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1、第 3 讲 机械能守恒定律第 3 讲 机械能守恒定律 一、重力做功与重力势能的关系 1重力做功的特点 (1)重力做功与路径无关，只与该物体始、末位置的高度差有关 (2)重力做功不引起物体机械能的变化 2重力势能 (1)表达式：Epmgh. (2)重力势能的特点 重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变 化与参考平面的选取无关 3重力做功与重力势能变化的关系 (1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大 (2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量即WG(Ep2Ep1)Ep. 自测 1 关于重力势能，下列说法中
2、正确的是( ) A物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定 B物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大 C一个物体的重力势能从5J 变化到3J，重力势能减少了 D重力势能的减少量等于重力对物体做的功 答案 D 二、弹性势能 1定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能 2弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增 加即WEp. 自测 2 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( ) A任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能 B任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变 C物体只要发生形变，就一定具有弹性势能 D弹簧的弹性势能
3、只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关 答案 AB 三、机械能守恒定律 1内容 ： 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保 持不变 2表达式：mgh1mvmgh2mv. 1 2 12 1 2 22 3条件 (1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力 (2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功 (3)系统内除重力或弹簧弹力做功外， 还有其他内力和外力做功， 但这些力做功的代数和为零 (4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化 自测 3 (多选)如图 1 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确
4、的是( ) 图 1 A甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒 B乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒 C丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系 统机械能守恒 D丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 答案 CD 自测 4 (多选)如图 2 所示， 在地面上以速度v0抛出质量为m的物体， 抛出后物体落到比地 面低h的海平面上 若以地面为零势能面， 而且不计空气阻力， 则下列说法中正确的是( ) 图 2 A重力对物体做的功为mgh B物体在海平面上的重力势能为mgh C物体在海平面上的动能为mvmgh
5、1 2 02 D物体在海平面上的机械能为mv 1 2 02 答案 AD 命题点一 机械能守恒的判断命题点一 机械能守恒的判断 1只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化如自由落体运动、抛体运动等 2只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化如在光滑水平面上运动的物体 碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒 3只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化如自由下落 的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械 能守恒 4除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功
6、的代数和为 零如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿固定斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大 小相等，在此运动过程中，物体机械能守恒 例 1 (多选)(2018苏州市期中)下列情形中物体或系统机械能守恒的是(空气阻力均不 计)( ) A抛出的篮球在空中运动 B物体沿粗糙斜面匀速下滑 C细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动 D系统只有重力或弹簧弹力做功的过程 答案 ACD 解析 空气阻力不计，故篮球在空中只受重力，机械能守恒，故 A 正确；物体沿粗糙斜面匀 速下滑时，摩擦阻力做负功，机械能不守恒，故 B 错误；细绳拴着小球在竖直平面内做圆周 运动，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故 C 正
