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1、名校精品资料数学西北地区中考数学试题（8套）分类解析汇编（6专题）专题5：综合问题1、 选择题1. （2012甘肃兰州4分）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为【 】Ax(x10)200 B2x2(x10)200 Cx(x10)200 D2x2(x10)200【答案】C。【考点】由实际问题抽象出一元二次方程（几何问题）。【分析】花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，长为(x10)米。 花圃的面积为200，可列方程为x(x10)200。故选C。2. （2012甘肃兰州4分）二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，若|ax2bxc
2、|k(k0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】Ak3 Bk3 Ck3 Dk3【答案】 D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】根据题意得：y|ax2bxc|的图象如右图，|ax2bxc|k(k0)有两个不相等的实数根，k3。故选D。3. （2012甘肃兰州4分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【 】 A B C D【答案】C。【考点】跨学科问题，函数的图象。【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐
3、渐增大，离开水面后y不变。因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选C。4. （2012甘肃白银3分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是【 】Am+3 Bm+6 C2m+3 D2m+6【答案】C。【考点】方程的应用（几何问题）。【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另
4、一边长： 设拼成的矩形一边长为x，则依题意得剩余部分为：（m+3）2m2=3x，解得，x=（6m+9）3=2m+3。故选C。5. （2012甘肃白银3分）如图，C为O直径AB上一动点，过点C的直线交O于D，E两点，且ACD=45，DFAB于点F，EGAB于点G，当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是【 】 ABCD【答案】 A。【考点】函数的图象。【分析】如图，根据题意知，当点C在AB上运动时，DE是一组平行线段，线段DE从左向右运动先变长，当线段DE过圆心时为最长，然后变短，有最大值，开口向下。观察四个选项，满足条件的是选项A。故选A。
5、6. （2012青海西宁3分）函数y的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】A B C D【答案】D。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。不等式的解集在数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。因此不等式在数轴上表示正确的是D。故选D。7. （2012青海西宁3分）如图，将矩形沿图中虚线(其中xy)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若y2，则x的值等
6、于【 】A3 B21 C1 D1【答案】C。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），图形的剪拼。【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为x，根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。y=2，2（x+2）=x2，整理得，x2-2x-4=0，解得x1=1，x2=1（舍去）。故选C。二、填空题1. （2012陕西省3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分A在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30，则线段AB扫过的面积为 B用科学计算器计算： （精确到0.01）【答案】；2.47。【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。【分析】A、画出示
7、意图，根据扇形的面积公式求解即可： 由题意可得，AM=MB=AB=2。线段AB扫过的面积为扇形MCB和扇形MAB的面积和，线段AB扫过的面积=。B、用计算器计算即可：。2. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为 【答案】。【考点】跨学科问题，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过点B作BDx轴于D，A（0，2），B（4，3），OA=2，BD=3，OD=4。根据入射角等于反射角的原理得：ACO=BCD。AOC=BDC=90，AOCBDC。OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，
8、设OC=x，则DC=4x，解得，即OC=。：BC=2：3，解得BC= 。AC+BC=，即这束光从点A到点B所经过的路径的长为。3. （2012青海省2分）观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 个【答案】3n+1。【考点】分类归纳（图形的变化类）。190187【分析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，第2个图形五角星的个数是：1+32=7，第3个图形五角星的个数是：1+33=10，第4个图形五角星的个数是：1+34=13，依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3n=3n+1。4.（2012西藏区3分）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1
