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1、第四单元曲线运动 万有引力与航天 课时 1 曲线运动 运动的合成与分解 见自学听讲P53 1.对曲线运动的理解 2.合力方向与速率变化的关系 3.运动的合成与分解 1.(2018 山东青岛 10 月模拟)“嫦娥五号”月球探测器预计在 2019 年发射,采集月球样品并返回地球。如图所示,若“嫦娥五号” 探月卫星沿曲线从M点向N点飞行的过程中,速度逐渐减小,在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的( )。 答案 C 2.(2018 江苏常州 11 月调研)(多选)跳伞表演是人们喜欢的观赏性体育项目。如图所示,当运动员从直升机上由静止跳下后,在下 落过程中将会受到水平风力的影响,下列说法中正确
2、的是( )。 A.风力越大,运动员下落时间越长,运动员可完成更多的动作 B.风力越大,运动员着地速度越大,有可能对运动员造成伤害 C.运动员下落时间与风力无关 D.运动员着地速度与风力无关 答案 BC 3.(2018 安徽芜湖 10 月模拟)(多选)如图甲所示,在杂技表演中,猴子沿竖直杆向上运动,其v-t图象如图乙所示,同时人顶着杆沿水 平地面运动的x-t图象如图丙所示。若以地面为参考系,下列说法正确的是( )。 4.合运动与分运动的关系 等时性合运动和分运动经历的时间相等,即同时开始,同时停止 独立性 一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响 等效性 各分运动的规律
3、叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 同体性合运动与分运动研究的是同一个物体 A.猴子的运动轨迹为直线 B.猴子在 2 s 内做匀变速曲线运动 C.t=0 时猴子的速度大小为 8 m/s D.猴子在 2 s 内的加速度大小为 4 m/s2 答案 BD 1.(2016 全国卷,18)(多选)一质点做匀速直线运动,现对其施加一恒力,且原来作用在质点上的力不发生改变,则( )。 A.质点速度的方向总是与该恒力的方向相同 B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直 C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同 D.质点单位时间内速率的变化量总是不变 解析 质点一开始做匀速直线运动,处于平衡状态,施
4、加恒力后,则该质点所受的合力为该恒力。若该恒力方向与质点原运动 方向不共线,则质点做曲线运动,此情况下质点速度方向时刻与恒力方向不同,A 项错误;若F的方向某一时刻与质点运动方向垂直, 之后质点做曲线运动,力与运动方向之间的夹角会发生变化,例如平抛运动,B 项正确;由牛顿第二定律可知,质点加速度方向与其所 受合力方向相同,C 项正确;根据加速度的定义,相等时间内速度变化量相同,速率变化量不一定相同,D 项错误。 答案 BC 2.(2018 北京卷,20)根据高中所学知识可知,做自由落体运动的小球,将落在正下方位置。但实际上,赤道上方 200 m 处无初速下落 的小球将落在正下方位置偏东约 6
5、cm 处。这一现象可解释为,除重力外,由于地球自转,下落过程小球还受到一个水平向东的 “力”,该“力”与竖直方向的速度大小成正比。现将小球从赤道地面竖直上抛,考虑对称性,上升过程该“力”水平向西,则小球 ( )。 A.到最高点时,水平方向的加速度和速度均为零 B.到最高点时,水平方向的加速度和速度均不为零 C.落地点在抛出点东侧 D.落地点在抛出点西侧 解析 小球水平方向加速度ax=与竖直方向速度成正比。小球上升过程中,竖直方向加速度向下,做匀减速直线运动,所 以水平方向加速度逐渐减小;则小球水平方向做方向向西、加速度减小的加速运动。上升到最高点时,竖直方向速度为零,所以水 平方向加速度为零,
6、此时速度向西,A、B 两项错误。小球下落过程中,竖直方向做匀加速直线运动,所以水平方向加速度逐渐增大; 水平方向加速度向东,向西做加速度增大的减速运动, 所以落地点在抛出点西侧,C 项错误,D 项正确。 答案 D 见自学听讲P54 一曲线运动的条件和特征 1.条件 物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线。 2.特征 (1)运动学特征:做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化,即曲线运动一定为变速运动。 (2)动力学特征:由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲 线运动的条件)。合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向,合外力在沿速度方向上的分力改变
