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1、3.3 空间向量运算的坐标表示,一,二,三,思考辨析,一、向量加减法和数乘的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),即空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和. (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),即空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差. (3)a=(x1,y1,z1)(R),即实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积. (4)若b0,则aba=bx1=x2,y1=y2,z1=z2(R). (5)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z
2、2-z1),空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差.,一,二,三,思考辨析,名师点拨1.空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,只是由二维变成了三维,所以空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似. 2.理解共线向量定理的条件和结论,在用坐标表示时,要注意等价变形. 3.已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若b1,b2,b3都不为0,则ab,一,二,三,思考辨析,【做一做1】 已知向量a=(3,2,-1),b=(2,1,5),则a+b= ,a-b= ,2a-3b= . 解析:a+b=(3,2,-1)+(2,1,5)=(5,3,4), a-b=(3,2,-1)-(2,1
3、,5)=(1,1,-6), 2a-3b=2(3,2,-1)-3(2,1,5)=(6,4,-2)-(6,3,15)=(0,1,-17). 答案:(5,3,4) (1,1,-6) (0,1,-17) 【做一做2】 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),则使(ka+b)(a-3b)成立的k的值为 . 解析:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5), a-3b=(1+32,5-33,-1-35)=(7,-4,-16). (ka+b)(a-3b),一,二,三,思考辨析,二、数量积的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则ab=x1x2+y1y2+z1z2,空间两个向量
4、的数量积等于它们对应坐标的乘积之和. 【做一做3】 已知a=(-2,5,3),b=(-4,2,x),且ab=0,则x=( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.6 解析:ab=-2(-4)+52+3x=0x=-6. 答案:B,一,二,三,思考辨析,三、空间向量长度与夹角的坐标表示 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则,(3)abx1x2+y1y2+z1z2=0.,一,二,三,思考辨析,【做一做4】 若a=(1,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为 ,则等于( ),解析:因为ab=12+(-1)+22=6-,答案:C,一,二,三,思考辨析,判断下列说法是否正确
5、,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,(3)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量. ( ) (4)若a,b为空间向量,则(a+b)(a-b)=a2-b2. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,向量运算的坐标表示 【例1】 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,3a+2b,ab. 解:因为a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4), 所以a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4) =(2+0,-1+(-1),-2+4)=(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4) =(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6);
6、3a+2b=3(2,-1,-2)+2(0,-1,4) =(32,3(-1),3(-2)+(20,2(-1),24) =(6,-3,-6)+(0,-2,8)=(6,-5,2); ab=(2,-1,-2)(0,-1,4)=20+(-1)(-1)+(-2)4=0+1-8=-7.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟空间向量的坐标运算方法 1.在运算中注意相关公式的灵活运用,如(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)(a+b)=(a+b)2等; 2.进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算,如计算(2a)(-b),既可以利用运算律把它
7、化成-2(ab),也可以先求出2a,-b后,再求数量积.计算(a+b)(a-b),既可以先求出a+b,a-b后,再求数量积,也可以把(a+b)(a-b)写成a2-b2后计算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).,解:(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,空间向量的平行与垂直 【例2】设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值. (1)ab;(2)ab
8、.,解:(1)当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足ab. 当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足ab, x1. 当x0,且x1时,综上所述,当x=0或x=2时,ab.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)abab=0,(1,x,1-x)(1-x2,-3x,x+1)=01-x2-3x2+1-x2=0,反思感悟要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2已知向量a=(2
9、,4,5),b=(3,x,y),若ab,求x,y的值.,解:ab,a=b.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,空间向量长度与夹角的坐标表示 【例3】 在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解决下列问题: (1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值; (2)作O1DAC于点D,求点O1到点D的距离.,解:建立如图所示的空间直角坐标系.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1)由题意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟当题中的
10、几何体为正方体、长方体、直三棱柱等时,常选择建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算来解决有关长度、夹角、平行或垂直等问题;有时也可以不建系,利用基底来求解,但比较麻烦.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG= CD,H为C1G的中点,求解下列问题: (1)求证:EFB1C; (3)求FH的长.,解:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,D为坐标原点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误 【典例】 已知a=(5,3,-1
11、),b= ,若a与b的夹角为锐角,求实数t的取值范围. 易错分析:由a与b的夹角为锐角,得到ab0,但当ab0时,a与b的夹角不一定为锐角,还可能是共线同向,夹角为0,解题时容易忽视这个条件,导致扩大了参数的范围.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得空间向量a,b夹角为锐角的充要条件是“ab0,且a,b不同向”;a,b夹角为钝角的充要条件是“ab0,且a,b不反向”.如果在求解过程中,忽视两个向量共线的情况,就有可能扩大参数的取值范围,导致错误.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是 .,
12、解析:a与b的夹角为钝角,ab0, 3(-1)+(-2)(x-1)+(-3)10.,1 2 3 4,1.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),那么向量a-b+2c=( ) A.(0,1,2) B.(4,-5,5) C.(-4,8,-5) D.(2,-5,4) 解析:a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5). 答案:C,1 2 3 4,2.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值为 .,解析:因为ab,所以b=ka,即k(+1,0,2)=(6,2-1,2),所以,1 2 3 4,3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 . 解析:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,(ka+b)(2a-b)=0,即(k-1,k,2)(3,2,-2)=0,3k-3+2k-4=0,k= .,1 2 3 4,4.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.,1 2 3 4,向,建立空间直角坐标系C-xyz. (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).,