7、确；系统只有重力或弹簧弹力 做功的过程，符合机械能守恒的条件，机械能一定守恒，故 D 正确 变式 1 一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如图 3 所示，一个质量为m的 物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物 块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( ) 图 3 A由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变 B由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变 C由A到C的过程中，物块m的机械能守恒 D由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒 答案 D 命题点二 单个物体的机械能守恒命题点二 单个物体的机械能守恒 1表达式 2一般
8、步骤 3选用技巧 在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能 面 例 2 (2018盐城市期中)如图 4 甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运行， 游客却不会掉落下来我们把这种情景抽象为如图乙所示的模型：高h的弧形轨道下端与半 径为R的竖直圆形轨道平滑相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端由静止滚下，小球进入 圆形轨道下端后沿圆形轨道运动不计一切阻力，重力加速度为g. 图 4 (1)求小球运动到圆形轨道最低点时的角速度； (2)求小球在圆形轨道上运动而不脱离时h的取值范围 答案 (1) (2)0hR或hR 2gh R 5 2 解析 (1)对小球从静
9、止到运动至圆形轨道最低点的运动过程，由机械能守恒可得：mgh mv2，所以v，则角速度 ； 1 2 2gh v R 2gh R (2)小球在圆形轨道上运动而不脱离，那么，小球运动的最高点高度H2R或 0HR； 当H2R时，设在最高点的速度为v，则由牛顿第二定律可得：mg；对小球从静止 mv2 R 到运动到最高点的过程，由机械能守恒可得：mg(h2R)mv2mgR，所以hR； 1 2 1 2 5 2 当 0HR时，设在最高点的速度为 0，对小球从静止到运动到最高点的过程，由动能定理 可得：mg(hH)0，所以hH，即 0hR； 故小球在圆形轨道上运动而不脱离，h的取值范围为 0hR或hR. 5
10、2 变式 2 (多选)(2018无锡市期中)物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代 表下落的距离，以水平地面为零势能面下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的 是( ) 答案 BD 解析 自由落体运动的速度vgt，则动能Ekmv2mg2t2，故Ek与t、v均成二次函数关 1 2 1 2 系，物体的重力势能 ：EpEEkEmv2Emg2t2，故Ep与t、v均成二次函数关系，开 1 2 1 2 口的方向均向下，故 A 错误，B 正确因为在整个运动的过程中，机械能守恒，所以EkEp C(常量)， 所以EpCEk，Ep与Ek成一次函数关系， 故 C 错误， 由动能定理，Ekmgh，
11、则EpC mgh，Ep与h成一次函数关系，D 正确 命题点三 连接体的机械能守恒命题点三 连接体的机械能守恒 1多个物体组成的系统机械能守恒的判断一般从能量转化的角度 ： 判断是否只有动能与重力 势能(或弹性势能)之间的相互转化，有无其它形式的能量参与或判断：有无摩擦、碰撞、 绳子绷紧等现象 2绳、杆相连物体的速度往往不同，要注意各物体间的速度关系 3“链条”“液柱”等不能看成质点的物体，可分析重心位置的变化，也可分段处理，明确 初末状态各部分的高度与速度 4列机械能守恒方程时，一般选用 EkEp或 EAEB的形式 例 3 (2018江苏单科14)如图 5 所示，钉子A、B相距 5l，处于同一
12、高度细线的一端 系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B.质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间 的线长为 3l.用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为 53.松手后， 小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零， 然后向下运动 忽略一切摩擦， 重力加速度为g，取 sin530.8，cos530.6.求： 图 5 (1)小球受到手的拉力大小F； (2)物块和小球的质量之比Mm； (3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T. 答案 (1)Mgmg (2)65 5 3 (3) 8mMg 5 mM( 48 55mg或 8 11Mg) 解析 (1)对小球受力
13、分析，如图所示，设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2 在水平方向：F1sin53F2cos53 在竖直方向：FmgF1cos53F2sin53 且F1Mg 由式解得FMgmg 5 3 (2)小球运动到与A、B相同高度过程中 由几何关系得小球上升高度h13lsin53 物块下降高度h22l 物块和小球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律 mgh1Mgh2 由式解得 M m 6 5 (3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点，设此时AC方向的加速度大小为a，物块受到的 拉力为T 对物块由牛顿第二定律得 MgTMa 根据牛顿第三定律，小球受AC的拉力 TT 对小球，在沿AC方向，由牛顿第二定律