7、 物体速度的大小。 (3)轨迹特征:曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间,而且向合外力的一侧弯曲。 (4)能量特征:如果物体所受的合外力始终和物体的速度垂直,则合外力对物体不做功,物体的动能不变;若合 外力不与物体的速度方向垂直,则合外力对物体做功,物体的动能发生变化。 例 1 一个物体在光滑水平面上沿曲线MN运动,如图所示,其中A点是曲线上的一点,虚线 1、2 分别是过A点的切线和法 线,已知该过程中物体所受的合外力是恒力,则当物体运动到A点时,合外力的方向可能是( )。 A.沿F1或F5的方向 B.沿F2或F4的方向 C.沿F2的方向 D.不在MN曲线所确定的水平面内 答案
8、C 二运动的合成与分解的理解 1.研究曲线运动的思维过程 (欲知)曲线运动规律(只需研究)两分运动规律(得知)曲线运动规律。 2.合运动性质的判断方法 (1)合运动类型 加速度(或合力)变化:非匀变速运动 不变:匀变速运动 加速度(或合力)与速度方向 共线:直线运动 不共线:曲线运动 (2)两个直线运动的合运动性质的判断 根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动,具体分以下几种情况: (不共线)分运动合运动 两个匀速直线运动匀速直线运动 一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀 加速直线运动 匀加速直线运动 若v0 合与a合共线,则合运动
9、为匀变速直线运动 两个初速度不为零的 匀变速直线运动 若v0 合与a合不共线,则合运动为匀变速曲线运动 例 2 (多选)在一光滑水平面内建立平面直角坐标系,一物体从t=0 时刻起,由坐标原点O(0,0)开始运动,其沿x轴和y轴 方向运动的速度时间图象分别如图甲、乙所示,下列说法中正确的是( )。 A.前 2 s 内物体沿x轴做匀加速直线运动 B.后 2 s 内物体继续做匀加速直线运动,但加速度沿y轴方向 C.4 s 末物体坐标为(4 m,4 m) D.4 s 末物体坐标为(6 m,2 m) 解析 前 2 s 内物体在y轴方向速度为 0,由题图甲知只沿x轴方向做匀加速直线运动,A 项正确;后 2
10、 s 内物体在x轴方向 做匀速运动,在y轴方向做初速度为 0 的匀加速运动,加速度沿y轴方向,合运动是曲线运动,B 项错误;4 s 内物体在x轴方向上的 位移x=m=6 m,在y轴方向上的位移y= 22 m=2 m,所以 4 s 末物体坐标为(6 m,2 m),D 项正确,C 项错误。( 1 2 2 2 + 2 2) 1 2 答案 AD 对合运动与分运动关系的三点归纳 (1)独立性:一个物体同时参与两个(或多个)运动,其中的任意一个运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变,即一个复杂 的运动可以看成是几个独立进行的分运动的合运动。 (2)等时性:合运动通过合位移所需要的时间和对应的每个分运
11、动通过分位移所需要的时间相等,即各分运动总是同时开始,同 时结束。 (3)等效性:各分运动叠加起来与合运动有相同的效果,可以相互替代。 三小船渡河的问题 分析思路 甲 例 3 有一条船匀速横渡一条河流,若船头保持与河岸成角航行,在出发 750 s 后到达正对岸,如图甲所示,若船头垂直对 岸方向航行时,则在出发 600 s 后到达对岸下游 120 m 处, sin 37=0.6,cos 37=0.8,则( )。 A.水流速度大小为 2 m/s B.静水中的船速大小为 0.2 m/s C.河的宽度为 200 m D.船头与河岸的夹角为 37 解析 设水流速度大小为v1,静水中的船速大小为v2,河的
12、宽度为d,如图乙所示,船头垂直对岸航行时有BC=v1t1,解得v1= m/s=0.2 m/s,A 项错误;河宽d=v2t1,船头保持与河岸成角向上游航行时,有d=v2t2sin ,v2cos =v1 ,联立解得d=200 120 10 60 m,v2= m/s,=53,C 项正确,B、D 两项错误。 1 3 乙 答案 C 渡河时 间最短 当船头方向垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin= d v船 如果v船v水,当船头方向与上游夹角满足v船cos =v水时,合速度垂直河岸,渡河位移最短,等于河宽d 渡河位 移最短 如果v船v水,当船头方向(v船方向)与合速度方向垂直时,渡河位移最短,等于
13、dv水 v船 关联速度问题 1.用绳、杆相牵连的两物体,在运动过程中,两物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。 2.常用的解题思路和方法:先确定合运动的方向(物体实际运动的方向),然后分析这个合运动所产生的实际效果(一方面使绳 或杆伸缩;另一方面使绳或杆转动)以确定两个分速度的方向(沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度,且沿绳或杆方 向的分速度大小相同)。 甲 例 4 (多选)如图甲所示,将质量为 2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的小环,小环套在竖直固定的光 滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放,当小环沿直
