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1、一、主 要 内 容 1、向量组的线性相关性， 向量组的秩 及找一个最大无关组， 并用该最大无关线性无关组表示向量组中的其余向量,第四章 向量组的线性相关性,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量,定义, 向量的定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法, 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组,定义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义,定理, 线性相关,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量
2、组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论（最大无关组的等价定义）,设向量组 是向量组 的部分组，若向量组 线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 则向量组 是向量组 的一个最大无关组, 向量空间,定义, 子空间,定义, 基与维数,向量方程, 齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程, 非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系, 线性方程组的解法,第一步：对
3、系数矩阵 进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,（）求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、齐次方程组的 基础解系,典 型 例 题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1 从定义出发,整理得线性方程组,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定,例 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部
4、分组构成最大线性无 关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ， 则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的 线性相关性,二、求向量组的秩,解,基础解系的求解,例：求齐次线性方程组 的基础解系 方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系,即,并给出通解.,令x3 = c1， x4 = c2， 得通解表达式,因为 方程组的任意一个解都可以表示为x1, x2 的线性组合 x1, x2 的四个分量不成比例，所以 x1, x2 线性无关 所以x1, x2 是原方程组的基础解系,方法2：先求出基础解系，再写出通解,即,令,合起来便得到基础解系,，得,还能找出其它基础解系吗？,故原方程组的通解为,