14、得 Tmgcos53ma 解得T(结合式，也可得到Tmg或TMg) 8mMg 5 mM 48 55 8 11 变式 3 (多选)(2018沛县中学调研)如图 6 所示，质量相等的两个物块A和B用跨过滑轮 的轻绳相连，不计摩擦、滑轮质量和空气阻力，B物块套在光滑的竖直杆上，在B下落的过 程中，下列说法正确的是( ) 图 6 A物块B减少的机械能等于物块A增加的机械能 B物块B减少的重力势能等于物块A和B增加的动能之和 C绳拉力对A做的功等于B克服绳拉力做的功 D物块A和B的速度大小相等 答案 AC 解析 A、B两物块组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则A增加的机械能与B减 小的机械能相等
15、， 故 A 正确 因为系统机械能守恒， 则A、B系统重力势能的减小量等于物块A、B 增加的动能之和，故 B 错误绳子拉力对A做的功等于A的机械能增加量，B克服绳子拉力 做的功等于B机械能的减小量，因为机械能守恒，则绳拉力对A做的功等于B克服绳拉力做 的功，故 C 正确物块B速度在沿绳子方向的分速度等于A的速度，可知B的速度大于A的 速度，故 D 错误 命题点四 含弹簧类机械能守恒问题命题点四 含弹簧类机械能守恒问题 1由于弹簧发生形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重 力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒 2弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)
16、时，两端的物体具有相同的速度，弹性势 能最大 3如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一 端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放) 例 4 (多选)(2018南京市三模)如图 7 所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与可视为质 点的小滑块连接，把滑块放在光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平，将滑块从A点由静止 释放，经B点到达位于O点正下方的C点，当滑块运动到B点时弹簧与斜面垂直，运动到C 点时弹簧恰好处于原长， 已知OC的距离为L， 斜面倾角为30， 弹簧始终在弹性限度内， 重力加速度为g.则滑块由A运动到C的过程中( ) 图 7 A滑块的
17、加速度一直减小 B滑块经过B点时的速度一定最大 C滑块经过C点的速度大于 2gL D滑块的加速度大小等于 的位置一共有三处 g 2 答案 CD 变式 4 (多选)(2018南通市等七市三模)如图 8 所示，斜面体静置在水平面上，斜面底端 固定一挡板，轻弹簧一端连接在挡板上，弹簧原长时自由端在B点一小物块紧靠弹簧放置， 在外力作用下将弹簧压缩至A点物块由静止释放后，恰能沿粗糙斜面上滑至最高点C，然 后下滑，最终停在斜面上，斜面体始终保持静止则( ) 图 8 A物块最终会停在A、B之间的某位置 B物块上滑过程速度最大的位置与下滑过程速度最大的位置相同 C整个运动过程中产生的内能小于弹簧的最大弹性势
18、能 D物块从A上滑到C过程中，地面对斜面体的摩擦力先减小再增大，然后不变 答案 ACD 1.背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如 图 9 所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高 1.80m，体重 60kg，参加学校运动会 成功地越过了 1.90m 的横杆，该同学跳起时刻的动能可能是下列哪个值( ) 图 9 A500JB600JC800JD2000J 答案 C 2(多选)(2018南京市三模)抛出的铅球在空中的运动轨迹如图 10 所示，A、B为轨迹上等 高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计用v、E、Ek、P分别表示铅球的速率、机械能、 动能和重力
19、瞬时功率的大小，用t表示铅球在空中从A运动到B的时间，则下列图象中不正 确的是( ) 图 10 答案 ABC 3(多选)(2018南通等六市一调)如图 11 所示，一轻弹簧直立于水平面上，弹簧处于原长 时上端在O点，将一质量为M的物块甲轻放在弹簧上端，物块甲下降到A点时速度最大，下 降到最低点B时加速度大小为g，O、B间距为h.换用另一质量为m的物块乙， 从距O点高为h 的C点由静止释放，也刚好将弹簧压缩到B点不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，重 力加速度大小为g，则上述过程中( ) 图 11 A弹簧最大弹性势能为Mgh B乙的最大速度为 2gh C乙在B点加速度大小为 2g D乙运动到O点
20、下方 处速度最大 h 4 答案 AD 解析 对于物块甲的运动过程，根据机械能守恒定律可知，弹簧压缩到B点时的弹性势能等 于甲的重力势能的变化即Mgh，物块乙也刚好将弹簧压缩到B点，所以弹簧最大弹性势能为 Mgh，故 A 正确；当乙下落到O点时，根据动能定理：mghmv2，解得：v，此时开始 1 2 2gh 压缩弹簧，但弹簧弹力为零，所以物块将继续加速直到弹力等于重力时速度达到最大，所以 乙的最大速度大于，故 B 错误 ； 根据机械能守恒有Mghmg2h，则mM，在B点对M2gh 1 2 根据牛顿第二定律有：FMgMg，对m根据牛顿第二定律有：Fmgma，联立可得：a3g， 故 C 错误；设弹簧