14、杆下滑距离也为d时(图中B 处),下列说法正确的是(重力加速度为g)( )。 A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg B.小环到达B处时,重物上升的高度为(-1)d 2 C.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 2 2 D.小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于 2 乙 解析 小环释放后,v增加,而v1=vcos ,v1增大,由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度,故绳中张力一定大于 2mg,A 项正 确;小环到达B处时,绳与直杆间的夹角为 45,重物上升的高度h=(-1)d,B 项正确;如图乙所示,将小环速度v进行正交分解,其 2 分速度v1与重物上升的速度大小相等,v
15、1=vcos 45=v,所以,小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于1,C 项错 2 2 2 误,D 项正确。 答案 ABD (1)下列各图是常见的绳(杆)连接的物体的速度分解情形。 (2)绳(杆)连接的物体的速度分解 合速度物体的实际运动(相对于地面)速度v 分速度 其一:沿绳(杆)的分速度1 其二:与绳(杆)垂直的分速度2 方法:v1与v2的合成遵循平行四边形定则。物体速度如果与绳(杆)平行,不需分解;若物体速度与绳子有夹角,则物体的速度 沿绳子方向的分速度v绳=v物cos 。 甲 变式 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位
16、置 1 开始下 滑,如图甲所示,当轻杆到达位置 2 时球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平方向成=30角,B球的速 度大小为v2,则( )。 A.v2= v1 B.v2=2v1 1 2 C.v2=v1 D.v2=v1 3 乙 解析 球A与球形容器球心等高,速度v1方向竖直向下,速度分解如图乙所示,有v11=v1sin 30= v1,球B此时的速度方向与 1 2 杆成=60角,因此v21=v2cos 60= v2,沿杆方向两球速度相等,即v21=v11,解得v2=v1,C 项正确。 1 2 答案 C 旋转体衔接点速度分解问题 1.绳(杆)端速度分解:两物体通过绳(杆)相连
17、,当两物体都发生运动时,两物体的速度往往不相等,但因绳(杆)的长度是不变的, 因此两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度是大小相等的。 2.解题思路 例 5 (多选)如图甲所示,有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R的半圆柱体,半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运 动的竖直杆,在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )。 甲 A.半圆柱体向右匀速运动时,竖直杆向上做匀减速直线运动 B.半圆柱体向右匀速运动时,竖直杆向上做减速直线运动 C.半圆柱体以速度v向右匀速运动,杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时,竖直杆向上的运动速度为 vtan D.半圆柱体以速度v向右匀速运动,杆同半圆柱体接
18、触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时,竖直杆向上的运动速度为 vsin 乙 解析 O点向右运动,O点的运动使杆OA绕A点(定点)逆时针转动的同时,沿杆OA方向向上推动A点;竖直杆的实际速度(A点 的速度)方向竖直向上,使A点绕O点(重新定义定点)逆时针转动的同时,沿OA方向(弹力方向)与OA具有相同速度。速度分解如 图乙所示,对于O点,v1=vsin ,对于A点,vA=,解得vA=vtan 。O点(半圆柱体)向右匀速运动时,杆向上运动,角减小,tan 1 cos 减小,vA减小,但杆不做匀减速直线运动,A 项错误,B 项正确;由vA=vtan 可知,C 项正确,D 项错误。 答案 BC 见高效
19、训练P35 1.(2018 海南海口七校联考)2018 年 9 月 27 日,是钱塘江潮水最大的时候,冲浪高手驾着竞技摩托艇在江面运动,在某段时间内其 两个分运动的规律为x=-2t2-6t,y=1.5t2+4t,xOy为直角坐标系,则下列说法正确的是( )。 A.摩托艇的运动是匀变速直线运动 B.摩托艇的运动是匀变速曲线运动 C.摩托艇的运动开始为直线而后变为曲线 D.摩托艇在x轴方向的分运动是匀减速直线运动 解析 由表达式可得,x轴方向上加速度ax=-4 m/s2,初速度v0x=-6 m/s,在x轴方向的加速度与速度,初速度均为负值,该分运 动为匀加速直线运动,D 项错误;y轴方向上加速度a
