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1、第第 3 讲 圆周运动讲 圆周运动 一、匀速圆周运动及描述 1匀速圆周运动 (1)定义 ： 做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动 (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心 2运动参量 定义、意义公式、单位 线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快 慢的物理量(v) (1)v l t 2r T (2)单位：m/s 角速度描述物体绕圆心转动快慢的物理量() (1) t 2 T (2)单位：rad/s 周期物体沿圆周运动一圈的时间(T) (1)T，单位：s 2r v 2 (2)f ，单
2、位：Hz 1 T 向心加速度 (1)描述速度方向变化快慢的物理量(a) (2)方向指向圆心 (1)ar2 v2 r (2)单位：m/s2 自测 1 (多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为 4 m/s，转动周期为 2 s，则( ) A角速度为 0.5 rad/s B转速为 0.5 r/s C轨迹半径为 m 4 D加速度大小为 4 m/s2 答案 BCD 二、匀速圆周运动的向心力 1作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小 2大小 Fmmr2mrmv42mf2r. v2 r 42 T2 3方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力 4来源 向心力可
3、以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供 自测 2 (多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是( ) A因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力 B因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小 C向心力由物体所受的合外力提供 D向心力和向心加速度的方向都是不变的 答案 BC 三、离心运动和近心运动 1离心运动 ： 做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力 的情况下，就做逐渐远离圆心的运动 2受力特点(如图 1) 图 1 (1)当 F0 时，物体沿切线方向飞出； (2)当 Fmr2时，物
4、体逐渐向圆心靠近，做近心运动 3本质 ： 离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要 的向心力 自测 3 (2019河北省邢台市调研)如图 2 所示为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯 的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自 行车看做一个整体，下列论述正确的是( ) 图 2 A运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供 B运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供 C发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心 D发生侧滑是因为运动员受到的合外力大于所需的向心力 答案 B 解析 向心力为沿半径方向上的合力
5、运动员转弯时，受力分析如图所示，可知地面对车轮 的摩擦力提供所需的向心力， 故 A 错误， B 正确 ； 当 f时，FNmgm，FNgr v2 r 指向圆心并随 v 的增大而增大 2解题技巧 (1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同 (2)确定临界点：抓住球绳模型中球恰好能过最高点时 v及球杆模型中球恰好能过gR 最高点时 v0 这两个临界条件 (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况 (4)受力分析 ： 对物体在最高点或最低点时进行受力分析， 根据牛顿第二定律列出方程 ： F合F 向 (5)过程分析：应用动能定理或机
6、械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程 模型 1 球绳模型 例3 (多选)(2018四川省凉山州三模)如图10所示， 两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m 的小球，另一端固定在等高的两点 O1、O2，两点的距离也为 L，在最低点给小球一个水平向 里的初速度 v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为 g，则( ) 图 10 A小球运动到最高点的速度 v 3 2 Lg B小球运动到最高点的速度 vLg C小球在最低点时每段绳子的拉力 Fmgm2 3v 02 3L D小球在最低点时每段绳子的拉力 Fmgm 3 3 2v02 3L 答案 AD 解析 小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最
7、高点重力恰好提供向心力， 则 mgm， v2 r rLsin 60， 解得 v ， A 正确， B 错误 ； 小球在最低点， 由向心力公式得 ： FTmgm 3 2 gL ，每段绳子的拉力 F，由以上两式解得：Fmgm，C 错误，D 正确 v02 r FT 2sin 60 3 3 2v02 3L 变式 3 (多选)(2018甘肃省兰州一中模拟)如图 11 甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 m 的 小球， 在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)， 小球运动到最高点时绳对小球的拉力为 FT， 小球在最高点的速度大小为 v，其 FTv2图象如图乙所示，则( ) 图 11 A轻质绳长为mb a B当地的
