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1、第四章 直线与平面、平面与平面,4-1过AB直线作一平面平行于直线CD。,X,O,b,b,a,a,d,c,d,c,e,f,e,f,k,k,分析：过AB直线作一平面平行于直线CD。根据平行投影的性质，两直线平行，它们的同面投影必平行。过AB直线作一平面，已知平面内的一条直线，只要找到一条和AB直线相交，和直线CD平行的直线即可以组成所求的平面。 步骤一：在AB直线上，找一点K。 步骤二：过K点作直线CD的平行线EF。AB和EF两相交直线就是所求的平面。 步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-2过K点作一直线既平行于V面又平行
2、ABC平面。,2,2,a,b,c,c,a,b,X,O,k,k,1,1,分析：可以在ABC平面内找一条正平线，然后过K点作ABC平面内正平线的平行线。即得过K点作一直线既平行于V面又平行ABC平面。 步骤一：在ABC平面内，过c点作一条正平线。根据正平线的性质，作c1OX轴，交ab于1点。 步骤二：过K点作直线C1的平行线K2。K2直线就是所求的既平行于V面又平行ABC平面的直线。 步骤三：绘制完成后，检查各点二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-3过K点作平面平行于ABC。,a,b,c,c,a,b,X,O,k,l,k,m,m,l,分析：过K点作平面平
3、行于ABC。即过K点作两条直线平行于ABC平面内的两条相交直线。过K点的两条相交直线组成的平面就是所求平面。 步骤一：取ABC平面内的AC和BC边作为ABC平面内的两条相交直线。 步骤二：过K点，做KMAC和KLBC。则LKM两条相交直线组成的平面就是所求平面。 步骤三：绘制完成后，检查各点、线二面投影及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-4判别直线AB和CD是否分别与已知平面EFG平行。 判别：AB与EFG平行；CD与EFG不平行,e,f,g,g,e,f,O,b,a,b,d,a,c,c,d,X,h,分析：判别直线是否与已知平面EFG平行，只要在已知平面内
4、找到一条直线和判别直线平行，则直线和平面平行，找不到一条直线和判别直线平行，则直线和平面不平行。因EFG是一个铅垂面，要判别一条直线是否平行于一个铅垂面，即判别该直线的水平投影是否平行于该铅垂面的水平投影。 步骤一：判别1：因为ab EFG积聚直线 efg，在V面可以找到gh ab，即平面EFG内找到一条直线GH和AB直线平行，所以AB EFG。 步骤二：判别2：因为cd不平行于EFG 的积聚投影efg，故而在EFG内找不到CD的平行线，所以CD不平行于EFG。,4-5求作直线EF与平面ABC的交点K，并判明EF的可见性。,a,b,c,c,a,b,e (f ),X,f,O,e,K,K,1,1,
5、分析：因为EF 是正垂线， EF 与平面ABC的交点K 必属于EF ，同时属于平面ABC ，则k与e f 重合，由AK属于平面ABC ，面上取线后，线上取点，即得k点投影。根据EF的V面投影，判断EF在AC线之上，在AB线之下，即得EF的H面可见性。 步骤一：连接a e 直线，交b c 于1 点。 步骤二：根据点的投影性质，求1 点及直线a1。 K即在A1又在EF上，故k在a1 和ef的交点上。 步骤三：根据K的V面投影，判断K在AC线之上，在AB线之下，即得ek可见，k到ab的边界不可见， ab的边界到f点可见。 步骤四：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最
6、后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-6求作直线EF与平面ABCD的交点K，并判明EF的可见性。,k,c,a,d,b,e,f,a,c,f,b,O,k,d,X,e,分析：因为平面ABCD 是铅垂面， EF 与平面ABCD的交点K 必属于平面ABCD ，同时属于EF ，则k在ef 和平面ABCD的水平积聚投影的交点上。根据EF的H面投影，判断EF在AB线之前，在CD线之后，即得EF的V面可见性。 步骤一：取ef 和平面ABCD的水平积聚投影的交点，记为为k，根据点在直线上的投影性质，求k。 步骤二：根据EF的H面投影，判断AK在AB线之前，KF在CD线之后，即得e k可见，k 到c d
7、的边界不可见，cd的边界到f c点可见。 步骤三：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-7求作平面ABCD与正垂面EFG的交线，并判明两平面的可见性。,g,b,c,c,a,k,e,b,d,d,f,g,e,a,f,m,k,m,O,X,分析：由投影分析可知，平面ABCD贯穿平面EFG，因为平面EFG是正垂面，交线的边界就是平面ABCD 的边界，点K，M构成的线即为交线。根据重影点法，由AB的V面投影，判断AB在GF线之上，在GE线之下，即得AB的H面可见性，根据虚实相间原则，即得两平面的可见性。 步骤一：V面，直线a
