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1、3.2 双曲线的简单性质,知识拓展1.等轴双曲线: 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为x2-y2=a2. 等轴双曲线有两个非常明显的特征:(1)离心率e= ;(2)两条渐近线互相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是不是等轴双曲线的充要条件.,2.共轭双曲线: 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.,互为共轭的双曲线具有如下性质: (1)它们具有相同的渐近线; (2)它们的四个焦点共圆;,记忆方法:将 中的1改为0即为渐近线,1改为-1即为共轭双曲线.,【做一做1】 设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y= x,则该双曲线的离心率e等于( ),答
2、案:C,解析:由题意知a2=16, 即a=4,又e=2, 所以c=2a=8, 则m=c2-a2=48. 答案:48,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上. ( ) (2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同. ( ) (3)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,双曲线的简单性质 【例1】 求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图. 思维点拨:先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出
3、各有关量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是不是标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,再由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是 ( ),答案:(1)D (2)C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由双曲线的性质求双曲线方程,思维点拨:双曲线焦点不确定,可分情况讨论;也可由共渐近线的双曲线系方程求解,这样可避免讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三
4、,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)当所求双曲线的焦点在x轴上时,探究一,探究二,探究三,思维辨析,直线与双曲线的位置关系 【例3】 已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线: (1)有两个公共点? (2)有一个公共点? (3)没有公共点?,当4-k2=0,即k=2时,方程(*)无解; 当4-k20时,=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2), 当0,即-22时,方程(*)无解; 当=0,且4-k20时,不存在这样的k值. 综上所述,(1)当-2k2时,直线与双曲线有两个公共点;,探究一,探究二,探究三,
5、思维辨析,(2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值; (3)当k-2或k2时,直线与双曲线没有公共点. 反思感悟直线与双曲线的位置关系的判断思路: 利用方程组法解决直线与双曲线的公共点问题,要注意讨论转化以后的方程的二次项系数.即若二次项系数为0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,则进一步研究二次方程的根的判别式,得到直线与双曲线的公共点个数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点. (1)求线段AB的长; (2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,x1x2+(a
6、x1+1)(ax2+1)=0. 即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,经检验a=1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视二次项系数是否为零而致误 【典例】 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且仅有一个公共点,则k的值为 . 易错分析:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也只有一个交点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当1-k20,即k1时,上述方程为二次方程. 直线和双曲线有且仅有一个公共点,当k=1时,直线和双曲线的渐近线平行,此时有且仅有一个公共点.,纠错心得将直线与双曲线方程联立,当二次项系数为0时,所得直线与双曲线的
7、渐近线平行,此时交点个数为一个,当二次项系数不为0时,由=0,得此时直线与双曲线相切,交点个数为一个.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练直线l:ax-y-1=0与双曲线C:x2-2y2=1相交于P,Q两点. (1)当实数a为何值时,|PQ|=2 ; (2)是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.,解:(1)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),探究一,探究二,探究三,思维辨析,由弦长公式,得,与已知联立,得a2=1. 故所求的实数a=1. (2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则由OPOQ, 得x1
8、x2+y1y2=0,从而得a2=-2, 这与实数的性质矛盾,故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆过坐标原点.,1 2 3 4 5,1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于( ),解析:曲线mx2+y2=1是双曲线, m0,排除选项C,D.,满足题意,故选A.,答案:A,1 2 3 4 5,2.双曲线 (a0,b0)的两焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边三角形,若双曲线恰平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为( ),答案:A,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,答案:3,1 2 3 4 5,5.求双曲线9x2-y2=81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程.,