9、个图形需要1 个小圆，第2 个图形需要3 个小圆，第3 个图形需要6 个小圆，第4 个图形需要10 个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要小圆 个。（用含n 的代数式表示）【答案】n（n+1）。【考点】分类归纳（图形的变化类）。119281【分析】过归纳与总结，得到其中的规律： 由题目得，第1个图形为1个小圆，即1（1+1），第2个图形为3个小圆，即即2（2+1），第3个图形为6个小圆，即3（3+1），第4个图形为10个小圆，即4（4+1），进一步发现规律：第n个图形的小圆的个数为即n（n+1）。三、解答题1. （2012陕西省10分）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的
10、顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由【答案】解：（1）等腰。 （2）抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点满足（b0）。 b=2。 （3）存在。 如图，作OCD与OAB关于原点O中心对称， 则四边形ABCD为平行四边形。 当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。 又AO=AB， OAB为等边三角形。
11、作AEOB，垂足为E， ，即， 。 设过点O、C、D三点的抛物线，则 ，解得，。 所求抛物线的表达式为。【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形。（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值。（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中
12、心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b表示出AE、OE的长，通过OAB这个等边三角形来列等量关系求出b的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式。2. （2012甘肃兰州10分）如图，定义：若双曲线 (k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线 (k0)的对径(1)求双曲线的对径(2)若双曲线 (k0)的对径是，求k的值(3)仿照上述定义，定义双曲线 (k0)的对径【答案】解：如图，过A点作ACx轴于C， （1）解方程组，得，A点坐标为(1，
13、1)，B点坐标为(1，1)。OCAC1，OAOC。AB2OA2，双曲线的对径是2。（2）双曲线的对径为，即AB，OA5。OAOCAC，OCAC5。点A坐标为(5，5)。把A(5，5)代入双曲线 (k0)得k5525，即k的值为25。（3）若双曲线 (k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线 (k0)的对径。3. （2012甘肃兰州10分）若x1、x2是关于一元二次方程ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1x2，x1x2把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A
14、(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB|x1x2|。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形(1)当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；(2)当ABC为等边三角形时，求b24ac的值【考点】抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析】（1）当ABC为直角三角形时，由于ACBC，所以ABC为等腰直角三角形，过C作CEAB于E，则AB2CE根据本题定理和结论，得到AB，根据顶点坐标公式，得到C
15、E，列出方程，解方程即可求出b24ac的值。（2）当ABC为等边三角形时，解直角ACE，得CEAB，据此列出方程，解方程即可求出b24ac的值。4. （2012宁夏区6分）计算： 【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，负整数指数幂。【分析】针对特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。5. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”， 此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销
16、售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：每天售出瓶数17181920频数1225根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明.【答案】解：（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元
17、）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为y=5x60 当5x600时，x12，当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本。（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为（25+302+352+405）10=35.5 。（3）小明说的有道理。理由如下：在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元.而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y=5x57 在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，总获利为28+332+387=360355 。小明说的有道理。
18、【考点】一次函数的应用。【分析】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围。（2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，从而得出总利润，比较即可得出答案。6. （2012新疆区12分）如图1，在直角坐标系中，已知AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）（1）请你以AC的中点为对称中心，画出AOC的中心对称图形ABC，此图与原图组
19、成的四边形OABC的形状是 ，请说明理由；（2）如图2，已知D（，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从ABC向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？【答案】解：（1）设AC的中点为E，连接OF并延长至B，使得BF=OF；连接AC，AB，则ABC为所求作的AOC的中心对称图形。A（2，0），C（0，2），OA=OC。ABC是AOC的中心对称图形，AB=OC，BC