21、劲度系数为k，在最低点有：kh2Mg4mg，即kmg，可得乙运动到O h 4 点下方 处速度最大，故 D 正确 h 4 4 (2018扬州中学 5 月模拟)如图 12 所示， 小球(可视为质点)从静止开始沿光滑曲面轨道AB 滑下，从B端水平飞出，撞击到一个与地面呈37的斜面上，撞击点为C.已知斜面上端 与曲面末端B相连，A、B间的高度差为h，B、C间的高度差为H，不计空气阻力，则h与H 的比值 为( ) h H 图 12 A. B. C. D. 3 4 4 3 9 4 4 9 答案 D 5(多选)(2018苏锡常镇二模)如图 13 所示，用铰链将三个质量均为m的小球A、B、C与 两根长为L的轻
22、杆相连，B、C置于水平地面上在轻杆竖直时，将A由静止释放，B、C在杆 的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动忽略一切摩擦，重力加速度为g. 则此过程中( ) 图 13 A球A的机械能一直减小 B球A落地的瞬时速度为 2gL C球B对地面的压力始终等于mg 3 2 D球B对地面的压力可小于mg 答案 BD 1(多选)下列运动的物体，机械能守恒的有( ) A物体沿斜面匀速下滑 B物体做自由落体运动 C跳伞运动员在空中匀速下降 D木块沿光滑曲面自由下滑 答案 BD 解析 物体沿斜面匀速下滑、跳伞运动员在空中匀速下降，都属于动能不变，重力势能减小 的情况，因此机械能不守恒，A、C 错误；物
23、体做自由落体运动，此时它只受重力作用，机械 能守恒，木块沿光滑曲面自由下滑时只有重力做功，故机械能守恒，所以 B、D 正确 2.(2018常熟市模拟)半径分别为r和R(r0， 解得H2R.故选 B. 4 (多选)(2018无锡市期中)如图 3 所示， 一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v0上滑， 沿斜面上升的最大高度为h.假设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0， 则下列说法中 正确的是( ) 图 3 A若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h B若把斜面弯成圆弧D，物体仍沿圆弧升高h C若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点 D若把斜面从C点以上部分弯
24、成与C相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h 答案 CD 解析 若把斜面CB部分截去， 物体冲过C点后做斜抛运动， 物体运动到最高点有水平分速度， 速度不为零，由机械能守恒可知，物体不能到达h高处，故 A 错误；若把斜面弯成圆弧D， 如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：到达h高处的速度应为零，而物体要到达 最高点，必须由合力充当向心力，速度不为零，故知物体不可能到达h高处，故 B 错误；若 把斜面AB变成曲面AEB，物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升 仍能到达B点，故 C 正确；若把斜面从C点以上部分弯成与C相切的圆弧状，若圆弧的圆心 位置低于h高度，则物
25、体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大 高度仍然为h，故 D 正确 5 (2018江苏百校 12 月大联考)一小球在空中从t0 时刻开始做自由落体运动， 如图 4 所 示以地面为参考平面，关于小球速率v、重力的瞬时功率P、小球的动能Ek和重力势能Ep 随时间t变化的图象正确的是( ) 图 4 答案 B 6(2018宿迁市上学期期末)如图 5 所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线 连接， 跨过固定在地面上、 半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍 当B位于地面上时，A 恰与圆柱轴心等高将A由静止释放，B上升的最大高度是( ) 图 5 A2RB.C.D. 5R 3
26、 4R 3 2R 3 答案 C 解析 设B球质量为m，A球刚落地时两球速度大小为v， 根据机械能守恒定律得 2mgRmgR (2mm)v2，得v2gR，B球继续上升的高度h ，B球上升的最大高度为hRR， 1 2 2 3 v2 2g R 3 4 3 故选 C. 7(多选)(2018淮安市、宿迁市等期中)如图 6 所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上， 竖直轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接初始时刻，C在外 力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止现撤去外力，物块C沿斜面向 下运动，当C运动到最低点时，B刚好离开地面已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹
27、 性限度内，则上述过程中( ) 图 6 AC的质量mC可能小于m BC的速度最大时，A的加速度为零 CC的速度最大时，弹簧弹性势能最小 DA、B、C组成的系统的机械能先变小后变大 答案 BC 解析 C的速度最大时，加速度为零，因A的加速度等于C的加速度，则此时A的加速度也 为零，选项 B 正确；设弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧压缩量为 x1，因当C运动到 mg k 最低点时，B刚好离开地面，此时弹簧伸长量为 x2，根据对称性可知，当A的加速度 mg k 为零时， 弹簧处于原长状态， 则此时弹簧弹性势能为零， 设斜面倾角为， 此时有mCgsin mg，则C的质量mC一定大于m，选项 A 错误，C