8、b与平面EFG交点分别为k、直线cd与平面EFG交点分别为m，向下做投影连线，即得交线KM的投影。 步骤二：根据AB的V面投影，判断K在GF线之上，在GE线之下，即得bk可见，k到ge的边界不可见。 步骤三：由虚实相间原则，即得两平面的可见性。 步骤四：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-8求作直AB与平面DEF的交点，并判明直线AB的可见性。,e,e,d,a,b,f,b,f,d,1,2,Pv,k,2,1,k,a,O,X,分析：过AB作一正垂面Pv，因为平面P是正垂面，平面P与平面DEF的交线必属于平面P ，则
9、交线的V面投影包含于平面P的积聚投影中，同时属于平面DEF ，则与平面DEF的交点1，2构成的线即为交线，直线AB与平面DEF的交点必在12线上，12与ab的交点K即为直线AB与平面DEF的交点。根据AB的H面投影，判断AB在DE线之前，在DF线之后，即得AB的V面可见性。根据AB的V面投影，判断AB在DF线之上，在EF线之下，即得AB的H面可见性。 步骤一：以ab作正垂面Pv。 步骤二：正垂面Pv与直线de、直线df的交点分别为1、2，根据直线上点投影的性质，即得交线12的投影。 步骤三：记12 与ab的交点，为k，作出k。 步骤四：根据K的H面投影，判断K在DE线之前，在DF线之后，即得a
10、k可见，k 到df的边界不可见， df的边界到b点可见。根据K的V面投影，判断K在DF线之上，在EF线之下，即得ak可见，k到ef的边界不可见， ef的边界到b点可见。 步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-9求作直线MN与平面ABCD的交点，并判明直线MN的可见性。,b,X,O,b,a,a,n,d,c,d,c,n,m,m,Pv,k,k,1,2,2,1,分析：过MN做一正垂面Pv， 平面P与平面ABCD的交线必属于平面P 与平面ABCD的交点1，2构成的交线，12与mn的交点K即为直线MN与平面ABCD的
11、交点。根据MN的H面投影，判断MN在AD线之前，在BC线之后，即得MN的V面可见性。根据MN的V面投影，判断MN在CD线之上，在AB线之下，即得MN的H面可见性。 步骤一：以mn作正垂面Pv。 步骤二：正垂面Pv与直线ad、bc的交点分别为1、2，根据直线上点投影的性质，即得交线12的投影。 步骤三：记12 与 mn的交点，为k，作出k。 步骤四：判断K在AD线之前，在BC线之后，即得1k可见，k2不可见。根据K的V面投影，判断K在CD线之上，在AB线之下，即得nk可见，k到ab的边界不可见，ab的边界到m点可见。 步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、投影可见性及其标记的字符名称齐全，最
12、后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-10求作两平面的交线，并判明可见性。,b,X,O,m,a,a,d,c,d,c,k,k,1,2,2,1,e,f,g,m,b,f,g,e,pv,Qv,3,4,3,4,分析：过AC作一正垂面P ，12即为正垂面P与平面EFG的交线，12与ac的交点K即为直线AC与平面EFG的交点。过BC作一正垂面Q ，34即为正垂面Q与平面EFG的交线，34与bc的交点M即为直线BC与平面EFG的交点。由于直线AC，BC为平面ABC内两相交直线，即连线KM即为两平面的交线。根据BC的H面投影，判断BC在GE线之前，在EF线之后，再由虚实相间原则，即得两平面的V面可见
13、性。根据AC的V面投影，判断AC在GE线之上，在GF线之下，即得两平面的H面可见性。,步骤一：过ac作正垂面P ，即得正垂面P与平面EFG的交线12，以及AC与平面EFG的交点K。 步骤二：过bc作正垂面Q ，即得正垂面Q与平面EFG的交线34，以及BC与平面EFG的交点M。线段KM，即为平面ABC和平面EFG的交线。 步骤三：根据M的H面投影，判断M在GE线之前，在EF线之后，即得4m可见，m3不可见。根据虚实相间原则，得两平面的V面可见性。 步骤四：根据K的V面投影，判断K在GE线之上，在GF线之下，即得ak可见，k到gf的边界不可见。根据虚实相间原则，得两平面的H面可见性。 步骤五：绘制
14、完成后，检查各点、线二面投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-11求作两平面的交线，并判明可见性。,a,b,c,c,1,b,l,3,3,4,d,d,e,f,g,e,f,g,pH,a,2,1,2,k,4,m,k,m,QH,X,O,分析：过EF作一铅垂面P ，12即为铅垂面P与平面ABCD的交线，12与EF的交点K即为直线EF与平面ABCD的交点。过GF作一铅垂面Q ，34即为铅垂面Q与平面ABCD的交线，34与GF的交点M即为直线GF与平面ABCD的交点。由于直线EF，GF为平面EFG内两相交直线，即连线KM即为两平面的交线。根据GF的H面投影，
