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1、2 空间向量的运算,第1课时 空间向量的加、减法及数乘运算,一,二,三,思考辨析,一、空间向量的加、减法,一,二,三,思考辨析,名师点拨空间向量的加、减法运算满足平行四边形法则和三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.,一,二,三,思考辨析,A.a+b+c B.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c,答案:C,一,二,三,思考辨析,二、空间向量的数乘,一,二,三,思考辨析,特别提醒1.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,如a等无法运算. 2.任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量a的模扩大(当|1时),也可以缩小(当|0时),也可以改变向量
2、a的方向(当0时). 3.当=0时,a=0;当0时,若a=0,则a=0.,一,二,三,思考辨析,【做一做2】 如图,已知在四面体A-BCD中,点G是CD的中点,答案:B,一,二,三,思考辨析,三、共线向量定理,一,二,三,思考辨析,特别提醒对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确把握: (1)在此充要条件中,要特别注意b0,若不加b0,则该充要性不一定成立.例如,若a0,b=0,则ab,但不存在,该充要性也就不成立了. (2)该充要条件包含两个命题: ab存在唯一的实数,使a=b; 存在唯一的实数,使a=bab. (3)向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据,但必须注意在向量a(
3、或b)上存在一点不在向量b(或a)上.,一,二,三,思考辨析,【做一做3】 已知O是平面内任意一点,是任意角,下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是( ),解析:因为sin2+cos2=1,故选B. 答案:B,一,二,三,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)不论取什么实数,a与a一定共线. ( ) (2)若a=0,则必有=0. ( ) (3)若a,b共线,则a与b所在直线平行. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,向量的加、减法运算 【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为向量 的有( ),A.1个
4、 B.2个 C.3个 D.4个,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断:,答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相反向量:灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算. 巧用平移:利用平行四边形法则和三角形法则进行向量的运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c,=b-a+c=-a+b+c,所以选C.,答案:C,探究一,探究二,探究三,思维
5、辨析,空间向量的数乘运算 【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟先用a,b,c分别表示各向量,再进行向量的代数运算,用空间向量的方法处理立体几何问题,使复杂的问题代数化.正确运用向量的运算律,在向量的运算中要注意向量的方向.对向量算式的化简或证明,要结合图形,充分利用图形的性质.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,探究一,
6、探究二,探究三,思维辨析,向量共线问题 【例3】如图,ABCD,ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,反思感悟判定两向量共线就是找实数x使a=xb(b0).要充分运用空间向量的运算法则并结合空间图形,化简得出a=xb(b0),从而得出ab.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知,A.2 B.3 C.-8 D.8,2e1+ke2=(e1-4e2)=e1-4e2, e1,e2是空间中两个不共线的向量,答案:C,探究一,探究二,探究
7、三,思维辨析,混淆平行向量与平行直线的概念致误,A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或重合,所以A,B,C,D四点共线,所以直线AD与BC重合. 故选C.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得注意辨析平行直线与平行向量:平行向量所在的直线既可以平行也可以重合;平行直线一定不重合.因此,两条平行直线的方向向量一定是平行向量,非零的平行向量所在的直线若不重合,则一定是平行直线.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知两个非零且不共线的向量e1,e2,若,A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D,答案:B,1 2 3 4 5,答案:B,1 2 3 4 5,2.下面给出了四个式子,其中值为0的有( ),A. B. C. D.,答案:C,1 2 3 4 5,线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D,A,B,D三点共线,故选A.,答案:A,1 2 3 4 5,答案:B,1 2 3 4 5,5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若,