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1、太阳与行星间的引力 万有引力定律太阳与行星间的引力 万有引力定律 一、太阳与行星间的引力 1猜想：行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F应 该与行星到太阳的距离r有关。 2模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀 速圆周运动的向心力。 3.太阳对行星的引力 ：Fmam 2 。结合开普勒第三定律得F mv2 r( 2r T) 1 r 42mr T2 m r2 。 4行星对太阳的引力：根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F的大小也存在与上 述关系对称的结果，即F。 M r2 5 太阳与行星间的引力 ： 由于F、F， 且FF， 则有F， 写成等
2、式FG m r2 M r2 M r2 ，式中G为比例系数，与太阳、行星都没有关系。 Mm r2 说明 行星及太阳的大小与行星和太阳间的距离相比可以忽略， 所以在处理相关问题时可以把 行星与太阳均看做质点。 如推导太阳与行星间的引力表达式时， 不需要考虑太阳与行星的形 状和大小。 选一选 对于太阳与行星间的引力表达式FG，下列说法错误的是( ) Mm r2 A公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关 BM、m彼此受到的引力总是大小相等 CM、m彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于 0，M和m都处于平衡状态 DM、m彼此受到的引力是一对作用力与反作用力 解析：选 C 太阳与行星间的引力是两物体因质
3、量而引起的一种力，分别作用在两个物 体上，是一对作用力与反作用力，不能进行合成，故 B、D 正确，C 错误；公式中的G为比 例系数，与太阳、行星均没有关系，A 正确。 二、万有引力定律 1月地检验 (1)牛顿的思考：太阳对地球的引力、地球对月球的引力以及地球对地面上物体的引力 都是同一种性质的力，其大小可由公式FG计算。 Mm r2 (2)月地检验：如果猜想正确，月球在轨道上运动的向心加速度与地面重力加速度的 比值，应该等于地球半径平方与月球轨道半径平方之比，即 。 1 3 600 (3)检验的过程 理论分析：设地球半径为r地，地球和月球间距离为r地月。 天文观测： (4)检验的结果：地面物体
4、所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的 引力，遵从相同的规律。 2万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大 小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 (2)公式：FG。 m1m2 r2 (3)引力常量：英国物理学家卡文迪许较准确地得出了G的数值，现在通常取G 6.671011 Nm2/kg2。 说明 (1)万有引力与距离的平方成反比，而引力常量又极小，故一般物体间的万有引力是极 小的，受力分析时可忽略。 (2)任何物体间的万有引力都是同种性质的力。 判一判 1月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平
5、衡() 2月球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的() 3地球对月球的引力与地面上的物体所受的地球的引力是两种不同性质的力() 4万有引力只存在于天体之间，常见的普通物体间不存在万有引力() 5引力常量是牛顿首先测出的() 1.推导思路是把行星绕太阳的椭圆运动简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动， 运用圆周 运动规律结合开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星间的引力表达式。 2推导过程 3太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间的验证，假定卫星绕行星做匀速圆 周运动，设轨道半径为R，运行周期为T，行星和卫星质量分别为M和m，卫星做圆周运动 的向心力由行星的引力提供，若行星和卫星之间的
6、引力满足太阳与行星之间引力的规律， 则GmR，常量。通过观测卫星的运行轨道半径R和周期T，若它们的为 Mm R2 42 T2 R3 T2 GM 42 R3 T2 常量，则说明太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间。 典型例题 例 1.多选(2016阜阳高一检测)下列说法正确的是( ) A在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F，这个关系式实际上是牛 mv2 r 顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的 B在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v，这个关系式实际上是 2r T 匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的 C在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式k，这个
7、关系式是开普勒第三 r3 T2 定律，是可以在实验室中得到验证的 D在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到验证 的 解析 公式Fm中是行星做圆周运动的加速度，故这个关系式实际是牛顿第二 v2 r v2 r 定律，也是向心力公式，所以能通过实验验证，A 正确；v是在匀速圆周运动中，一 2r T 个周期过程中运动轨迹的弧长与时间的比值即线速度，B 正确；开普勒第三定律k是无 r3 T2 法在实验室中得到验证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，C、D 错误。 答案 AB 点评 正确认识太阳与行星间的引力 (1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳
