故 A、B 两项 2 2 2 2 (2L)2 2 42r 2 (1 + 2 4) 23 (4 +2)Gm 错误,C 项正确;对于在星体表面质量为m0的物体,受到的重力等于万有引力,则有m0g=G,故g=G,D 项正确。 0 2 2 答案 CD 天体的追及相遇问题 1.相距最近 两卫星的运转方向相同,且位于和中心连线的半径上同侧时,两卫星相距最近,从运动关系上,两卫星运动关系应满足(A- B)t=2n(n=1,2,3,)。 2.相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时,两卫星相距最远,从运动
16、关系上,两卫星运动关系应满足(A-B)t=(2n- 1)(n=1,2,3)。 例 5 (多选)如图,三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2),在万有引力作用下,a、b在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为rarb=14,则下列说法中正确的有( )。 A.a、b运动的周期之比TaTb=18 B.a、b运动的周期之比TaTb=14 C.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线 12 次 D.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线 14 次 解析 根据开普勒第三定律,周期的平方与半径的三次方成正比,则a、b运动的周期之比为
17、 18,A 项正确;设图示位置ac、 bc夹角为m2,它们绕其连线上的某点做圆 周运动,且它们的间距在缓慢减小,不考虑其他星系的影响,则( )。 A.甲中子星的角速度小于乙中子星的角速度 B.甲、乙两中子星的运行周期在减小 C.甲中子星的线速度大于乙中子星的线速度 D.两中子星的向心加速度大小始终相等 解析 两中子星组成双星系统中两星运动的角速度、周期T相等,A 项错误;设它们圆周运动的半径分别为r1、r2,有G =m1r1,G=m2r2,解得T=2,可知当两星间距缓慢减小时,它们做圆周运动的周期减小,B 项正确; 12 (1+ 2)2 ( 2 ) 2 12 (1+ 2)2 ( 2 ) 2 (
18、1+ 2)3 (1+ 2) 由F=m2r=mv,得v1v2 =m2m1 ,甲中子星的线速度小于乙中子星的线速度,C 项错误;两星间的万有引力F提供向心力,则它们 的向心加速度与其质量成反比,D 项错误。 答案 B 5.(2018 江西南昌 12 月月考)美国发射的帕克太阳探测器 2018 年 11 月接近太阳。已知地球距太阳约 1 亿 5000 万千米,帕克太 阳探测器距太阳约 4343 万千米。若地球与帕克太阳探测器围绕太阳的运动均视为匀速圆周运动,则下列判断中正确的是( )。 A.地球的运行速度大 B.在相同时间内,地球转过的弧长一定比帕克太阳探测器的长 C.地球运行时的向心加速度一定比帕
19、克太阳探测器的小 D.地球的角速度大于帕克太阳探测器的角速度 解析 由G=m得v=,因地球绕太阳运行的轨道半径大于探测器绕太阳运行的轨道半径,故地球运行速度比探测器小, 2 2 在相同时间内,地球转过的弧长一定比探测器的短,A、B 两项错误;根据G=ma可得a= , 因为地球的轨道半径大,所以其向 2 2 1 2 心加速度较小,C 项正确;根据公式G=m2r可得=,所以地球的角速度小于探测器的角速度,D 项错误。 2 3 答案 C 6.(2018 安徽阜阳 10 月模拟)(多选)我国控制“天舟一号”飞船离轨,使它进入大气层烧毁,残骸坠入南太平洋一处号称“航天器 坟场”的远离大陆的深海区。在受控
20、坠落前,“天舟一号”在距离地面 380 km 的圆轨道上飞行,则下列说法中正确的是( )。 A.在轨运行时,“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度 B.在轨运行时,“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度 C.受控坠落时,应通过“反推”实现制动离轨 D.“天舟一号”离轨后,在进入大气层前,运行速度不断减小 解析 第一宇宙速度是环绕地球运动的卫星的最大速度,A 项正确;根据=可知,在轨运行时,“天舟一号”的运转半径 3 小于同步卫星的运转半径,则其角速度大于同步卫星的角速度,B 项错误;受控坠落时要通过反推实现制动,使“天舟一号”做近心 运动靠近地球,故 C 项正确;“天舟一号”离轨后,在进入大气
21、层前,运行半径逐渐减小,地球的引力做正功,则速度不断增大,D 项错 误。 答案 AC 7.(2018 浙江台州 11 月月考)(多选)2018 年 10 月 24 日发生天王星冲日现象,天王星冲日是指天王星、地球和太阳几乎排列成一 线,地球位于太阳与天王星之间。此时天王星被太阳照亮的一面完全朝向地球,所以明亮而易于观察。地球和天王星绕太阳公转 的方向相同,轨迹都可近似为绕太阳做匀速圆周运动。如图所示为发生天王星冲日现象的示意图,则下列说法正确的是( )。 A.地球线速度小于天王星的线速度 B.天王星向心加速度小于地球的向心加速度 C.从图示时刻开始计时到天王星再次冲日的时间间隔一定小于地球的周
22、期 D.从图示时刻开始计时到天王星、地球和太阳再次共线的时间间隔一定大于地球的周期的一半 解析 设行星的质量为m、轨道半径为r、太阳的质量为M,根据万有引力提供向心力,得G=ma=m,可得a=,v=,因 2 2 2 天王星轨道半径大于地球轨道半径,故天王星线速度小于地球的线速度,天王星向心加速度小于地球的向心加速度,故 A 项错误,B 项正确;设地球和天王星绕太阳公转的周期分别为TA、TB,由几何关系可知,从图示时刻开始计时到天王星再次冲日的时间内,地球 比天王星至少多转一圈,由(地-天)t=2,相距最近,则tT地,故 C 项错误;从图中位置开始到天王星、地球和太阳再次共线, 地球比天王星最少
