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1、第三章 圆锥曲线与方程,1 椭圆,1.1 椭圆及其标准方程,一,二,思考辨析,一、椭圆的定义 我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距. 特别提醒1.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆; 2.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段; 3.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.,一,二,思考辨析,【做一做1】 下列说法正确的是( ) A
2、.已知F1(-6,0),F2(6,0),到F1,F2两点的距离之和为12的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-6,0),F2(6,0),到F1,F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆 C.到点F1(-6,0),F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10,0)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到F1(-6,0),F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析:A,B,D三个选项中,都不满足椭圆定义中2a|F1F2|的条件,只有C选项满足,因此选C. 答案:C,一,二,思考辨析,二、椭圆的标准方程,一,二,思考辨析,名师点拨1.椭圆的标准方程中的“标准”指的是椭圆的中心必须在原点,且以两定点所
3、在直线为x轴(或y轴),两定点所连线段的垂直平分线为y轴(或x轴). 2.椭圆标准方程的形式:等号左边是“平方+平方”,右边是“1”. 3.焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大,焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大,因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑.”,一,二,思考辨析,A.4 B.5 C.7 D.8 解析:由已知得,a2=m-2,b2=10-m,又焦距为4, c=2,m-2-(10-m)=4,解得m=8. 答案:D,A.2 B.4 C.6 D.8 解析:由椭圆的标准方程可知,a2=25,a=5. 由椭圆的定义知|PF1
4、|+|PF2|=2a=10,又|PF1|=6,|PF2|=4. 答案:B,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆. ( ) (2)椭圆的焦点只能在坐标轴上. ( ),(4)两种椭圆方程中,有时ab0,有时ba0.( ),探究一,探究二,探究三,探究四,椭圆定义的应用 【例1】 已知B,C是两个定点,|BC|=6,且ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程. 思维点拨:选取线段BC的中点为坐标原点,建立适当的直角坐标系,由B,C为两定点,A为动点,研究|AB|+|AC|是否为定值,并比较与|B
5、C|的大小关系,从而判断点A的轨迹图形形状,进而得到轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,探究四,解:如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过点B,C,原点O与BC的中点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=106,即点A的轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10. c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟找出点A的轨迹满足|AB|+|AC|=106后,知A的轨迹是椭圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意的点(5,0),(-5,0).,
6、探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练1过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,F2是椭圆的另一个焦点,求ABF2的周长. 解:根据题意画出图形如图所示, A,B在椭圆4x2+y2=1上,a2=1, 2a=2. |AF1|+|AF2|=2a=2, |BF1|+|BF2|=2a=2. |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. ABF2的周长为4.,探究一,探究二,探究三,探究四,求椭圆的标准方程 【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的
7、距离的和等于10;,思维点拨:根据题意,先判断椭圆的焦点位置,再设出椭圆的标准方程,从而确定a,b的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,解:(1)椭圆的焦点在x轴上,c=4,2a=10, b2=a2-c2=9.,(2)椭圆的焦点在y轴上,探究一,探究二,探究三,探究四,(3)方法一,探究一,探究二,探究三,探究四,方法二 设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A0,B0,AB).,反思感悟待定系数法求椭圆的标准方程的思路: 首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,从而确定椭圆方程的类型;其次是“定量”,即利用条件确定方程中a,b的值.若不能确定焦点的位置,可分类设出方程或设两种标准方程的统一
8、形式.统一形式:mx2+ny2=1(m0,n0,mn)或 =1(m0,n0,mn).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,椭圆标准方程的应用,A.3 B.5 C.3或5 D.-3 思维点拨:椭圆的标准方程有两种,由于题目所给条件不能确定焦点所在坐标轴,因此需要分类讨论. 解析:当焦点在x轴上时, a2=4,b2=m,由2c=2得c=1, 4-m=1,m=3; 当焦点在y轴上时, a2=m,b2=4,由2c=2得c=1, m-4=1,m=5. 综上可知,m=3或m=5. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟已知椭圆方程求焦点坐标时,先确定所给方程是否为标
9、准方程,若不是,需化为标准方程,再根据椭圆的标准方程确定a,b,c的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,(2)求椭圆mx2+y2=m(m0)的焦点坐标.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,焦点三角形问题 【例4】 已知椭圆 (ab0)上一点P,F1,F2为椭圆的焦点,若F1PF2=,求PF1F2的面积.,思维点拨:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,两边平方可得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2.在PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=4c2,两式相减可求,探究一,探究二,探
10、究三,探究四,解:如图, 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a.而在PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos =|F1F2|2=4c2. (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-2|PF1|PF2|cos =4c2, 即4(a2-c2)=2|PF1|PF2|(1+cos ).,反思感悟与焦点三角形有关的计算或证明,应考虑用椭圆的定义及三角形中边与角的关系(应用余弦定理或正弦定理)来解决.,探究一,探究二,探究三,探究四,(2)求|PF1|PF2|的最大值.,解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n, 由题意知a2=100,b2=64,
11、 则c2=a2-b2=36,故a=10,c=6. 根据椭圆的定义,有m+n=20,即(m+n)2-3mn=144.,探究一,探究二,探究三,探究四,(2)a=10,根据椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=20,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立. |PF1|PF2|的最大值是100.,1 2 3 4 5,1.椭圆 上一点P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则PF1F2的形状为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析:由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2, 解得|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=4,故满足|PF2|2
12、+|F1F2|2=|PF1|2, PF1F2为直角三角形. 答案:A,1 2 3 4 5,2.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( ),解析:设出椭圆的方程,依据题目条件用待定系数法求参数. 由题意知椭圆焦点在x轴上,且2c=|F1F2|=2,答案:C,1 2 3 4 5,直线l与椭圆相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|= .,|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2,相加得|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4,|AF2|+|BF2|=4-|AF1|-|BF1|=4-|AB|. |AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,2|AB|=|AF2|+|BF2|,1 2 3 4 5,F1PF2=60,则F1PF2的面积为 .,解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,由4c2=m2+n2-2mncosF1PF2,1 2 3 4 5,5.在RtABC中,CAB=90,AB=2,AC= ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,求曲线E的方程.,解:如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系. 在RtABC中,