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1、名校精品资料数学第二部分 题型研究题型五 几何探究题类型五类比、拓展探究问题1. (2017绍兴)已知ABC，ABAC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，ADAE，设BAD，CDE.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上：如果ABC60，ADE70，那么_，_；求、之间的关系式；(2)是否存在不同于以上中的、之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由第1题图2. (2017乐山)在四边形ABCD中，BD180，对角线AC平分BAD.(1)如图，若BAD120，且B90，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由；(2)如图，若将(1)中的条
2、件“B90”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由；(3)如图，若BAD90，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由第2题图3. (2017临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若ACBACDABDADB60，则线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图，延长CB到E，使BECD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故ACCE，所以ACBCCD.小亮展示了另一种正确的思路：如图，将ABC绕着点A逆时针旋转60，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边三角形，故ACCF，所以ACB
3、CCD.第3题图在此基础上，同学们做了进一步的研究：(1)小颖提出：如图，如果把“ACBACDABDADB60”改为“ACBACDABDADB45”，其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明；(2)小华提出：如图，如果把“ACBACDABDADB60”改为“ACBACDABDADB”，其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明第3题图4. (2017衢州)问题背景如图，在正方形ABCD的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，
4、从而得到四边形EFGH是正方形类比探究如图，在正ABC的内部，作BADCBEACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)(1)ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，ABD的三边存在一定的等量关系，设BDa，ADb，ABc，请探索a，b，c满足的等量关系第4题图5. (2017岳阳)问题背景：已知EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记ADM的面积为S1，BND的面积为S2.(1)初步尝试：如图，当ABC是等边
5、三角形，AB6，EDFA，且DEBC，AD2时，则S1S2_；(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD4，再将EDF绕点D旋转至如图所示位置，求S1S2的值；(3)延伸拓展：当ABC是等腰三角形时，设BAEDF.()如图，当点D在线段AB上运动时， 设ADa，BDb，求S1S2的表达式(结果用a，b和的三角函数表示)；()如图，当点D在BA的延长线上运动时，设ADa，BDb，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程第5题图答案1. 解：(1)20，10；设ABCx，ADEy，则ACBx，AEDy，在DEC中，yx，在ABD中，xy，2；(2)如解图，点E在CA延长线上，点
6、D在线段BC上，设ABCx，ADEy，则ACBx，AEDy，在ABD中，xy，在DEC中，xy180，2180.(注：求其它关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得1802.)第1题解图 2. 解：(1)ACADAB.理由如下：由题意知B90，D90，DAB120，AC平分DAB，DACBAC60，ACBACD30，AB AC，AD AC，ACADAB；(2)(1)中的结论成立，理由如下：如解图，以C为顶点，AC为一边作ACE60，ACE的另一边交AB的延长线于点E，BACBAD12060，AEC为等边三角形，ACAECE，DB180，DAB120，DCB60，DC
7、AACB60，又BCEACB60，DCABCE，DACBEC(ASA)，ADBE，AEABBEABAD，ACADAB；图图第2题解图(3)ADABAC.理由如下：如解图，过点C作CEAC交AB的延长线于点E，DABC180，DAB90，BCD90，ACE90，DCABCE.又AC平分DAB，CAB45，E45，ACCE.又DB180，DCBE，CDACBE(AAS)ADBE，ADABAE.在RtACE中，CAB45，AEAC，ADABAC.3. 解：(1)BC、CD、AC三者之间的关系为：BCCDAC.证明：如解图，延长CB至点E，使BEDC，连接AE.第3题解图ABDACD45，12，ABE
8、1ACB，ADCADB2，又ACBADB45，ABEADC，ABDADB45，ADAB，BAD90ADCABE(SAS)，BAEDAC，AEAC，EAC90，ECAC，BCCDAC；(2)BCCD2cosAC.【解法提示】如解图，延长CB至点E，使BEDC，连接AE，过点A作AFCE，垂足为点F.第3题解图则可得BCCD2CF，在RtACF中，由cos得，CFACcos，即(BCCD)cosAC，BCCD2cosAC.4. 解：(1)ABDBCECAF.证明：如解图，第4题解图ABC为正三角形，CABABCBCA60，ABBC.ABDABC2，BCEACB3，而23，ABDBCE.又12，AB
9、DBCE(ASA)；(2)DEF是正三角形理由如下：ABDBCECAF，ADBBECCFA，FDEDEFEFD，DEF是正三角形；(3)如解图，作AGBD，交BD延长线于点G，第4题解图由DEF是正三角形得到ADG60，(或者ADG1ABD2ABD60.)在RtADG中，DGb，AGb.在RtABG中，c2(ab)2(b)2，c2a2abb2.5. 解：(1)12；【解法提示】如解图，过点D分别作DGAC于点G，作DHBC于点H.ABC为等边三角形，AB60，AB6，AD2，BD4，在RtADG和RtBDH中，DGADsin602，DHBDsin6042，DEBC，EDFA60，AMDEDFDNB60，ADM和BDN均为等边三角形S1S224212.第5题解图 (2)如解图，过点D分别作DGAC于点G，作DHBC于点H.第5题解图AEDF60，121BDF120，2BDF，又AB，ADMBND，即，AMBN8，在RtADG和RtBDH中，DGADsin6042，DHBDsin602，S1S2AM2BNAMBN812；(3)()如解图，与(2)同理可得，第5题解图AMBNADBDab，DGADsin，DHBDsin，S1S2AMDGBNDHabADBDsin2a2b2sin2；()S1S2a2b2sin2.