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1、第 2 讲 平抛运动 1平抛运动的定义、性质 (1)定义:以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 (2)性质:平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动,其运动轨迹是抛物线。 (3)平抛运动的条件 v00,沿水平方向;只受重力作用。 1.1 (2018 山东济南一模)甲同学以速度v1将铅球水平抛出,抛出点距地面高度为H1,乙同学身高较高,将铅 球在距地面H2高度处水平抛出(H2H1),两位同学抛出铅球的水平位移恰好一样,不计空气阻力的作用,则乙 同学抛出铅球的速度为( )。 A.v1B.v1C.v1D.v1 2 1 1 2 1 2 2 1 【答案】B 2平抛运动的基本规律 如图所示
2、 水平方向vx=v0,x=v0t 竖直方向vy=gt,y= gt2 1 2 大小v= 2+ 202+ ()2合 速 度 方向与水平方向夹角的正切 tan = 0 大小s=2+ 2 合 位 移 方向与水平方向夹角的正切 tan = = 20 2.1 (2019 江西南昌开学考试)(多选)如图所示是乒乓球发射器的示意图,发射口距桌面高度为 0.45 m, 假定乒乓球水平射出,落在桌面上的P点,该点与发射口的水平距离为 2.4 m,飞行过程中乒乓球未触网,不 计空气阻力,取g=10 m/s2,则( )。 A.球下落的加速度逐渐变大 B.球从发射口到桌面的运动时间为 0.3 s C.球从发射口射出后速
3、度不变 D.球从发射口射出的速率为 8 m/s 【答案】BD 题型 一 平抛运动基本规律的运用问题 1.飞行时间:由t=知,时间取决于下落高度h和当地的重力加速度g,与初速度v0无关。 2 2.水平射程:x=v0t=v0,即水平射程由初速度v0、下落高度h和当地的重力加速度g共同决定,与其 2 他因素无关。 3.落地速度:v=,以表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有 tan = 2+ 202+ 2 2 0 ,所以落地速度只与初速度v0、下落高度h以及当地重力加速度g有关。 4.两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 (2)做平抛(或类平
4、抛)运动的物体在任一时刻,设其速度方向与水平方向的夹角为,位移方向与水平 方向的夹角为,则 tan =2tan 。 5.速度改变量:因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间 间隔 t内的速度改变量均为 v=gt,方向恒为竖直向下。 【例 1】(多选)如图所示,同一竖直线上的A、B两点距地面的高度分别为hA=1.65 m、hB=1.2 m。将两 个可看作质点的小球a、b分别从A、B两点以一定的初速度水平抛出,两小球在距地面高 0.4 m 的P点相 遇,已知重力加速度g为 10 m/s2,则( )。 A.小球a、b有可能从A、B两点同时抛出 B.小球a一定比小球
5、b早 0.1 s 抛出 C.小球a、b抛出时的初速度大小之比为 54 D.小球a、b在P点的竖直分速度大小之比为 54 【解析】设小球a、b从抛出到运动至P点所用的时间分别为t1和t2,则由h= gt2可得t1=0.5 1 2 s,t2=0.4 s,因此,欲使两小球同时到达P点,小球a一定比小球b早抛出 0.1 s,A 项错误,B 项正确;设小球a、 b抛出时的水平初速度大小分别为vA和vB,两小球在水平方向上运动的距离均为x,则有vA=,vB=,故两小球 1 2 抛出时的初速度大小之比= =,C 项错误;由vy=gt可得两小球在P点的竖直分速度大小之比= =,D 项 2 1 4 5 1 2
6、5 4 正确。 【答案】BD 如何求解平抛运动问题 (1)在解答平抛运动问题时,一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解,这样分解的优点是不 用分解初速度也不用分解加速度。 (2)画出速度(或位移)分解图,通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关 系,通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量。 【变式训练 1】(2018 江西南昌学情检测)如图所示,小球A位于斜面上,小球B与小球A位于同一高 度,现将小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出,都落在了倾角为 45的斜面上的同一点,且小球B恰好 垂直打到斜面上,不计空气阻力,则v1v2为( )。 A.32B.21