8、重力加速度为a m C当 v2c 时，轻质绳最高点拉力大小为a ac b D若 v2b，小球运动到最低点时绳的拉力为 6a 答案 ABD 解析 在最高点，FTmgm，解得：FTmmg，可知纵截距的绝对值为 amg，g v2 L v2 L ，图线的斜率 k ，解得绳子的长度 L，故 A、B 正确；当 v2c 时，轻质绳的拉 a m a b m L mb a 力大小为：FTm mga，故 C 错误；当 v2b 时拉力为零，到最低点时根据动能定 c L ac b 理得：2mgL mv22 mv2，根据牛顿第二定律：FTmgm，联立以上可得拉力为： 1 2 1 2 v22 L FT6mg6a，故 D
9、正确 模型 2 球杆模型 例 4 (2018福建省厦门市质检)如图 12 所示，在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为 R， A、B 两点分别为轨道的最高点与最低点质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强 磁性引力始终指向圆心 O 且大小恒为 F，当质点以速率 v通过 A 点时，对轨道的压力gR 为其重力的 7 倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为 g. 图 12 (1)求质点的质量； (2)质点能做完整的圆周运动过程中，若磁性引力大小恒定，试证明质点对 A、B 两点的压力 差为定值； (3)若磁性引力大小恒为 2F，为确保质点做完整的圆周运动，求质点通过 B 点最大速率 答案 见解析 解析
10、 (1)在 A 点：FmgFA mv2 R 根据牛顿第三定律：FAFA7mg 由式联立得：m F 7g (2)质点能做完整的圆周运动，设磁性引力大小为 F，在 A 点有：FmgFNA mvA2 R 根据牛顿第三定律：FNAFNA 在 B 点有：FmgFNB mvB2 R 根据牛顿第三定律：FNBFNB 从 A 点到 B 点过程，根据机械能守恒定律：mg2R mvB2 mvA2 1 2 1 2 由联立得：FNAFNB6mg 为定值，得到证明 (3)在 B 点，根据牛顿第二定律：2FmgFBmv B2 R 当 FB0，质点速度最大 2Fmg mvBm2 R 由联立得：vBm13gR 变式 4 (2
11、018山东省济南一中期中)一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心， 使小球在竖直面内做半径为 R 的圆周运动，如图 13 所示，则下列说法正确的是( ) 图 13 A小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B小球过最高点的最小速度是gR C小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案 A 解析 当小球到达最高点弹力为零时，有 mgm，解得 v，即当速度 v时， v2 R gRgR 轻杆所受的弹力为零，所以 A 正确小球通过最高点的最小速度为零，所以 B 错误小球在 最高点，若 v，则有：mgFm，轻杆的作用力随
12、着速度增大而增大，所以 C、D 错误gR v2 R 命题点四 圆周运动中的两类临界问题命题点四 圆周运动中的两类临界问题 1与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力 fm，静摩擦力的方向一定指向圆心 mv2 r (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个 恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩 擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心 2与弹力有关的临界极值问题 (1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零
13、(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力 例 5 (多选)如图 14 所示，两个可视为质点的、相同的木块 A 和 B 放在转盘上，两者用长 为 L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的 K 倍，A 放在距离转轴 L 处， 整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置 从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( ) 图 14 A当 时，A、B 相对于转盘会滑动 2Kg 3L B当 ，绳子一定有弹力 Kg 2L C 在时，绳子有弹力，B 项正确；当 Kg 2L Kg 2L Kg 2L 时，B 已达到最
14、大静摩擦力，则 在 ，b 绳将出现弹力 g ltan D若 b 绳突然被剪断，则 a 绳的弹力一定发生变化 答案 AC 1(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带如图 1 所示，某公路急转弯处是一圆弧， 当汽车行驶的速率为 vc时， 汽车恰好没有向公路内、 外两侧滑动的趋势， 则在该弯道处( ) 图 1 A路面外侧高、内侧低 B车速只要低于 vc，车辆便会向内侧滑动 C车速虽然高于 vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小 答案 AC 解析 当汽车行驶的速度为 vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力 的合力提供向心
15、力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项 A 正确当速度稍大于 vc时，汽车 有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会 向外侧滑动，选项 C 正确同样，速度稍小于 vc时，车辆不会向内侧滑动，选项 B 错误vc 的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D 错误 2(多选)(2018河北省“名校联盟”质量监测一)如图 2 为过山车以及轨道简化模型，过山车 车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人” ，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切 阻力，以下判断正确的是( ) 图 2 A过山车在圆轨道上做匀速圆周运动 B过山车在圆轨道最高点时的速