28、 正确；因只有重力和弹力做功，则A、B、C 及弹簧组成的系统的机械能守恒，因弹性势能先减小后增大，则A、B、C系统的机械能先变 大后变小，选项 D 错误 8 (多选)(2018南京市、 盐城市一模)如图 7 所示， 光滑细杆上套有两个质量均为m的小球， 两球之间用轻质弹簧相连，弹簧原长为L，用长为 2L的细线连接两球现将质量为M的物块 用光滑的钩子挂在细线上，从细线绷直开始释放，物块向下运动则物块( ) 图 7 A运动到最低点时，小球的动能为零 B速度最大时，弹簧的弹性势能最大 C速度最大时，杆对两球的支持力为(M2m)g D运动到最低点时，杆对两球的支持力小于(M2m)g 答案 AC 解析
29、物块从开始释放先做加速运动，后做减速运动直到速度为零即到达最低点，故 A 正确 ； 根据系统机械能守恒可知，物块M减小的重力势能转化为弹簧的弹性势能、物块和两小球的 动能， 当物块运动到最低点时， 即速度为零时， 弹簧的弹性势能最大， 故 B 错误 ； 速度最大时， 即此时系统所受合力为零，将两小球和物块看成系统，受重力(M2m)g和杆对两球的支持力 二力平衡，故 C 正确；运动到最低点时，物块具有向上的加速度，由整体法可知，杆对两球 的支持力大于(M2m)g，故 D 错误 9(2018扬州中学月考)如图 8 所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质 量为m的小球连接， 另一端与
30、套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接， 已知直杆两端固定， 与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角60，直杆上C点与两定滑轮均在同一 高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与 其他物体相碰 现将小物块从C点由静止释放， 当小物块沿杆下滑距离也为L时(图中D处)， 求： 图 8 (1)小球下降的最大距离； (2)小物块在D处的速度大小 答案 见解析 解析 (1)当拉物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何关系知，hL Lsin 60L(1)； 3 2 (2)设小物块下滑距离为L时的速度大小为v，此时小球的速度大小为v1，则v1vcos
31、对物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有： mgLsinmvmv2 1 2 12 1 2 解得v. 2 5 3gL 5 10(2018南京市三模)如图 9 所示，物块A、B、C的质量分别为 2m、2m、m，并均可视为 质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块A置于 地面，物块B与C、C到地面的距离均是L，现将三个物块由静止释放若C与地面、B与C 相碰后速度立即减为零，A距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为g.求： 图 9 (1)刚释放时A的加速度大小及轻绳对A的拉力大小； (2)物块A由最初位置上升的最大高度； (3)若改变A的质量使系统由静止释放后
32、物块C能落地且物块B与C不相碰， 则A的质量应满 足的条件 答案 见解析 解析 (1)设刚释放时A、B、C的加速度大小为a，绳子对A的拉力大小为F 由受力分析可知对于A有F2mg2ma 对于B、C整体有 3mgF3ma 联立解得a ，Fmg2.4mg g 5 12 5 (2)C下落L后落地，由v22ax可知此时的速度 v 2 5gL 由h得h0.2L v2 2g 则物块由最初位置上升的最大高度H2.2L (3)若改变A的质量使系统由静止释放后物块C能落地，则A的质量需满足mA3m 同时使得B与C不相碰，即C落地后B减速下降到地面时速度为 0，从释放到C落地的过程 中运用系统机械能守恒定律得 3
33、mgLmAgL (3mmA)v2 1 2 解得v 23mmAgL 3mmA 从C落地到B减速到速度为 0 的过程中运用机械能守恒定律得 2mgL (2mmA)v2mAgL 1 2 解得mAm6 即A的质量满足mmA3m，系统由静止释放后物块C能落地且物块B与C不相碰6 11(2019海安中学月考)如图 10 所示，长为L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端与 固定于水平地面上O点的铰链相连，初始时小球静止于地面上，边长为L、质量为M的正方 体左侧紧靠O点现在杆中点处施加一个方向始终垂直杆、大小不变的拉力，当杆转过 45时撤去此拉力，小球恰好能到达最高点，不计一切摩擦，重力加速度为g.求： 图
34、10 (1)拉力做的功W和拉力的大小F； (2)撤去拉力F时小球的动能Ek； (3)小球运动到最高点后向右倾倒，当杆与水平面夹角为时小球的速度大小v1(正方体和 小球未分开) 答案 (1)mgL (2)(1)mgL 8mg 2 2 (3) 2mgL1sin mMsin2 解析 (1)根据动能定理得WFmgL0，且有W F 4 L 2 解得力F所做的功为：WFmgL，拉力的大小F8mg (2)根据动能定理有：WFmgLsinEk0 解得：Ek(1)mgL 2 2 (3)当杆与水平面夹角为时，小球的速度为v1，正方体的速度为v2 v2v1sin 对轻杆、小球和正方体组成的系统，根据机械能守恒有： mg(LLsin)mvMv 1 2 12 1 2 22 联立解得：v1. 2mgL1sin mMsin2