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1、名校精品资料数学解直角三角形的应用一、填空题1如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为（ ）.【答案】2如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为（ ）米（精确到0.1）.（参考数据： ）【答案】82.03如图，从点C测得树的顶角为33，BC20米，则树高AB（ ）米（用计算器计算，结果精确到0.1米） 【答案】 4如图，一艘船向正北航行，在A处看到
2、灯塔S在船的北偏东30的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是（ ）海里（不作近似计算）。【答案】5如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30方向上，那么该船继续航行（ ）分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。【答案】156如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是（ ）米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60）【答案】7若等腰梯形ABCD的上、下底之和为2，并且两条
3、对角线所成的锐角为60，则等腰梯形ABCD的面积为（ ）。【答案】或8如图5，一水库迎水坡AB的坡度，则该坡的坡角=（ ）.【答案】30（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）A（）m B（）m C m D4m【答案】A9小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了Am B500m Cm D1000m【答案】A 10河堤横断面如图所示，堤高BC5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）A5米 B10米 C15米 D10米【答案】A二、解答题11 若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，
4、AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据：）【答案】12图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF16cm，求塔吊的高CH的长解：【答案】13目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度CD（精确到1米）【分析】（1）由于ACB45，A90，因此ABC是等腰直角三
5、角形，所以ACAB610；（2）根据矩形的对边相等可知：DEAC610米，在RtBDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可【答案】（1）由题意，ACAB610（米）；（2）DEAC610（米），在RtBDE中，tanBDE，故BEDEtan39 因为CDAE，所以CDABDEtan39610610tan39116（米）答：大楼的高度CD约为116米14如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45改为30. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留
6、出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由(说明：的计算结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73，2.24，2.45)【答案】（1）如图，作ADBC于点D RtABD中， AD=ABsin45=4在RtACD中，ACD=30AC=2AD=即新传送带AC的长度约为米 （2）结论：货物MNQP应挪走 解：在RtABD中，BD=ABcos45=4 在RtACD中，CD=AC cos30=CB=CDBD=2.1 PC=PBCB 42.1=1.92 货物MNQP应挪走 15如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m
7、，测得树顶A的仰角为33.求树的高度AB。（参考数据：sin330.54，cos330.84，tan330.65）【答案】16 光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45方向上，求建筑物C到公路AB的距离（已知）【答案】过C作CDAB于D点，由题意可知AB=5020=1000m，CAB=30，CBA=45，AD=CD/tan30，BC=CD/tan45，AD+BD= CD/tan30+ CD/tan45=1000，解得CD=500（）m366m17如
8、图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐求广告屏幕上端与下端之间的距离（1.732，结果精确到0.1m）【答案】解：设AB、CD的延长线相交于点ECBE=45 CEAE CE=BECE=26.65-1.65=25 BE=25 AE=AB+BE=30在RtADE中，DAE=30 DE=AEtan30 =30=10CD=CE-DE=25-1025-101.732=7.687.7(m) 答：广告屏幕上端与
9、下端之间的距离约为7.7m （注：不作答不扣分）A18.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37，大厦底部B的俯角为48求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】解：设CD = x在RtACD中，则，.在RtBCD中，tan48 = ，则，. ADBD = AB，解得：x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米 19如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由降为，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上。改善后滑滑板会加餐
10、长多少米？若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由。（参考数据：，以上结果均保留到小数点后两位）。【答案】20如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60求这幢教学楼的高度AB【答案】解：在RtAFG中，在RtACG中，又 即 （米）答：这幢教学楼的高度AB为米21 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东