16、度应至少等于gR C过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态 D若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力 答案 BD 解析 过山车在运动过程中，重力势能和动能相互转化，即速度大小在变化，所以不是做匀 速圆周运动，A 错误 ； 在最高点重力完全充当向心力时，速度最小，故有 mgm，解得 v v2 R ，B 正确；在最低点，“假人”受到竖直向上指向圆心的加速度，故处于超重状态，CgR 错误 ； 若过山车能顺利通过整个圆轨道， 即在最高点重力充当向心力， 或重力和座椅对 “假人” 的支持力的合力充当向心力，所以安全带对“假人”一定无作用力，D 正确 3(多选)(2018
17、广西桂林市、贺州市期末联考)如图 3 所示，照片中的汽车在水平公路上做匀 速圆周运动已知图中双向四车道的总宽度为 15 m，内车道内边缘间最远的距离为 150 m假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的 0.7 倍g 取 10 m/s2，则汽车( ) 图 3 A所受的合力可能为零 B只受重力和地面支持力的作用 C所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供 D最大速度不能超过 3 m/s70 答案 CD 解析 汽车做匀速圆周运动，则所受的合力不可能为零，选项 A 错误 ； 汽车做匀速圆周运动， 竖直方向受重力和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽车做匀速圆周运动的 向心力，选项 B 错误；
18、车在水平公路上做匀速圆周运动，则汽车所需的向心力不可能由重力 和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，选项 C 正确 ； 汽车转弯的最大半径为 r m15 150 2 m90 m，由牛顿第二定律可得 mgm，解得 v m/s3 v2 r gr0.7 10 9070 m/s，即汽车的最大速度不能超过 3 m/s，选项 D 正确70 4(2019福建省南平市模拟)2017 年春晚，摩托车特技表演引爆上海分会场的气氛，称为史 上最惊险刺激的八人环球飞车表演在舞台中固定一个直径为 6.5 m 的球形铁笼，八辆摩托 车始终以 70 km/h 的速度在铁笼内旋转追逐，旋转轨道有时水平，有时竖直，有时倾斜，非
19、常震撼关于摩托车的旋转运动，下列说法正确的是( ) A摩托车在铁笼的最低点时，对铁笼的压力最大 B摩托车驾驶员始终处于失重状态 C摩托车始终机械能守恒 D摩托车的速度小于 70 km/h，就会脱离铁笼 答案 A 5(多选)(2018北京市大兴区上学期期末)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大 小与质量、角速度和半径之间的关系它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小 球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变， 利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多采用如图 4 所示的实 验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是( )
20、 图 4 A控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系 B控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系 C钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多 D钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多 答案 AC 6两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同 的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位 置关系示意图正确的是( ) 答案 B 解析 小球做匀速圆周运动， 对其受力分析如图所示， 则有 mgtan m2Lsin ， 整理得 ： Lcos ，则两球处于同一高度，故 B 正确 g 2 7 (2019山东省济宁
21、市期中)如图 5 所示， 一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒 定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止物体与 盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)， 盘面与水平面的夹角为 30， g 3 2 取 10 m/s2.则 的最大值是( ) 图 5 A. rad/s B. rad/s53 C1.0 rad/s D0.5 rad/s 答案 C 解析 当小物体转动到最低点时为临界点， 由牛顿第二定律知， mgcos 30mgsin 30m2r 解得 1.0 rad/s，故选项 C 正确 8(2018陕西省宝鸡市质检二)如图 6 所示，长为
22、L 的轻质硬杆，一端固定一个质量为 m 的 小球， 另一端固定在水平转轴上， 现让杆绕转轴 O 在竖直平面内匀速转动， 转动的角速度为 ， 某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角 为( ) 图 6 Asin Bsin 2L g g 2L Ctan Dtan 2L g g 2L 答案 B 解析 小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，受力如图所示 根据牛顿第二定律有：mL2，解得：sin ，故选 B. mg sin g 2L 9(多选)(2018湖南省益阳市 4 月调研)如图 7 所示，四分之一光滑圆弧轨道 AB 固定在竖直 平面内，圆心为 O，半径 OA 水平，OB 竖直，质量