8、质量、行星质量、太阳与行星间的 距离，太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。 (2)太阳与行星间引力是相互的，遵守牛顿第三定律。 (3)太阳对行星的引力效果是向心力，使行星绕太阳做圆周运动。 即时巩固 1多选如图是八大行星绕太阳运动的情境，关于太阳对行星的引力说法中正确的是 ( ) A太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力 B太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比 C太阳对行星的引力规律是由实验得出的 D太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出 来的 解析：选 AD 太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做圆周运动的向心力，它的
9、大小与 行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A 正确，B 错误；太 阳对行星的引力规律是由开普勒三定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C 错误，D 正确。 1.公式FG的适用条件 m1m2 r2 严格说FG只适用于计算两个质点的相互作用，但对于下述几种情况，也可用该 m1m2 r2 公式计算。 (1)两质量分布均匀的球体间的相互作用，可用公式计算，其中r是两个球体球心间的 距离。 (2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心 到质点间的距离。 (3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用，r为两物体中心间的距
10、离。 2万有引力的性质 四性内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物 体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方 向相反，作用在这两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力 比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有 引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与其所在 空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 典型例题 例 2.对于质量分别为m1和m2的两个
11、物体间的万有引力的表达式FG，下列说法正 m1m2 r2 确的是( ) Am1和m2所受引力总是大小相等 B当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大 C当有第 3 个物体放入m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大 Dm1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同 解析 物体间的万有引力是一对相互作用力，是同种性质的力且始终等大反向，A 正 确，D 错误 ； 当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力表达式不再适用， 物体间的万有引力不会变得无穷大， B 错误 ； 物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2 和物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，C 错误。 答
12、案 A 点评 应用FG时应注意的问题 m1m2 r2 万有引力存在于任何物体之间，但万有引力定律只适用于两个质点之间，当物体间距 r0 时，物体不能视为质点，故不能得出r0 时，物体间万有引力F的结果。 即时巩固 2 多选(2016宿迁高一检测)要使两物体间的万有引力减小到原来的 ， 下列办法可 1 4 行的是( ) A使物体的质量各减小一半，距离不变 B使其中一个物体的质量减小到原来的 ，距离不变 1 4 C使两物体间的距离增大为原来的 2 倍，质量不变 D使两物体间的距离和质量都减为原来的1 4 解析 ： 选 ABC 根据FG可知， 距离和质量都减为原来的 时， 万有引力不变， D 错误，
13、 Mm R2 1 4 A、B、C 正确。 1.万有引力的作用效果 万有引力FG的作用效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的 Mm R2 向心力Fnmr2，如图所示，所以重力是万有引力的一个分力。 2重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的增大而增大。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，FFnmg，即Gm2rmg，所以mgG Mm R2 m2r。 Mm R2 (2)地球两极处：向心力为零，所以mgFG。 Mm R2 (3)其他位置 ： 重力是万有引力的一个分力，重力的大小mgG，重力的方向偏离地心。 Mm R2 3重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小， 故地球自转
14、带来的影响很小， 一般情况下认为在地面附近 mgG，若距离地面的高度为h，则mg1G(R为地球半径，g1为离地面h高度处 Mm R2 Mm Rh2 的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小。 典型例题 例 3.(2016包头高一检测)设地球表面重力加速度为g0， 物体在距离地心 4R(R是地球 的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为( ) g g0 A1 B.1 9 C. D. 1 4 1 16 解析 地球表面处的重力加速度和在离地心高 4R处的加速度均由地球对物体的万有 引力产生， 所以在地面上Gmg0， 离地心 4R处Gmg， 解得 2 ， D 正确。 Mm R2