7、C.11D.12 【解析】两小球下落的高度相同,故下落的时间相同,由平抛运动的规律可知,对A球有=1,对B球 1t 1 2g 2 有=1,联立两式解得v1v2=12,D 项正确。 2 【答案】D 题型 二 平抛运动与斜面模型 平抛运动与斜面模型组合是一种常见的题型,也是高考考查的热点题型,具体有以下两种情况。 模型解题方法方法应用 分解速度,构 建速度矢量 三角形 水平方向:vx=v0 竖直方向:vy=gt 合速度:v= 2+ 2 方向:tan = 分解位移,构 建位移矢量 三角形 水平方向:x=v0t 竖直方向:y= gt2 1 2 合位移:s=2+ 2 方向:tan = 【例 2】(多选)
8、如图所示,从倾角为的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均 落在斜面上,当抛出的速度为v1时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为1;当抛出速度为v2时,小球 到达斜面时速度方向与斜面的夹角为2,则( )。 A.当v1v2时,12 B.当v1v2时,12 C.无论v1、v2关系如何,均有1=2 D.1、2的大小与斜面的倾角有关 【解析】从斜面上抛出,又落到斜面上,位移偏向角一定为,设速度偏向角为,根据速度偏向角和位 移偏向角的关系有 tan =2tan ,故无论v1、v2关系如何,一定有相等,根据=-,有1=2,且大 小与斜面倾角有关,A、B 两项错误,C、D 两项正确。 【答
9、案】CD 求抛出点和落点都在斜面上的问题一般要从位移关系入手,根据位移中分运动和合运动的大小和方向 (角度)关系进行求解;求抛出点在斜面外,落点在斜面上的问题关键在于利用矢量分解的知识将末速度和位 移正交分解,建立起各物理量之间的几何关系,如v0与v、s与h之间的关系。 【变式训练 2】(2018 江西南昌五校联考)如图甲所示,小球由倾角为 45的斜坡底端P点正上方某一 位置Q处自由下落,下落至P点的时间为t1,若小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出,恰好垂直撞在斜 坡上,运动时间为t2,不计空气阻力,则t1t2等于( )。 甲 A.12 B.1 3 C.1 D.1 23 【解析】小球自Q处
10、自由下落,下落至P点,则有H= g;小球自Q处水平向左抛出,恰好垂直撞在斜坡 1 2 12 上,如图乙所示,则有vy=v0=gt2,h= g,x=v0t2,由几何关系知x=2h,H=x+h,联立解得t1t2=1,故 B 项正 1 2 22 3 确。 乙 【答案】B 1.(2018 辽宁沈阳 10 月模拟)某人站在平台上水平抛出一球,球离开平台时的初速度为v1,落地时的速度为 v2,忽略空气阻力,图中能够正确地反映速度矢量(相邻速度矢量间的时间间隔相同)演变过程的是( )。 【解析】因为平抛运动在水平方向上是匀速直线运动,竖直方向上是自由落体运动,水平分速度不变,所 以速度的变化量等于竖直方向上
11、速度的变化量,根据 v=gt,可知球速度变化量的方向与g的方向相同,总是 竖直向下的,故 D 项正确,A、B、C 三项错误。 【答案】D 2.(2018 河北邯郸开学考试)(多选)如图所示,排球场地长为a,宽为b,球网高为h。若发球员站在P点(P点 在场地边缘的中点)从离地面高度为H处垂直于球网所在的竖直平面发球,要使球既不触网又不越界,且能 够使球到达对方场地,排球视为质点,重力加速度为g,不计空气阻力,则( )。 A.球在空中飞行的时间为 2 B.发球的最小初速度为 2 2 C.发球的最大初速度为a 2 D.球在空中飞行时的速度变化率为g 【解析】由平抛运动规律知,在水平方向上有a=vt,
12、在竖直方向上有H= gt2,解得t=,所以 A 项错误; 1 2 2 若球恰好触网,则球在网上方运动的时间t=,所以发球的最小初速度为=,B 项错误;发球的 2( - ) 2 2 2( - ) 最大初速度v= =a,C 项正确;球在空中飞行时的速度变化率即加速度,D 项正确。 2 【答案】CD 3.(2018 安徽合肥五校联考)(多选)如图所示,一质点以速度v0从倾角为的斜面底端斜向上抛出,落到斜 面上的M点且速度水平向右。现将该质点以 2v0的速度从斜面底端朝同样方向抛出,落在斜面上的N点。 下列说法正确的是( )。 A.落到M和N两点的时间之比为 12 B.落到M和N两点的速度之比为 11
13、 C.M和N两点距离斜面底端的高度之比为 12 D.落到N点时速度方向水平向右 【解析】由于落到斜面上M点时速度水平向右,故可把质点在空中的运动逆向看成从M点向左的平抛 运动,设在M点的速度大小为u,把质点在斜面底端的速度v分解为水平速度u和竖直速度vy,有x=ut,y= gt2, 1 2 =tan ,得质点在空中飞行的时间t=,vy=gt=2utan ,v和水平方向夹角的正切值=2tan ,为定 2tan 值,即落到N点时速度方向水平向右,故 D 项正确;v=u,即v与u成正比,故落到M和N 2+ 21 + 4tan2 两点的速度之比为 12,B 项错误;由t=知,落到M和N两点的时间之比为
