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1、选修4-1 几何证明选讲,第二讲 直线与圆的位置关系,2.1 圆周角定理,一.圆周角定理,圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。,圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。,推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.,推论2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径.,同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等, 所对的圆周角也相等.,习题2.1(P26),1.如图,OA是O的半径,以OA为直径的C 与O的弦AB交于点D,求证:D是AB的中点.,2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CDAB,垂足D
2、,且CD=6cm.求AD的长.,(第1题),(第2题),E,2.2 圆内接四边形的性质 与判定定理,圆内接多边形-所有顶点都在一个圆上的多边形.,这个圆称多边形的外接圆.,思考: 任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗? 等腰梯形呢? 一般地, 任意四边形都有外接圆吗?,如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征?,如图（1）连接OA,OC.则B= . D=,定理1 圆内接多边形的对角互补,将线段AB延长到点E,得到图（2）,（1）,定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。,圆内接四边形判定定理,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.,当问题
3、的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法-穷举法,推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.,2.3 圆的切线的性质 及判定定理,圆与直线的位置关系:,相交-有两个公共点,相切-只有一个公共点,相离-没有公共点,切线的性质定理:,O,切线的性质定理逆命题是否成立?,M,反证法,推论1:,经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.,推论2:,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.,这与线圆相切矛盾.,思考:,圆的切线垂直于经过切点的半径。,假设l与OA不垂直,作OM,因“垂线段最短”,故OAOM,即圆心到直线距离小于半径.,A,切线的判定定理:,经
4、过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,A,O,B,直线与圆只有一个公共点,是切点。,在直线上任取异于A的点B.,连OB.,则在RtABO中,OBOA=r,故B在圆外,2.4 弦切角的性质,在图（）中，根据圆内接四边形性质， 有,在图（）中，是切线时， 仍成立吗？,（）,（）,（）,猜想：ABC是O的内接三角形，CE是O的切线，则BCE= A.,分析：延用从特殊到一般的思路。先分析ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。,O,C,O,C,O,C,A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,C,C,C,C,C,下面五个图中的BAC是不是弦切角？,
5、1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。,几何语言:,BA切O于A AC是圆O的弦,2.弦切角定理,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。,BAC= ADC,m,1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边与圆相切的角。,一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质求解。,2.弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.,小结：,注意：,2.5 与圆有关的比例线段,探究1:AB是直径,CDAB交点P.线段PA,PB,PC,PD之间有何关系?,PAPB=
6、PCPD,1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。,A(C.P),B,D,P在圆外:易证PADPCB,故PAPB=PCPD,2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.,PAPB=PCPD,探究3:使割线PB绕P点运动到切线的位置,是否还能成立?,连接AC,AD易证PACPDA,上式可变形为,PA=PCPD,3.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.,故PAPB=PCPD仍成立,因为A,B重合，,探究4:使割线PD绕P点运动到切线的位置,可以得出什么结论?,易证RtOAPR
7、tOCP.,PA=PC,4.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,PA=PCPD,思考:1.由切割线定理能证明切线长定理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试.,A(B),P,O,C(D),E,F,思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗?,O,1.（2013重庆高考14）如图,在ABC 中, , ，过C作ABC的外接圆的切线CD, ,BD与外接圆交于点E,则DE的长为_,5,2.（2013天津高考14）如图, ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD/AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F
8、. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为_.,3.（2013广东高考）如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=_.,4.（2013陕西高考）如图, 弦AB与CD相交于圆O内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD=2DA=2, 则PE=_.,5.（2013湖南高考）如图2,在半径 为的圆O中,弦AB、CD相交于点P,PA=PB=2，PD=1,则圆心0到弦CD的距离为_.,6. （2013湖北高考）如图,圆O上一点C在直线AB上的射影为D,点D在半径OC上的射
9、影为E.若AB=3AD,则的值 为_.,C,D,O,E,8,7.（2013北京高考）如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D.若PA=3, ,则PD=_;AB=_.,4,习题2.5 9题,将例5的图(1)作如下变化:以A为中心,把线段AC绕A逆时针旋转一个角度,连接EC并延长与圆相交于F,连接DC并延长与圆相交于G,连接FG,其他条件同例5,你能推出哪些结论?如果BAD= CAD,又有什么结论?,AB=ADAE ,CFCE=CDCG ,AC=ADAE,AC=AB,CAD= EAC, ADC ACE,ACD=AEC=G, AC/FG ,作业： P40 习题2.5 1、2、4,