11、75方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B市；（2）求这次台风影响B市的时间.【答案】(1) 作BHPQ于点H, 在RtBHP中,由条件知, PB = 320, BPQ = 30, 得 BH = 320sin30 = 160 16.97风筝A比风筝B离地面更高（2）在RtADC中，AC20，ACD60，DC20cos 6010 m在RtBEC中，BC24，BEC45，ECBC16.97 mECDC16.97106.97m即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m28 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BCAD，斜坡AB=40米，坡角BAD=
12、600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？【答案】解：作BGAD于G，作EFAD于F，RtABG中，BAD=600，AB=40， BG =ABsin600=20，AG = ABcos600=20同理在RtAEF中，EAD=450，AF=EF=BG=20，BE=FG=AF-AG=20()米. 29庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发如图，已知小山北坡的坡度，
13、山坡长为240米，南坡的坡角是45问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）【答案】过点A作ADBC于点D，在RtADC中，由得tanC=C=30AD=AC=240=120(米)在RtABD中，B=45ABAD120（米）120（24024）1201012（米/分钟）答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A30在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60
14、，且与A相距km的C处（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由【答案】解：（1）由题意，得BAC=90， 轮船航行的速度为km/时 (2)能 作BDl于D，CEl于E，设直线BC交l于F，则BD=ABcosBAD=20，CE=ACsinCAE=，AE=ACcosCAE=12BDl，CEl，BDF=CEF=90又BFD=CFE，BDFCEF，EF=8 AF=AE+EF=20AMAFAN，轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸31如图（十二），在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长为10米（AB10米），
15、坡角为2030（BAC2030）的斜坡通道改造成坡角为1230（BDC1230）的斜坡通道，使坡的起点从点处向左平移至点处，求改造后的斜坡通道BD的长。（结果精确到0.1米,参考数据:sin12300.21,sin20300.35,sin69300.94）【答案】由题意，BCABsin2030100.353.5（米）；在RtBDC中，sin1230，故BD16.7 答：履行后斜坡通道BD的长约为16.7米32据交管部门统计，高速公路超速行驶是引发交通事故的主要原因我县某校数学课外小组的几个同学想尝试用自己所学的知识检测车速，渝黔高速公路某路段的限速是：每小时80千米（即最高时速不超过80千米）
16、，如图，他们将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处这时，一辆轿车由綦江向重庆匀速直线驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒（注：3秒小时），并测得PAO59，BPO45试计算AB并判断此车是否超速？（精确到0.001）（参考数据：sin590.8572，cos590.5150，tan591.6643）【答案】设该轿车的速度为每小时v千米ABAOBO，BPO45BOPO0.1千米又AOOPtan590.11.6643ABAOBO0.11.66430.10.10.66430.06643即AB0.0066千米而3秒小时v0.06643120079.716千米/小时79.71680该轿车
17、没有超速33如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得AEP74，BEQ30；在点F处测得AFP60，BFQ60，EF1km（1）判断ABAE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）（参考数据：1.73，sin74，cos740.28，tan743.49，sin760.97，cos760.24）【答案】34为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60，树的
18、底部B点的俯角为30. 问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？9分【答案】在RtBDC中，BC=2，在RtABC中，AB=2BC=48所以离B点8米远的保护物在危险区内.35如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.【答案】解：过M作MNAC，此时MN最小，AN1500米36 2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.
19、如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37，底部C的俯角是60.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：）【答案】解：过A作ADCB，垂足为点D 在RtADC中，CD=36，CAD=60AD=20.76 在RtADB中，AD20.76，BAD=37BD=20.760.75=15.5715.6（米） 答：气球应至少再上升15.6米 37我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处
20、，且与AD垂直.已知装饰画的高度AD为0.66米，求： 装饰画与墙壁的夹角CAD的度数（精确到1）； 装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）.【答案】解： AD0.66，AECD0.33.在RtABE中， sinABE，ABE12. 4分CADDAB90，ABEDAB90，CADABE12.镜框与墙壁的夹角CAD的度数约为12. 解法一：在RtABE中，sinCAD，CDADsinCAD0.66sin120.14. 解法二：CADABE，ACDAEB90，ACDBEA. .CD0.14. 镜框顶部到墙壁的距离CD约是0.14米.38巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的