15、判断GF在BC线之前，在AD线之后，再由虚实相间原则，即得两平面的V面可见性。根据EF的V面投影，判断EF在AD线之上，在AB线之下，即得两平面的H面可见性。,步骤一：过ef作铅垂面P ,即得铅垂面P与平面ABCD的交线12，以及EF与平面ABCD的交点K。 步骤二：过gf作铅垂面Q ,即得铅垂面Q与平面ABCD的交线34，以及GF与平面ABCD的交点M。线段KM即是平面ABCD和平面EFG的交线 步骤三：根据M的H面投影，判断M在BC线之前，在AD线之后，即得fm可见，m到ad的边界不可见。再根据虚实相间原则，得两平面的V面可见性。 步骤四：根据K的V面投影，判断K在AD线之上，在AB线之下
16、，即得2k可见，k1不可见。再根据虚实相间原则，得两平面的H面可见性。 步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,4-12求作平面ABCD与平面EFG的交线。,a,b,a,b,d,c,d,c,f,g,e,g,f,e,Pv,Qv,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,m,k,k,m,分析：求两平面的交线，可以考虑作两个水平面，使它在投影图中与两已知平面相交，分别求出辅助平面和这两个平面的交线。 步骤一：过bd与e作两个水平面Pv和Qv，分别交fg于1和3点，交fe于2和e，交ab于4点，交cd于5点。 步骤二：根据点
17、的投影性质，分别作出1、2、3、4、5点的投影。 步骤三：连12和bd交于m点，3e和45交于k点。 步骤四：找到m，k对应点m，k。mk ，mk即是两平面的交线。,4-13求作两平行线之间的距离。,a,b,d,b,a,d,两平行线之间的距离,m,n,n,m,c,c,分析：由图可知，AB、CD是正平线的两个平行直线，所以在V面，AB、CD和公垂线反映90角。求平行线AB、CD之间的距离，就是求垂直于AB、CD的线段MN的实长。 步骤一：在直线AB上取M点作垂线MN垂直于CD，N为垂足，MN就是要求的距离线段的投影。 步骤二：根据二面投影，作投影直角三角形，即可得到AB、CD两个平行直线的距离M
18、N的实长。,4-14求作点K到直线AB的距离。,b,b,a,a,k,k,1,1,2,2,3,3,分析：求K点到直线AB的距离，就是过点K做一个辅助平面垂直一般位置直线AB，然后求AB与辅助平面的交点，交点到K点的实长就是K点到AB的距离。 步骤一：利用直角投影性质，过K点借助水平线和正平线，作垂直于AB的线段的辅助平面1K2。 步骤二：求一般位置直线AB与辅助平面1K2的交点3，K3线段就是K点到直线AB的距离的两面投影。 步骤三：根据二面投影，作投影直角三角形，即可得到K3的实长。,4-15已知直线AB与直线BC垂直，求作直线BC 的V面投影（bc）。,a,b,c,b,c,a,1,1,2,2
19、,k,k,分析：已知直线AB与直线BC垂直，则AB垂直于过B点的一个平面内的所有直线，所以，只要过B点作一个辅助平面垂直AB，在辅助平面内取线即可。 步骤一：利用直角投影性质，过B点借助水平线和正平线，作垂直于AB的线段的辅助平面1B2。 步骤二：bc交12线于k，所以bc也必须过直线bk。 步骤三：根据点的投影性质的c点的投影，则bc就是所求的直线。,4-16求K点到ABC 平面的距离。,a,b,c,a,b,c,k,k,1,1,3,3,m,m,2,2,分析：求K点到ABC平面的距离，就是由点K作一条辅助线垂直ABC，然后求点K到ABC距离的实长。从图中可知，AC是一条水平线，在水平面内，K到
20、ABC的距离，就是过K点作AC的垂线。 步骤一：利用直角投影性质，在过A点借助水平线(AC)和正平线A3，在H面，作K12垂直于AC线段，交ac和ab于1和2点。 步骤二：在V面，作km垂直于A3线段；以k12作辅助前垂面，立面交ac和ab于1和2点。km交12线段于m点。点M就是过K作ABC的垂线的垂足。 步骤三：根据二面投影，作KM投影直角三角形，即可得到KM的实长。,4-17已知A点至平面DEF的距离为15，求A点的V面投影。,O,X,a1,f1,e1,d1,o,x,f,d,a,e,f,d,e,1,1,15,a,分析：已知A点至平面DEF的距离为15，可利用投影变换将平面DEF转换垂面，
21、距离积聚投影15的线上必定是A点所在的位置，根据换面法原理反推，求出a。 步骤一：在平面DEF求作水平线E1。 步骤二：作新轴O1X1垂直水平线E1，在H/V1体系中，作平面DEF的积聚新投影d1e1f1。 步骤三：作距离积聚新投影d1e1f1为15个单位的直线，和aa1交于a1点。 步骤四：根据换面法原理反推求出点a的投影。,4-18过K点作平面平行于直线AB，并垂直EF、GH所表示的平面。,a,b,a,b,e,f,h,g,e,f,h,g,1,1,2,2,k,k,m,m,L,L,分析：可过K点作直线KM垂直于平面EF、GH，并过K点作直线L平行于AB，即可满足题目所求的要求。 步骤一：在efgh平面作一水平线e2和在efgh平面作正平线1f；作km垂直于1f、km垂直于e2，则直线KM垂直于平面EFGH。 步骤二：作L平行于AB。 步骤三：KM与L两相交直线所形成的平面就是所求平面。,