23、多转半圈,有(地-天)t=,则t T地, 总之再次共线的时间间隔t一定大于地球的周期的一半,D 项正确。 1 2 答案 BD 8.(2018 四川成都 11 月月考)(多选)2018 年 10 月 11 日,西藏江达县与四川白玉县交界处发生的山体滑坡,高分卫星遥感监测金 沙江滑坡形成堰塞湖。如图所示,设高分卫星在半径为R的圆周轨道上运行,经过时间t,通过的弧长为s,已知引力常量为G。下 列说法正确的是( )。 A.高分卫星内的物体处于平衡状态 B.高分卫星的运行速度大于 7.9 km/s C.高分卫星的发射速度大于 7.9 km/s D.可算出地球质量为 2R 2 解析 高分卫星绕地球运行,做
24、匀速圆周运动,万有引力提供向心力,处于失重状态,A 项错误;7.9 km/s 为第一宇宙速度,是最 大的运行速度,是最小的地面发射速度,B 项错误,C 项正确;高分卫星的线速度v=,根据万有引力提供向心力=m,解得地球质 2 2 量M=,D 项正确。 2R 2R 2 答案 CD 9.(2018 浙江宁波四校联考)(多选)“天舟一号”与“天宫二号”成功对接成新的组合体,组合体开始进行推进剂补加试验,试验 持续 5 天时间,组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动,目前组合体状态良好。关于组合体与原“天宫二号”的说法正 确的是( )。 A.组合体的运动速度比原“天宫二号”的运动速度大 B.组合体
25、的机械能比原“天宫二号”的机械能大 C.组合体的加速度比原“天宫二号”的加速度大 D.组合体的向心力比原“天宫二号”的向心力大 解析 组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动,根据G=m,得v=,组合体的运动速度等于原“天宫二号”的 2 2 运动速度,A 项错误;组合体的运动速度等于原“天宫二号”的运动速度,组合体质量变大,组合体的机械能比原“天宫二号”的机 械能大,B 项正确;组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动,根据G=ma,得a=G,组合体的加速度等于原“天宫二号”的 2 2 加速度,C 项错误;组合体仍在原“天宫二号”的轨道上做圆周运动,根据Fn=G,组合体的向心力比原“天宫二
26、号”的向心力大, 2 故 D 项正确。 答案 BD 10.(2018 云南昆明 10 月模拟)(多选)2018 年春,印度造价高昂的通信卫星和地面控制中心失去联系,卫星变轨后丢失。卫星变轨 原理图如图所示,卫星从椭圆轨道远地点Q改变速度进入地球同步轨道,P点为椭圆轨道近地点。下列说法正确的是( )。 A.卫星在椭圆轨道运行时周期小于在同步轨道运行时的周期 B.卫星在椭圆轨道的P点的速度小于在同步轨道的Q点的速度 C.卫星在椭圆轨道的机械能等于在同步轨道的机械能 D.卫星耗尽燃料后,在微小阻力的作用下,机械能减小,轨道半径变小,动能变大 解析 由图可知,椭圆轨道的半长轴小于同步轨道的半径,根据开
27、普勒第三定律可知,卫星在椭圆轨道运行时的周期小 于在同步轨道运行时的周期,A 项正确。卫星从近地圆轨道上的P点需加速,进入椭圆转移轨道,所以卫星在近地圆轨道上经过 P点时的速度小于在椭圆转移轨道上经过P点的速度,根据G=m,得v=,知同步轨道的半径大于近地轨道的半径,则同步轨 2 2 道的线速度小于近地轨道的线速度,综上可知卫星在椭圆轨道的P点的速度大于在同步轨道的Q点的速度,B 项错误。卫星 发射越高,需要克服地球引力做功越大,所以卫星在轨道的机械能小于在轨道 的机械能,C 项错误;卫星耗尽燃料后,在微小阻 力的作用下,机械能减小后做近心运动,轨道半径变小,由G=m,可知轨道半径减小后动能变
28、大,D 项正确。 2 2 答案 AD 11.(2018 四川绵阳 12 月考试)石墨烯是近些年发现的一种新材料,其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使 21 世纪的世界发生革命性的变化,其发现者由此获得 2010 年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳,人类搭建“太空电梯” 的梦想有望在 21 世纪实现。科学家们设想,通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站,电梯仓沿着这条缆绳运行,实 现外太空和地球之间便捷的物资交换。 (1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站,求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能。设 地球自转角速度为,地球半径为R。
29、(2)当电梯仓停在距地面高度h2=4R的站点时,求仓内质量m2=50 kg 的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度g=10 m/s2,地球自转角速度=7.310-5 rad/s,地球半径R=6.4103 km。 解析 (1)设货物相对地心的距离为r1,线速度为v1,则 r1=R+h1,v1=r1 货物相对地心的动能Ek= m1 1 2 12 联立上式得Ek= m12(R+h1)2。 1 2 (2)设地球质量为M,人相对地心的距离为r2,向心加速度为an,受地球的万有引力为F,则 r2=R+h2,an=2r2,F=G,g= 2M 22 2 设水平地板对人的支持力大小为FN,人对水平地板的压力大小为FN,则F-FN=m2an,FN=FN 联立上式并代入数据得 FN11.5 N。 答案 (1)m12(R+h1)2 (2)11.5 N 1 2