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1、名校精品资料数学中考数学试题分项版解析汇编专题28：新定义和阅读理解型问题一、选择题1. （常德）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由MOx的度数与OM的长度m确定，有序数对（，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A（60，4）B（45，4）C（60，2 ）D（50，2 ）【答案】A【解析】2. （绍兴）天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的
2、砝码现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为【 】A10克 B15克 C20克 D25克故选A3.（贺州）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x0）的最小值是2”其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x0）的最小值是2模仿张华的推导，你求得式子（x0）的最小值是【 】A2 B1 C6 D10考点：1.阅读理解型问题；2.转换思想的应用.
3、二、填空题：1. (宜宾）规定：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx，sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号）cos（-60）=- ；sin75= ；sin2x=2sinxcosx；sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny【答案】【解析】考点：1.锐角三角函数的定义；2.特殊角的三角函数值2.（巴中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负
4、整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字请认真观察此图，写出（a-b）4的展开式，（a-b）4= a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4 【答案】a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4【解析】考点：1.规律型：数字的变化类；2.完全平方公式3. （衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段绕原点逆时针方向旋转，再将其延长至点，使得，得到线段；又将线段绕原点逆时针方向旋转，再将其延长
5、至点，使得，得到线段；如此下去，得到线段、。根据以上规律，请直接写出线段的长度为 。【答案】.【解析】.【考点】等腰直角三角形的性质.4.（绍兴）把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”现在我们在长为、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 三解答题：1. （宜宾）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N
6、，边界上的格点数记为L，例如图中ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L的值（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值【答案】（1）S=3，N=1，L=6；（2）100【解析】将N=82，L=38代入可得S=82+38-1=100考点：1.规律型：图形的变化类； 2. 二元一次方程组的应用2.（杭州）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2-（4k+1）x-k+1（k是实数）教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上学生思考后，黑板上出
7、现了一些结论教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：存在函数，其图象经过（1，0）点；函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；当x1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由最后简单写出解决问题时所用的数学方法【答案】真；假；理由见解析.【解析】试题分析：将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；当k0时，有最小值，最小值为负；当k0时，有最大值，最大值为正运用分类讨论思想考点：二次函数综合题.3.（温州）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的
8、“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB=90，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-aS四边形ADCB=SACD+SABC=b2+ab又S四边形ADCB=SADB+SDCB=c2+a（b-a）b2+ab=c2+a（b-a）a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB=90求证：a2+b2=c2【答案】证明见解析。【解析】考点：勾股定理的证明
9、4. （宁波）课本作业题中有这样一道题：把一张顶角为36的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）ABC中，B=30，AD和DE是ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设C=，试画出示意图，并求出所有可能的值；（3
10、）如图3，ABC中，AC=2，BC=3，C=2B，请画出ABC的三分线，并求出三分线的长.【答案】解：（1）如答图1作图：（2）如答图2、作ABCAD=AE时，2x+x=30+30，x=20当AD=DE时，30+30+2x+x=180，x=40（3）如答图3，CD、AE就是所求的三分线设B=a，则DCB=DCA=EAC=a，ADE=AED=2a，来源:此时AECBDC，ACDABC，（3）因为C=2B，作C的角平分线，则可得第一个等腰三角形而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长5.
11、（常州）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，. 解决下列问题：（1）= ,，= ；（2）若=2，则的取值范围是 ；若=1，则的取值范围是 ；（3）已知，满足方程组，求，的取值范围.【答案】（1）5，4；（2），；（3），.来源:【解析】考点：1. 新定义；2.一元一次不等式组的应用；3.整体思想的应用6. （长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（1，1），（0，0），（，），都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析
12、式；（2）函数y=3kx+s1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足2x12，|x1x2|=2，令t=b22b+，试求出t的取值范围【答案】（1）y=；（2）当k时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s1时，不存在“梦之点”；（3）t【解析】试题分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例（2）假设函数y=3kx+s1（
13、k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s1，整理，得（3k1）x=1s，当3k10，即k时，解得x=；当3k1=0，1s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；当3k1=0，1s0，即k=，s1时，x无解；综上所述，当k时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s1时，不存在“梦之点”；（3）二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，ax12+（b1）x1+1=0，ax22+（b1）x2+1=0，x1，x2
14、是一元二次方程ax2+（b1）x+1=0的两个不等实根，（2a+1）2+=，t【考点】二次函数综合题7. （2014巴中市，第 22题，6分）定义新运算：对于任意实数a，b都有ab=abab+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：24=2424+1=86+1=3，请根据上述知识解决问题：若3x的值大于5而小于9，求x的取值范围【答案】x【解析】试题分析：先根据运算ab=abab+1，化简3x，则可以得到关于x的不等式组，求解即可试题解析：3x=3x3x+1=2x2，根据题意得：，解得：x考点：解一元一次不等式组8. （2014自贡市，第 23题，12分）阅读理解：如图，在四边形ABC