20、=OA。OA=AB=BC=OC。四边形OABC是菱形，又AOC=900，四边形OABC是正方形。（2）设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，A（2，0），C（0，2），D（，0），解得。抛物线的解析式为：y=2x2+3x+2。由（1）知，四边形OABC为正方形，B（2，2）。直线BC的解析式为y=2。令y=2x2+3x+2=2，解得x1=0，x2=。点E的坐标为（，2）。（3）在点P的运动过程中，有三种情形使得AON为等腰三角形：当x= 2时，此时点P与点B重合，AON为等腰直角三角形；当x=62时，此时点P位于BC段上，AON为等腰三角形；当x=4时，此时点P与点B重合，A
21、ON为等腰直角三角形。【考点】二次函数综合题，中心对称图形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。119【分析】（1）按照中心对称图形的定义作图即可，易知四边形OABC为正方形。（2）已知A、C、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；由直线BC：y=2，代入抛物线解析式解方程求得点E的坐标。（3）在点P的运动过程中，AON为等腰三角形的情形有三种，充分利用正方形、等腰三角形的性质，容易求得点P运动的路程x：如图所示，AON1，此时点P与点B重合，点N1是正方形OABC对角线的交点，且AON1为等腰直角三角形。则此时点P运动路程为：x=AB=2。AON2，此时点P位于BC段
22、上。正方形OABC，OA=2，AC=2。AN2=OA=2，CN2=ACAN2=22。AN2=OA，AON2=AN2O。BCOA，AON2=CP2N2，又AN2O=CN2P2。CN2P2=CP2N2。CP2=CN2=22。此时点P运动的路程为：x=AB+BCCP2=2+2（22）=62。AON3此时点P到达终点C，P、C、N三点重合，AON3为等腰直角三角形，此时点P运动的路程为：x=AB+BC=2+2=4。综上所述，当x=2，x=62或x=4时，AON为等腰三角形。7. （2012青海省5分）计算：【答案】解：原式=。【考点】实数的运算，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂。【分
23、析】针对绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。8. （2012青海省12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABP
24、C的最大面积【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入y=x2+bx+c得，解得。二次函数的表达式为：y=x22x3。（2）存在点P，使四边形POPC为菱形。设P点坐标为（x，x22x3），PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC=PO。连接PP，则PECO于E。OE=EC=。x22x3=，解得（不合题意，舍去）。P点的坐标为（）。（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x22x3）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，则 ，解得。直线BC的解析式为y=x3。则Q点的坐标为（x，x3）。当时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最
25、大值为。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，翻折的性质，菱形的判定和性质，二次函数最值。190187【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值。 （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POPC为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标。（3）由于ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点
26、横坐标的绝对值为高即可求得BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标。9. （2012青海西宁12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，O在x轴的正半轴上，已知A(0，4)、C(5，0)作AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DECD交OA于点E(1)求点D的坐标；(2)求证：ADEBCD；(3)抛物线yx2x4经过点A、C，连接AC探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的
27、坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）OD平分AOC，AOD=DOC。 四边形AOCB是矩形，ABOC。AOD=DOC。AOD=ADO。OA=AD（等角对等边）。A点的坐标为(0，4)，D点的坐标为（4，4）。（2）证明：四边形AOCB是矩形，OAB=B=90，BC=OA。OA=AD，AD=BC。EDDC，EDC=90。ADE+BDC=90。BDC+BCD=90。ADE=BCD。在ADE和BCD中，DAE=B，AD=BC，ADE=BCD，ADEBCD（ASA）。（3）存在。二次函数的解析式为：yx2x4，点P是抛物线上的一动点，设P点坐标为（t，t 2t4 ）。设AC所在的直线的函数关系
28、式为y=kx+b，A（0，4）、C（5，0），解得。直线AC的解析式为y=x+4。PMy轴，M（t，t+4）。PM=。当t=时，PM有最大值为5。所求的P点坐标为（，3）。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）根据OD平分AOC，可得AOD=DOC，再由AOBC是矩形，得到AOD=ADO，根据等角对等边可得到OA=AD，从而求出D点坐标。（2）由四边形AOCB是矩形，得到OAB=B=90，BC=OA，从而证明出AD=BC，再根据角之间的等量关系ADE=BCD，于是可证明出ADEBCD。（3）设P点坐标为（t，t 2t4 ），设AC所在的直线的函数关系式为y=kx+b，根据A（0，4）、C（5，0），求出AC的解析式，进而用t表示出PM的长，利用二次函数的性质求出PM的最值，点P的坐标也可以求出。