20、y=3 m/s2,初速度v0y=4 m/s,分析可知,摩托艇的加速度与速度不共线,且加速度 恒定,故摩托艇的运动是匀变速曲线运动,B 项正确,A、C 两项错误。 答案 B 2.(2018 福建泉州开学考试)假设某物体受到 985 个恒力作用而处于平衡状态,某时刻撤去其中的一个恒力而保持其余恒力都不 变,则此后物体( )。 A.可能做平抛运动 B.可能做匀速直线运动 C.可能做匀速圆周运动 D.一定做匀加速直线运动 解析 物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态,当撤去某一个恒力时,余下力的合力与此力大小相等、方向相反,若原来 的力与速度方向相反,撤去此力后,物体做匀加速直线运动;若原来的力与速度
21、方向相同,撤去此力后,物体做匀减速直线运动,物体 不可能做匀速直线运动,B、D 两项错误;若物体原来做匀速直线运动,而且撤去的力与速度不在同一直线上时,则撤去此力后,物体 做匀变速曲线运动,若撤去的力方向刚好与速度方向垂直,且与重力等大反向,则做平抛运动,A 项正确,C 项错误。 答案 A 3.(2018 浙江温州 9 月月考)在足球场上罚任意球时,运动员踢出的足球,在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门,守门员“望球莫 及”,足球运动轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向,下列说法正确的是( )。 A.合外力的方向与速度方向在一条直线上 B.合外力方向指向轨迹内侧,速度方向沿
22、轨迹切线方向 C.合外力方向指向轨迹外侧,速度方向沿轨迹切线方向 D.合外力的方向沿轨迹切线方向,速度方向指向轨迹内侧 解析 足球做曲线运动,则其速度方向为轨迹的切线方向,根据物体做曲线运动的条件可知,合外力的方向一定指向轨迹的内 侧,B 项正确。 答案 B 4.(2018 浙江宁波 10 月联考)我国无人艇装上相控阵雷达。如图甲所示,某无人艇位于与对岸的最近距离为 20 m 的O点处, 3 从O点向下游 20 m 处有一危险区,当时水流速度为 17 m/s,为了使无人艇避开危险区沿直线到达对岸,无人艇在静水中的速度 3 大小至少是( )。 甲 A.20 m/s B.20 m/s 3 C.25
23、.5 m/sD.50 m/s 乙 解析 若无人艇刚好避开危险区,无人艇应沿OP方向以速度v行驶,如图乙所示。v1为水流速度,无人艇在静水中的速度至 少应为v2=v1sin 。显然无人艇沿其他方向,如沿OQ以速度v行驶时,在静水中的速度要大于v2。则无人艇在静水中的速度至 少为v2=v1sin =25.5 m/s,C 项正确。 答案 C 甲 5.(2018 河北秦皇岛 12 月月考)如图甲所示,长为L的直棒一端可绕固定轴转动,另一端搁在升降平台上,平台以速度v匀速上升, 当棒与竖直方向的夹角为时,棒的角速度为( )。 A.B. sin sin C.D. cos cos 乙 解析 棒与平台接触点的
24、实际运动(合运动)方向是垂直于棒指向左上方,如图乙所示,合速度v实=L,沿竖直向上方向上的 分量等于v,即Lsin =v,解得=,B 项正确。 sin 答案 B 6.(2018 山东青岛 10 月模拟)(多选)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,某物体(可看成质点)从坐标原点O开始运动,在 x轴方向做匀速直线运动,在 y轴方向运动的v-t图象如图所示,物体在 0T时间内的运动,下列说法正确的是( )。 A.一定做匀变速运动B.可能做非匀变速运动 C.一定做曲线运动D.可能做直线运动 解析 物体在x轴方向做匀速直线运动,加速度为零,合力为零;由图知,物体在y轴方向做匀减速直线运动,加速度
25、恒定,合力 恒定,所以物体所受的合力恒定,一定做匀变速运动,A 项正确,B 项错误;曲线运动中合外力方向与速度方向不在同一直线上,而且指 向轨迹弯曲的内侧。由上分析可知,物体的合力沿y轴负方向,而与初速度不在同一直线上,则物体做曲线运动,C 项正确,D 项错误。 答案 AC 7.(2018 福建泉州五校联考)(多选)一只小船在静水中的速度为 3 m/s,它要渡过一条宽为 30 m 的河,河水流速为 4 m/s,则这只船 ( )。 A.过河时间不可能小于 10 s B.不能沿垂直于河岸方向过河 C.渡过这条河所需的时间可以为 6 s D.不可能渡过这条河 解析 垂直河岸方向位移即河的宽度d=30
