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1、8.4 空间几何体的表面积与体积,大一轮复习讲义,第八章 立体几何,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,考查简单几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,3. 叫做正棱台，其侧面积公式是 ； 台体的体积公式是_.,2. ，则该棱锥为正棱锥.正棱锥的侧面积公式是 ；锥体的体积公式为_.,知识梳理,1. 叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是 ，_叫做正棱柱.柱体的体积公式是
2、 .,ZHISHISHULI,侧棱和底面垂直的棱柱,S直棱柱侧ch,底面为正多边形的直棱柱,V柱体Sh,如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分,4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；圆柱的侧面积公式是 ，圆锥的侧面积公式为 ，圆台的侧面积公式为 . 5.若球的半径为R，则球的体积V ，球的表面积S .,矩形,扇形,扇环,S圆柱侧cl2rl,4R2,1.如何求旋转体的表面积？ 提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和. 2.如何求不规则几何体的体积？ 提示 求不规则几
3、何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.,【概念方法微思考】,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积.( ),基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R a.( ),(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P54T2把3个半径为R
4、的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为_.,解析 设圆柱的高为h，,4R,h4R.,54,1,2,3,4,5,6,所以侧面积为33654(cm2).,3.P49T1已知正三棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长为3 cm，则这个正三棱柱的侧面积是_ cm2.,1,2,3,4,5,6,270,12,1,2,3,4,5,6,5.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.,解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2 即为球的直径， 所以球的表面积为4R2(2R)212.,题组三 易错自纠,6.已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为_.,解析 设
5、圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 求空间几何体的表面积,自主演练,1.(2018全国改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为_.,12,解析 设圆柱的轴截面的边长为x，,2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4，则其侧棱长为_.,解析 依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径. 设侧棱长为a，外接球的半径为r. 由外接球的表面积为4，得r1，,3.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1
6、cm,2 cm，高是1 cm，则它的侧面积为_ cm2.,解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm，下底长为2 cm，高为正六棱台的斜高.,求空间几何体表面积的注意点 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,例1 (1) (2018宿迁模拟)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_.,题型二 求空间几何体的体积,师生共研,解析 三棱锥PABA1的体积等于三棱锥BAPA1的体积，,(2)(2018南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1
7、B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点.当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为_.,解析 几何体展开图如图所示：ABDACC1，,AB1，BC2，BB13， AC3，CC13，BD1，,空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.,跟踪训练1 (1)(2018江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是_.,
8、解析 由展开图，可知该多面体是正四棱锥， 底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，,(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_.,解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，,多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC 2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC,(3)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_.,1,解析 如题图， 因为ABC是正三角形， 且D为BC中点，则ADBC. 又因为
9、BB1平面ABC，AD平面ABC， 故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1， 所以AD平面BCC1B1， 所以AD是三棱锥AB1DC1的高.,题型三 表面积和体积的综合问题,多维探究,解析 将直三棱柱ABCA1B1C1沿棱BB1展开成平面图形， 连结AC1到AC1与BB1的交点即满足AMMC1最小，,命题点1 侧面展开图的应用 例2 (1)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC ，AA13，M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_.,(2)(2018无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120且面积为3的扇形，则该圆锥的体
10、积等于_.,解析 设圆锥侧面母线长为l，底面半径为r，,命题点2 和球有关的表面积、体积问题,解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线， 则垂足为BC的中点M.,例3 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_.,1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？,解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径. 设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.,2.本例若将直三棱柱改为“棱长为a的正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面
11、积S2的比值为多少？,(1)侧面展开图体现的是一种转化思想.用于寻找两种情况下图形长度或角度间的关系. (2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径.,解析 连结AC，BD，易知AC平面BDD1B1，,所以AB6，,设球的半径为R，球心到等边ABC的外接圆圆心的距离为d，,所以三棱锥DABC高的最大值为246，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2 ，则该直四棱柱的侧面积为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
12、4,15,16,1,2.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，AD2 cm，AA11 cm，则三棱锥B1ABD1的体积为_ cm3.,解析 三棱锥B1ABD1的体积 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,4.(2018南京学情调研)已知圆柱M的底面半径为2，高为6，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆柱M和圆锥N的体积相等，则圆锥N的高为_.,由圆柱M与圆锥N的体积相等，,解析 设圆锥的底面半径为r，高为h，,且扇形的弧长等于底面圆的周长，,又圆锥的母线l
13、3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是_ cm.,解析 圆锥的高为4 cm，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5,8.将半径为5的圆分割成面积之比为123的三个扇形作为三个圆锥的侧面，若这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，
14、r3，则r1r2r3_.,解析 半径为5的圆的周长是10，由题意知2r12r22r310， 所以r1r2r35.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB4，AA16.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是_.,解析 过点C作CDAB于点D，在正三角形ABC中，AB4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,10.(2018苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_
15、.,解析 设圆柱的底面半径为r，高为h， 该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面. 由题意，得r2r22rh，得rh. 经检验，只有r3符合要求，此时在89的面上打孔.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD. (1)求证：CD平面ABD；,证明 AB平面BCD，CD平面BCD， ABCD. CDBD，ABBDB， AB平面ABD，BD平面ABD， CD平面ABD.,(2)若ABBDCD1，点M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积.,解 AB平面BCD，ABBD.,由(1)知，C
16、D平面ABD， 三棱锥CABM的高hCD1， 因此三棱锥AMBC的体积,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90. (1)求证：平面PAB平面PAD；,证明 由已知BAPCDP90， 得ABAP，CDPD. 由于ABCD，故ABPD. 又PDAPP，PD，AP平面PAD， 所以AB平面PAD. 又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1
17、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E. 由(1)知，AB平面PAD， 故ABAD，ABPE，ADABA，AD，AB平面ABCD， 所以PE平面ABCD.,由ABCD，ABCD，ABAD， 得四边形ABCD为矩形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,可得四棱锥PABCD的侧面积为,技能提升练,13.已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱锥OABC的体积为_.,所以当AOCBOC90时，SAO
18、CSBOC取得最大值， 此时OAOC，OBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB， 所以OC平面AOB，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5,14.有一根长为3 cm、底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕两圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁线的最短长度为_ cm.,解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)， 由题意知BC3 cm，AB4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置， 故线段AC的长度即为铁丝的最
19、短长度.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,144,15.已知A，B是球O的球面上两点，AOB150，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为18，则球O的表面积为_.,解析 如图，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大.设球O的半径为R，,故R6，则球O的表面积为S4R2462144.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB4，EB2 . (1)求证：DE平面ACD；,证明 四边形DCBE为平行四边形， CDBE，BCDE. DC平面ABC，BC平面ABC， DCBC，DCAC. AB是圆O的直径，BCAC，且DCBCC，DC，BC平面BCDE， AC平面BCDE，ACDE， ACDCC，AC，DC平面ACD，DE平面ACD.,(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.,解 由(1)可知BEAC，BEBC， 又BCACC，AC，BC平面ABC，BE平面ABC，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,