21、活动中，利用课外时间 测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图11)测得树顶A的仰角ACB=60，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角ADB=45若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM(结果保留两位小数，1.732)【答案】设AB=米，ACB=60，则BC=米，ADB=45，则BD=米，=，AM=米答：这棵树的高AM为12米。39某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道若点 E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sinBAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米求：(1) D的度数；(2)线段AE的长题25
22、图【答案】解：（1）四边形BCEF是矩形，BFE=CEF=90，CE=BF，BC=FE，BFA=CED=90，CE=BF，BF=3米，CE=3米，CD=6米，CED=90，D=30.（2）sinBAF=， ，BF=3米，AB=米，米，CD=6米，CED=90，D=30，米，AE=米.40路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路里面的中心线（D在中心线上），已知C点与D点之间的距离为12米，求灯柱BC的高（结果保留根号）【答案】解：设灯柱BC的长为h米，过点A作ADCD于点H，过B作BEAH于点E，
23、四边形BCHE为矩形，ABC120，ABE30，又BADBCD90，ADC60，在RtAEB中，AEABsin301，BEABcos30，CH，又CD12，DH12，在RtAHD中，tanADH，解得，h124（米），灯柱BC的高为（124）米41.（2010湖南郴州）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数） 【答案】解: 连结AC，与BD相交于点O四边形ABCD是菱形 ACBD,ADB=CDB,AC=2
24、AO 当ADC=时，ADC是等边三角形 AC=AD=AB=40 当ADC=时，ADO=AO=ADsinADO=40=20AC=40 因此增加的高度为4040=400.73229（cm）(说明：当ADC=时，求AC的长可在直角三角形用勾股定理)42.如图，一艘舰艇在海面下500米A点处测得俯角为30前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）【答案】解法一：作CFAB于F，则，海底黑匣子C点距离海面的深度解法二：作CFAB于F，海底黑匣子C点距离海面的深度43.如图，
25、某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45已知山坡AB的坡度i1:，AB10米，AE15米，求这块宣传牌CD的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米参考数据：1.414，1.732）【答案】解：作BFDE与点F，BGAE于点G在RtADE中tanADE=,DE=AE tanADE=15山坡AB的坡度i=1：，AB=10BG=5，AG=，EF=BG=5，BF=AG+AE=+15CBF=450CF=BF=+15CD=CF+EFDE=201020101.732=2.682.7
26、答：这块宣传牌CD的高度为2.7米44.如图5，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）【答案】解：延长CD交AB于G，则CG=12（千米）依题意：PC=30010=3000（米）=3（千米）在RtPCD中：PC=3，P=60CD=PCtanP=3tan60=12-CD=12-6.8（千米）答：这座山的高约为6.8千米.45.如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD50米，某
27、人在河岸MN的A处测的DAN35，然后沿河岸走了120米到达B处，测的CBN70，求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin350.57，cos350.82，tan350.70Sin700.94，cos700.34，tan702.75）【答案】解：过点作，则因为，所以，所以，所以因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以在直角三角形中，因为，所以66所以河流的宽度CE为66米46.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60方向，请你在
28、主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.【答案】解：过M作MNAC，此时MN最小，AN1500米47水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固。原大坝的横断面是梯形ABCD，如图（9）所示，已知迎水面AB的长为10米，B60，背水面DC的长度为10米，加固后大坝的横断面为梯形ABED。若CE的长为5米。（1）已知需加固的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE的坡度。（计算结果保留根号）【答案】解：（1）分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图（1）所示在RtABF中，AB10米，B60。所以sinB DG5所以S需
29、要填方：100（立方米）（2）在直角三角形DGC中 ，DC10，所以GC所以GEGCCE20所以坡度i答：（1）需要土石方1250立方米。（2）背水坡坡度为48.如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30，测得旗杆底部C的俯角为60，已知点A距地面的高AD为12m求旗杆的高度【答案】49.热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45，看这栋高楼底部的俯角为60，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）【答案】解：过点A作BC的垂线，垂足为D点 由题意知：CAD = 45, BAD = 60, AD = 60m 在RtAC
30、D中，CAD = 45, ADBC CD = AD = 60 在RtABD中， BD = ADtanBAD= 60 BC = CD+BD= 60+60 163.9 (m) 答：这栋高楼约有163.9m 50.在一次测量活动中，同学们要测量某公园湖的码头 A与它正东方向的亭子B之间的距离，如图，他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P，在点P处测得码头A位于点P北偏西30方向，亭子B位于点P北偏东43方向；又测得点P与码头A之间的距离为200米。请你运用以上测得的数据求出码头A与亭子B之间的距离。（结果精确到1米，参考数据：）【答案】解：过点P作PHAB，垂足为H，则APH=30，BPH=43。 在RtAPH中，AH=100，PH=AP 在RtPBH中，答：码头A与亭子B之间的距离约为262米。