15、D的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”解决问题：（1）如图，A=B=DEC=45，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；（3）如图，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处
16、，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系【答案】（1）点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点；理由见解析（2） 画图见解析（3）【解析】，ADEBCE，点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点（2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，考点：1、相似的判定与性质；2、直径所对的圆周角是直角；3、三角函数9.（吉林）图是电子屏幕的局部示意图，44网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图的程序移动（1）请在图中用圆规画出光点P经过的路径；（2）在图中，所画图形是轴对称图形
17、（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 （结果保留）【答案】（1）图形见解析（2）【解析】考点：旋转变换10. （嘉兴）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，AC，A70，B80求C，D的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2)，其中ABCADC，ABAD，此时她发现CBCD成立请你证明此结论；由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明；若不正确，请举出反例（3）已知：
18、在“等对角四边形ABCD中，DAB60，ABC=90，AB5，AD4求对角线AC的长【答案】解：（1）等对角四边形ABCD中，AC，B80，B80来源:来源:A70，（2）如答图1，连接BD，（3）如答图3，当ADCABC90时，延长AD,BC交于点F，ABC90，DAB60，AB=5，AE=10.EDC90，E30，.如答图4，当BCDDAB60时，过D点作DEAB于点E，DFBC于点F，DEAB，DAB60，AD4，.11.（绍兴）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称p，q为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是2，3（1）若一个函数的特
19、征数为2，1，求此函数图象的顶点坐标（2）探究下列问题：若一个函数的特征数为4，1，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数若一个函数的特征数为2，3，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为3，4？12. （台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定定义六个内角相等的六边形叫等角六边形（1）研究性质如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论来源:如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有ABDE，则其余两组正对边BC与EF，CD与
20、AF相等吗？证明你的结论如图3，等角六边形ABCDEF中如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论（2）探索判定三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120才能保证该六变形定是等角六边形？【答案】解：（1）结论：ABDE，BCEF，CDAF证明如下：如答图1，连接AD， 如答图2，连接AE、DB， ABDE，AB=DE，四边形ABDE是平行四边形AE=DB，EAB=BDEBAF=EDCFAE=CDB在AFE和DCB中，AFEDCBEF=BC，AF=DC结论：AB=DE，AF=DC，EF=BC证明如下：如
21、答图3，延长FE、CD相交于点P，延长EF、BA相交于点Q，延长DC、AB相交于点S， 六边形ABCDEF是等角六边形，BAF=AFE=120QAF=QFA=60来源:QAF是等边三角形Q=60，QA=QF=AFAB=ED，AF=DC，EF=BC（2）如答图4，连接BF， BCEF，CBF+EFB=180A+ABF+AFB=180，ABC+A+AFE=360同理：A+ABC+C=360AFE=C同理：A=D，ABC=E若只有1个内角等于120，不能保证该六边形一定是等角六边形反例：当A=120，ABC=150时，D=A=120，E=ABC=150有3个内角等于120，、中至少有两个为120来源
22、:数理化网若、都等于120，则六个内角都等于120；若、中有两个为120，根据+=360可得第三个也等于120，则六个内角都等于120综上所述：若有3个内角等于120，能保证该六边形一定是等角六边形【考点】1.新定义和探究型问题；2.四边形综合题；3.全等三角形的判定和性质；4.多边形内角与外角；5.平行四边形的判定和性质；6.相似三角形的判定与性质；7.分类思想的应用【分析】（1）通过验证容易得到猜想：三组正对边分别平行要证明两条线段平行，只需证明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，要证ABDE，只需连接AD，证明ADE=DAB即可，其它两组同理可得（2）要证BC=EF，CD=AF，只需连
23、接AE、BD，证明AFEDCB即可（3）由条件“三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O“及（1）中的结论可证到 ，将等角六边形ABCDEF补成等边三角形后，可以证到AB+AF=DE+DC，从而得到三组正对边分别相等（4）若只有1个内角为120或有2个内角为120，可以通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形；若有3个内角为120，可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形13.（凉山）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点第n行有n个点容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
24、如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+23+24=300得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+（n2）+（n1）+n，可以发现21+2+3+（n2）+（n1）+n=1+2+3+（n2）+（n1）+n+n+（n1）+（n2）+3+2+1把两个中括号中的第一项相加，第二项相加第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到来源:1+2+3+（n2）+（n1）+n=n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）下
25、列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）整理这个方程，得：n2+n600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、2n、，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理【答案】（1）600；（2）24【解析】n1=2
26、5，n2=24.n为正整数，n=24n的值是24考点：1.探索规律题（图形的变化类）；2. 阅读理解型问题；3.一元二次方程的应用.14.（黔西南）已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式计算例如：求点P（2，1）到直线y=x+1的距离解：因为直线y=x+1可变形为xy+1=0，其中k=1，b=1所以点P（2，1）到直线y=x+1的距离为根据以上材料，求：（1）点P（1，1）到直线y=3x2的距离，并说明点P与直线的位置关系；（2）点P（2，1）到直线y=2x1的距离；（3）已知直线y=x+1与y=x+3平行，求这两条直线的距离【答案】（1）0，点P在直线y=3x2上；（2）；（3）【解析】来源:试题分析：（1）根据条件的P的坐标和点到直线的距离公式可以直接求出结论.（2）直接将P点的坐标代入公式就可以求出结论.两平行线之间的距离为考点：1.阅读理解型问题；2.一次函数综合题；3.直线上点的坐标与方程的关系；4.平行线间的距离