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1、第1课时 对数,一、对数的概念 1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,依次类推,那么1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数N是多少? 提示:N=2x. (2)上述问题中,若已知分裂后得到的细胞的个数分别为8个,16个,则分裂的次数分别是多少? 提示:3次,4次. (3)上述问题中,如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗? 提示:能,x=log2N. 2.填空: 一般地,如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.,一,二,三,四,一,二,三,四,3.在对数式x=logaN中,底数a和真数N的取
2、值范围是什么,为什么? 提示:由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a,所以a的取值范围为a0,且a1;由于在指数式中ax=N,而ax0,所以N0. 4.判断正误: (1)因为(-2)2=4,所以log-24=2. ( ) (2)log34与log43表示的含义相同. ( ) 答案:(1) (2),一,二,三,四,答案:(1)B (2)D (3)C,一,二,三,四,二、常用对数与自然对数 1.10b=a用对数式如何表示? 提示:b=log10a,简记为b=lg a. 2.在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗? 提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数
3、的. 3.ln M=n用指数式如何表示? 提示:en=M. 4.填空: 常用对数:以10为底数,记作lg N. 自然对数:以e为底数,记作ln N,其中e=2.718 28.,5.做一做: (1)lg 105= ;(2)ln e= . 答案:(1)5 (2)1,一,二,三,四,三、对数式与指数式的互化 1.在指数式和对数式中都含有a,x,N这三个量,那么这三个量在两个式子中各有什么异同点? 提示:幂底数a对数底数;指数x对数;幂N真数. 2.53=125化为对数式是什么?log416=2化为指数式是什么?指数式与对数式具有怎样的关系? 提示:log5125=3,42=16. 当a0,且a1时,
4、ax=Nx=logaN. 3.(-3)2=9能否直接化为对数式log(-3)9=2? 提示:不能,因为只有符合a0,a1时,才有ax=Nx=logaN.,一,二,三,四,4.指数式ab=N和对数式b=logaN(a0,a1)有何区别与联系? 提示:二者反映的本质是一样的,都是a,b,N之间的关系;但二者突出的重点不一样,指数式ab=N中突出的是指数幂N,而对数式b=logaN中突出的是对数b. 5.做一做: 完成下面的指数式与对数式的互化.,四、对数的基本性质 1.(1)“60=?”化成对数式呢? 提示:1 log61=0. (2)“51=?”化成对数式呢? 提示:5 log55=1. 2.填
5、空: 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)loga1=0(a0,a1). (3)logaa=1(a0,a1).,一,二,三,四,一,二,三,四,3.做一做: (2)若log3(log2x)=0,则x= . 解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2. 答案:(1)D (2)2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一对数式与指数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化:,分析:利用当a0,且a1时,logaN=bab=N进行互化.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.logaN=b与ab=N(a0,且a1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系
6、.如下图: 2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1将下列指数式与对数式互化:,(5)xz=y(x0,且x1,y0).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究二利用对数式与指数式的关系求值 例2求下列各式中x的值: (1)4x=53x; (2)log7(x+2)=2;,分析:利用指数式与对数式之间的关系求解.,(2)log7(x+2)=2,x+2=72=49,x=47. (3)ln e2=x,
7、ex=e2,x=2.,(5)lg 0.01=x,10x=0.01=10-2,x=-2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a0,且a1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2求下列各式中的x值:,(2)log216=x,2x=16,2x=24,x=4. (3)logx27=3,x3=27,即x3=33,x=3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究三利用对数的基本性质与对数恒等式求值 例3 求下列各式中x的
8、值: (1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1;,分析:利用logaa=1,loga1=0(a0,且a1)及对数恒等式求值. 解:(1)ln(log2x)=0,log2x=1,x=21=2. (2)log2(lg x)=1,lg x=2,x=102=100.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a0,a1);(3)logaa=1(a0,a1)进行对数的化简与求值. 2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式 =N(a0,且a1,
9、N0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3求下列各式中x的值:,解:(1)ln(lg x)=1,lg x=e,x=10e. (2)log2(log5x)=0,log5x=1,x=5.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,因忽视底数的取值范围而致错 典例 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值. 错解由对数的性质可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3. 以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范? 提示:上述解法的错误在于忘记检验底数需大于0且不
10、等于1.,解得x=1.故实数x的值为1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,防范措施 1.在对数表达式x=logaN中,需满足底数a0,且a1,真数N0. 2.在利用对数式的性质求出a的值后,务必验证底数和真数是否满足对数式的意义.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练已知log2(logx4)=1,求x的值. 解:由底数的对数等于1,得logx4=2,x2=4. 又x0,x=2.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.将log5b=2化为指数式是( ) A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5 答案:C,答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:-3,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= . 解析:因为loga2=m,loga3=n, 所以am=2,an=3. 所以a2m+n=a2man=(am)2an=223=12. 答案:12,6.求下列各式中x的值:,(3)由log3(lg x)=1,得lg x=3, 故x=103=1 000.,