15、Mm 4R2 g g0( R 4R) 1 16 答案 D 即时巩固 3多选假如地球自转速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是( ) A放在赤道地面上物体的万有引力不变 B放在两极地面上物体的重力不变 C放在赤道地面上物体的重力减小 D放在两极地面上物体的重力增加 解析：选 ABC 地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，A 正确；在两极，物 体受到的万有引力等于其重力， 则其重力不变， B正确， D错误 ； 而对放在赤道地面上的物体，F 万mgm2r，物体受到万有引力不变，增大，mg减小，C 正确。 1.适用条件 一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式FG直接进
16、行计 Mm R2 算，但当球体被挖去一部分后，由于剩余部分形状不规则，公式FG不再适用，此时可 Mm R2 以用“割补法”求解万有引力。 2应用割补法的基本思路 (1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引 力之间的关系。 (2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用割补法。若所割去部分 不是规则球体，则不适合应用割补法。 典型例题 例 4.(2016河北月考)有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为 2R 的地方有一质量为m的质点， 现在从M中挖去一半径为 的球体， 如图所示， 则剩下部分对m R 2 的万有引力F为多大(引力常量为
17、G)? 解析 假设将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，F1可以看 做是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即F1FF2 设被挖小球的质量为M，其球心到质点间的距离为r，由题意知M ，r， M 8 3R 2 由万有引力定律得 F1GG Mm 2R2 Mm 4R2 F2GG Mm r2 Mm 18R2 故FF1F27GMm 36R2 答案 7GMm 36R2 点评 本题易错之处为求F时将球体与质点之间的距离d当做两物体间的距离， 直接用公式求 解。 求解时要注意， 挖去球形空穴后的剩余部分已不是一个均匀球体， 不能直接运用公式F G进行计算，只能用割
18、补法。 Mm r2 即时巩固 4如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为 2R，如果从球的正中心挖去一个直 径为R的球，放在距离为d的地方，则两球之间的万有引力是多大(引力常量为G)? 解析：设挖去的球质量为m，根据割补法可得没挖去前两球间万有引力FGMm d2 挖去的球体对m的万有引力F1Gm 2 d2 被挖掉的质量mM 8 则被挖后两球之间的引力 F2FF17GM 2 64d2 答案：7GM 2 64d2 1下面关于行星对太阳的引力的说法正确的是( ) A行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力 B行星对太阳的引力只与太阳的质量成正比，与行星的质量无关 C太阳对行星的引力大于行星
19、对太阳的引力 D行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比 解析：选 A 太阳与行星间的引力是一对作用力和反作用力，一定是同种性质的力，且 大小相等，A 正确，C 错误 ； 根据F知，F与M、m均有关，且与r2成反比，B、D 错误。 GMm r2 2月地检验的结果说明( ) A地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一性质的力 B地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一性质的力 C地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关，即 Gmg D月球所受地球的引力只与月球质量有关 解析：选 A 月地检验是通过完全独立的途径得出相同的结果，证明地球表面上的物 体所受地
20、球的引力和星球之间的引力是同一种性质的力， A 正确， B 错误 ； 由公式FG知， Mm r2 C、D 错误。 3(2016南海区高一检测)某个星球的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的 一半，那么一个物体在此星球表面上的重力是地球表面上重力的( ) A. 倍 B. 倍 1 4 1 2 C4 倍 D2 倍 解析 ： 选D 物体在此星球表面的重力等于万有引力G星GG2G地， D正确。 M星m r 2 星 1 2M 地m ( 1 2r 地)2 4关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( ) A不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力 B只有天体间的引力才能用FG计算 m1m2 r2 C由
21、FG知，两质点间距离r减小时，它们之间的引力增大 m1m2 r2 D万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于 6.671011 Nm2/kg2 解析：选 C 任何物体间都存在相互作用的引力，但万有引力定律只适用于能看做质点 的物体间的引力计算，A、B 错误；由FG可知，r越小，F越大，C 正确；万有引力常 m1m2 r2 量的大小首先是由卡文迪许准确地测出来的，D 错误。 5离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的二分之一，求高度h是 地球半径的多少倍。 解析：设M为地球质量，m为物体质量，R为地球半径。地球表面处物体所受重力约等 于地球对物体的引力，则有 mgGMm R2 离地面高度为h处，mghG Mm Rh2 又ghg 1 2 解得h(1)R2 即h是地球半径的(1)倍。2 答案：(1)倍2