23、为 m 的小球从 A 点由静止释放后，沿圆 孤滑下从 B 点抛出，最后落在地面上 C 点，已知 AC 间的水平距离和竖直距离均为 L，小球 可视为质点，重力加速度为 g，不计空气阻力，则下列说法正确的是( ) 图 7 A当小球运动到轨道最低点 B 时，轨道对其支持力为 2mg B根据已知条件可以求出该四分之一圆弧轨道的轨道半径为 0.2L C小球做平抛运动落到地面时的速度与水平方向夹角 的正切值 tan 2 D 如果在竖直平面内 A 点正上方有一 P 点， OP 连线与水平方向夹角 45， 则将小球从 P 点由静止释放后运动到 B 点时，对轨道的压力大小为 4mg 答案 BC 解析 对小球由动
24、能定理得 mgR mvB2，在最低点 FBmgm，解得 FB3mg，故 A 错 1 2 vB2 R 误；小球做平抛运动，LR gt2，LRvBt，解得 R0.2L，故 B 正确；设小球做平抛运 1 2 动的位移与水平方向的夹角为 ，则 tan 1，因为 tan 2tan ，所以 tan 2，故 C 正确 ； 小球从 P 点到 B 点有 mg2R mv2，在 B 点 FNmgm，解得 FN5mg，结合牛顿第三定 1 2 v2 R 律可知，小球对轨道的压力大小为 5mg，故 D 错误 10(2018吉林省吉林市第二次调研)如图 8 所示，两个相同的小木块 A 和 B(均可看做质点)， 质量均为 m
25、，用长为 L 的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A 与竖直轴的距离为 L， 此时绳子恰好伸直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加 速度大小为 g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列 说法正确的是( ) 图 8 A木块 A、B 所受的摩擦力始终相等 B木块 B 所受摩擦力总等于木块 A 所受摩擦力的两倍 C是轻绳开始产生弹力的临界角速度 kg L D若 ，则木块 A、B 将要相对圆盘发生滑动 2kg 3L 答案 D 解析 当角速度较小时，A、B 均靠静摩擦力提供向心力，由于 B 转动的半径较大，则 B 先 达到最大静摩擦力，角
26、速度继续增大，则轻绳出现拉力，当 A 的静摩擦力达到最大时，角速 度增大， A、 B开始发生相对滑动， 可知B的静摩擦力方向一直指向圆心， 在绳子出现张力前， A、 B 的角速度相等，半径之比为 12，则静摩擦力之比为 12，当轻绳出现张力后，A、B 的 静摩擦力之比不是 12，故 A、B 错误当摩擦力刚好提供 B 做圆周运动的向心力时，轻绳 开始产生拉力， 则 kmgm22L， 解得 ， 故 C 错误 ； 当 A 的摩擦力达到最大时， A、 B kg 2L 将要开始滑动， 对 A 有 ： kmgFTmL2， 对 B 有 ： FTkmgm2L2， 解得 ， 2kg 3L 故 D 正确 11(2
27、018福建省泉州市模拟三)如图 9 为一个简易的冲击式水轮机的模型，水流自水平的水 管流出，水流轨迹与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子 连续转动当该装置工作稳定时，可近似认为水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度 相同调整轮轴 O 的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平方向成 37角测得水 从管口流出速度 v03 m/s，轮子半径 R0.1 m不计挡水板的大小，不计空气阻力取重力 加速度 g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8.求： 图 9 (1)轮子转动角速度 ； (2)水管出水口距轮轴 O 的水平距离 l 和竖直距离 h. 答案 (1)
28、50 rad/s (2)1.12 m 0.86 m 解析 (1)水流出后做平抛运动，设水流到达轮子边缘的速度为 v，v5 m/s v0 sin 37 轮子边缘的线速度 v v 5 m/s 所以轮子转动的角速度 50 rad/s v R (2)设水流到达轮子边缘的竖直分速度为 vy， 平抛运动时间为 t， 水平、 竖直分位移分别为 x、 y ： vy4 m/s v0 tan 37 t 0.4 s vy g xv0t1.2 m y gt20.8 m 1 2 水管出水口距轮轴 O 的水平距离 l 和竖直距离 h 为： lxRcos 371.12 m hyRsin 370.86 m 12 (2018山
29、西省运城市期末)某高速公路的一个出口段如图 10 所示， 情景简化 ： 轿车从出口 A 进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至 B 点(通过 B 点前后速率不变)，再匀速率通过水平 圆弧路段至 C 点， 最后从 C 点沿平直路段匀减速到 D 点停下 已知轿车在 A 点的速度 v072 km/h，AB 长L1150 m；BC 为四分之一水平圆弧段，限速(允许通过的最大速度)v36 km/h，轮 胎与BC段路面间的动摩擦因数0.5， 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力， CD段长L250 m，重力加速度 g 取 10 m/s2. 图 10 (1)若轿车到达 B 点速度刚好为 v36 km/h，求轿车在
30、 AB 下坡段加速度的大小； (2)为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段 BC 半径 R 的最小值； (3)轿车从 A 点到 D 点全程的最短时间 答案 (1)1 m/s2 (2)20 m (3)23.14 s 解析 (1)v072 km/h20 m/s，AB 长 L1150 m，v36 km/h10 m/s，轿车在 AB 段做匀减 速直线运动，有 v2v022aL1 代入数据解得 a1 m/s2 (2)轿车在 BC 段做圆周运动，静摩擦力提供向心力， fmv 2 R 为了确保安全，则须满足 fmg 联立解得：R20 m，即 Rmin20 m (3)设通过 AB 段最短时间为 t1，通过 BC 段最短时间为 t2，通过 CD 段时间为 t3，全程所用最 短时间为 t. L1t1 vv0 2 Rminvt2 1 2 L2 t3 v 2 tt1t2t3 解得：t23.14 s