14、 12,A 项正确;由y= gt2= 2tan 1 2 知,y和u2成正比,M和N两点距离斜面底端的高度之比为 14,C 项错误。 22tan2 【答案】AD 4.(2018 四川成都学情检测)如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中|AB|=2|AD|=2|AA1|,将可视为质点的小球从 顶点A在BAD所在范围内(包括边界)分别沿不同方向水平抛出,落点都在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不 计空气阻力,则小球( )。 A.抛出速度最大时落在B1点 B.抛出速度最小时落在D1点 C.从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等 D.落在B1D1中点时的速度与落在D1点时的速度大小
15、相等 【解析】将小球从顶点A沿不同方向水平抛出,落点都在A1B1C1D1范围内,下落高度都相同,小球在竖直 方向做自由落体运动,有h= gt2,得t=,下落时间都相等,C 项正确;水平位移越大,初速度就越大,最大水平 1 2 2 位移是A1C1,抛出速度最大时落在C1点,A 项错误;A1D1不是最小水平位移,抛出速度最小时不是落在D1点,B 项 错误;落在B1D1中点与落在D1点时的水平位移不相等,所以水平速度大小不相等,D 项错误。 【答案】C 5.(2018 安徽安庆 10 月模拟)(多选)一小球从A点开始做自由落体运动,另一小球从B点开始做平抛运动, 两小球恰好同时到达C点,已知A、C两
16、点高度差为h,两小球在C点相遇前瞬间速度大小相等,方向成 60 夹角,重力加速度g=10 m/s2,由以上条件可知( )。 A.两小球到达C点所用时间之比为 12 B.做平抛运动的小球初速度大小为 3 2 C.A、B两点的高度差为 3 4 D.A、B两点的水平距离为 2 【解析】小球从A点开始做自由落体运动,下降h过程,所用时间tAC=,末速度大小v1=,故做平 2 2 抛运动时小球的末速度大小v2=v1=,方向与竖直方向成 60夹角斜向右下方,则做平抛运动的小球的初 2 速度v0=v2sin 60=,在C点时的竖直分速度vy=v2cos 60=,由vy=gtBC,得tBC=,故 3 2 2
17、2 tACtBC=21,A 项错误,B 项正确;做平抛运动的小球的竖直分位移h= h,A、B两点的高度差 h=h- h= 2 2 1 4 1 4 3 4 h,两点的水平距离x=v0tBC=h,C 项正确,D 项错误。 3 2 【答案】BC 6.(2018 江苏南通 9 月模拟)静止的城市绿化洒水车,由横截面积为S的喷嘴水平喷出水流,水流从射出喷 嘴到落地经历的时间为t,水流落地点与喷嘴连线与水平地面间的夹角为,忽略空气阻力(重力加速度g 取 10 m/s2),以下说法正确的是( )。 A.水流射出喷嘴的速度大小为gttan B.空中水柱的水量为 2 2tan C.水流落地时位移大小为 2 2c
18、os D.水流落地时的速度大小为 2gtcos 【解析】设喷嘴离地面的距离为y,水流落地点与喷嘴的水平距离为x。根据题意可得 tan =,由平 抛运动规律得y= gt2,x=vt,联立解得水流射出喷嘴的速度大小v=,A 项错误;由V=Svt得空中水柱的水量 1 2 2tan V=,B 项正确;水流落地时位移大小s=,C 项错误;水流落地时的速度大小vt= gt 2 2tan cos 2 2sin 2+ (gt)2 1 2 ,D 项错误。 1 tan2 + 4 【答案】B 7.(2018 湖南长沙 10 月调研)如图所示,在倾角为 37的固定斜坡上有一人,前方有一物块沿斜坡匀速下 滑,且速度v=
19、15 m/s,在二者相距l=30 m 时,此人以速度v0水平抛出一石块打击物块,人和物块都可看成质 点。(已知 sin 37=0.6,g=10 m/s2) (1)若物块在斜坡上被石块击中,求v0的大小。 (2)当物块在斜坡末端时,物块离人的高度h=80 m,此刻此人以速度v1水平抛出一石块打击物块,同时物块 开始沿水平面运动,物块速度v=15 m/s,若物块在水平面上能被石块击中,求速度v1的大小。 【解析】(1)设石块击中物块的过程中,石块运动的时间为t 对物块,运动的位移s=vt 对石块,竖直方向有(l+s)sin 37= gt2 1 2 水平方向有(l+s)cos 37=v0t 解得v0
20、=20 m/s。 (2)对物块有x1=vt 对石块,竖直方向有h= gt2 1 2 解得t=4 s 2 水平方向有+x1=v1t tan37 联立可得v1=41.7 m/s。 【答案】(1)20 m/s (2)41.7 m/s 8.(2019 辽宁丹东开学考试)用如图甲所示的水平斜面装置研究平抛运动,一物块(可视为质点)置于粗糙水 平面上的O点,O点到斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F将物块由O点从静止开始拉动,当物块 运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程,作出了图乙所 示的图象,若物块与水平部分间的动摩擦因数为 0.5,斜面与水平地面之间的夹角