26、 m,而垂直河岸方向的最大分速度即船自身的速度 3 m/s,所以渡河最短时间t= 船 =10 s,A 项正确,C 项错误。只要有垂直河岸的分速度,就可以渡过这条河,D 项错误。本题中船的速度小于河水的速度,故不可能垂 直河岸方向过河,B 项正确。 答案 AB 8.(2018 湖南长沙 10 月调研)(多选)如图所示,甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,M、N分别是甲、乙两船的出发点,两船 头与河岸均成角,甲船船头恰好对准N点的正对岸P点,经过一段时间乙船恰好到达P点,如果划船速度大小相同,且若两船相 遇,不影响各自的航行,下列判断正确的是( )。 A.甲船渡河时间一定短 B.甲船不能到达正对
27、岸 C.两船相遇在NP直线上的某点(非P点) D.渡河过程中两船不会相遇 解析 设划船的速度大小为v,因乙船恰好垂直渡河,故vcos =v水,两船的渡河时间都是,A 项错误;甲船的航线在MP sin 与MN之间,故甲船不能到达正对岸,B 项正确;两船在垂直河岸方向的分运动相同,且乙船的航线为NP,故二者相遇点一定在NP直 线上,C 项正确;甲船到达对岸的位置在P点的右侧,且两船在垂直河岸方向的分运动相同,故二者一定相遇,D 项错误。 答案 BC 9.(2018 浙江宁波 10 月联考)(多选)如图甲所示,人在岸上拉船,已知船的质量为m,水的阻力恒为f,当轻绳与水面的夹角为时, 船的速度为v,人
28、的拉力大小为F,则此时( )。 甲 A.人拉绳行走的速度大小为vcos B.人拉绳行走的速度大小为 cos C.船的加速度大小为 cos - D.船的加速度大小为 - 乙 解析 船的运动产生了两个效果,一是使滑轮与船间的绳缩短,二是使绳绕滑轮顺时针转动,因此将船的速度按如图乙所示进 行分解,人拉绳行走的速度v人=v=vcos ,A 项正确,B 项错误;绳对船的拉力大小等于人拉绳的力,即绳的拉力大小为F,与水平方 向成角,因此Fcos -f=ma,解得a=,C 项正确,D 项错误。 cos - 答案 AC 10.(2018 山东青岛开学考试)(多选)如图所示,从广州飞往上海的波音 737 航班上
29、午 10 点到达上海浦东机场,若飞机在降落过程 中的水平分速度为 60 m/s,竖直分速度为 6 m/s,已知飞机在水平方向做加速度大小等于 2 m/s2的匀减速直线运动,在竖直方向做 加速度大小等于 0.2 m/s2的匀减速直线运动,则在飞机落地之前( )。 A.飞机的运动轨迹为曲线 B.经 20 s 飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等 C.在第 20 s 内,飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小之比为 101 D.飞机在第 20 s 内,水平方向的平均速度为 21 m/s 解析 因初速度的方向与合加速度的方向在一条直线上,故飞机的运动轨迹为直线,A 项错误。由匀减速运动
30、规律可知,飞机 在第 20 s 末的水平分速度为 20 m/s,竖直方向的分速度为 2 m/s,B 项错误。飞机在第 20 s 内,水平位移x=-(020+ 1 220 2) =21 m,竖直位移y=-=2.1 m,C 项正确。飞机在第 20 s 内,水平方向的平均(019+ 1 219 2) (020+ 1 220 2) (019+1 219 2) 速度为 21 m/s,D 项正确。 答案 CD 11.(2019 辽宁沈阳第一期质量调研)如图甲所示,质量m=2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上运动,已知物体沿x方向 的x-t图象和沿y方向的vy-t图象分别如图乙、丙所示,t=0
31、时刻,物体位于原点O。根据以上条件,求: (1)t=10 s 时刻物体的位置坐标。 (2)t=10 s 时刻物体的速度大小。 解析 (1)由图乙、丙可知坐标与时间的关系为: 在x轴方向上有x=3.0t m,在y轴方向上有y=0.2t2 m 代入时间t=10 s,可得 x=30 m,y=20 m 即t=10 s 时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m)。 (2)在x轴方向上有vx=3.0 m/s 当t=10 s 时,vy=at=4.0 m/s v=5.0 m/s。 2+ 2 答案 (1)(30 m,20 m) (2)5.0 m/s 12.(2018 江西南昌十校联考)一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物,开始车在滑轮的正下方,绳子的端点 离滑轮的距离是H。车由静止开始向左做匀加速运动,经过时间t,绳子与水平方向的夹角为,如图所示。求: (1)车向左运动的加速度的大小。 (2)重物m在t时刻速度的大小。 解析 (1)车在时间t内向左运动的位移x= tan 由车做匀加速运动,得x= at2 1 2 解得a=。 2 2 2 2tan (2)t时刻车的速度v车=at= 2 tan 由运动的分解可知,车的速度v车沿绳的分速度与重物m的速度相等,即v物=v车cos 解得v物=。 2cos tan 答案 (1) (2) 2 2tan 2cos tan