21、=45,g取 10 m/s2,设 最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则O、P间的距离s是多少?(结果保留 2 位有效数字) 【解析】根据牛顿第二定律,在OP段有F-mg=ma 又 2as=2 由平抛运动规律和几何关系有 物块的水平射程x=vPt 物块的竖直位移y= gt2 1 2 由几何关系有y=xtan 联立以上各式可以得到 F= x+mg 4tan 由图象知mg=5,=10 4tan 解得s=0.25 m。 【答案】0.25 m 1.(2018 全国卷,17)在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以v和 的速度沿同一方向水平抛出,两球都落 2 在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(
22、 )。 A.2 倍B.4 倍C.6 倍D.8 倍 【解析】如图所示,可知 x=vt xtan = gt2 1 2 则x=v2 2tan 即xv2 甲、乙两球抛出速度为v和 ,则相应水平位移之比为 41,由相似三角形知,下落高度之比也为 41,由 2 自由落体运动规律得,落在斜面上竖直方向速度之比为 21,则可得落至斜面时速率之比为 21。 【答案】A 2.(2018 江苏卷,3)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中,该弹射管保持 水平,先后弹出两只小球。忽略空气阻力,两只小球落到水平地面的( )。 A.时刻相同,地点相同 B.时刻相同,地点不同 C.时刻不同,地点相同
23、 D.时刻不同,地点不同 【解析】弹出的小球做平抛运动,竖直方向的分运动为自由落体运动,水平方向的分运动为匀速直线运 动。弹射管自由下落,两只小球始终处于同一水平面,因此两只小球同时落地。由h= gt2知,两只小球在空中 1 2 运动的时间不相等,由x=vt知水平位移不相等,落地点不同。 【答案】B 3.(2017 全国卷,15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影 响)。速度较大的球越过球网,速度较小的球没有越过球网。其原因是( )。 A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C.速度较大的球通过同一
24、水平距离所用的时间较少 D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 【解析】水平射出的乒乓球做平抛运动,两乒乓球在竖直方向做自由落体运动,运动情况相同,A、B、D 三项错误;球在水平方向上做匀速运动,由运动规律x=v0t可得速度较大的球通过同一水平距离所用的时间 较少,C 项正确。 【答案】C 4.(2015 全国卷,18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2,中间 球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点,能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球,发射点 距台面高度为 3h。不计空气的作用,重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内,通过选择
25、合 适的方向,就能使乒乓球落到球网右侧台面上,则v的最大取值范围是( )。 A.vL1 1 2 6 6 B.v 1 4 (412+ 22)g 6 C.v 1 2 6 1 2 (412+ 22)g 6 D.v 1 4 1 2 (412+ 22)g 6 【解析】当球落到右侧角上时,设飞行时间为t1,则 3h= g,t1=,t1时间内的水平位移x1= 1 2 12 6 =,发射速度vmax= =;当球刚好擦网落到台面中间线上的时候,设飞行时12+( 2 2) 2 12+ 22 4 1 1 1 2 (412+ 22)g 6 间为t2,则 3h-h= g,t2=2,t2时间内的水平位移x2=,发射速度v
26、min= =,则vminvvmax,所以 D 项正 1 2 22 1 2 2 2 1 4 确。 【答案】D 5.(2016 海南卷,1)在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出,不计空气阻力,则小球在随后 的运动中( )。 A.速度和加速度的方向都在不断改变 B.速度与加速度方向之间的夹角一直减小 C.在相等的时间间隔内,速率的改变量相等 D.在相等的时间间隔内,动能的改变量相等 【解析】小球做平抛运动,加速度为重力加速度,小球的速度大小和方向都时刻变化,小球的加速度大小 和方向均恒定,故 A 项错误。速度与加速度的夹角的正切值 tan =,随着时间t的增大,夹角减小, 0 0 故 B 项正确。速度改变量 v=gt,相等时间内的速度改变量相等,但速率(速度的大小)的改变量不相等,故 C 项错误。相等时间内动能的改变量取决于合力重力做的功,由于相等时间内下落的高度越来越大,重 力做的功越来越多,动能的改变量越来越大,故 D 项错误。 【答案】B