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1、第2课时 导数与函数的极值、最值,大一轮复习讲义,第三章 3.2 导数的应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,1,题型分类 深度剖析,PART ONE,题型一 用导数求解函数极值问题,多维探究,命题点1 根据函数图象判断极值 例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_.(填序号) 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)； 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2).,解析 由题图可
2、知，当x0； 当22时，f(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值， 在x2处取得极小值.,命题点2 求已知函数的极值 例2 设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.,令g(x)2ax2axa1，x(1，). 当a0时，g(x)1， 此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点. 当a0时，a28a(1a)a(9a8).,函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点.,设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，,所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增； 当x(x1，x2)时
3、，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增. 因此函数f(x)有两个极值点. 当a0，由g(1)10， 可得x10，f(x)0，函数f(x)单调递增；,当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减. 所以函数f(x)有一个极值点. 综上所述，当a0时，函数f(x)有一个极值点；,命题点3 根据极值(点)求参数,(，e,所以函数f(x)的定义域是(0，)，,因为x2是函数f(x)的唯一一个极值点， 所以x2是yf(x)的唯一变号零点.,当x(0,1)时，g(x)0， 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以g(x)ming(1)ek， 若g(x)在(
4、0，)上无变号零点， 则需要g(x)0在(0，)上恒成立， 所以g(x)min0，即ek0，即ke， 所以若x2是函数f(x)的唯一一个极值点， 则应需ke.,函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. 验证：求解后验证根的合理性.,跟踪训练1 已知函数f(x)ax1ln x(aR). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个
5、数；,解 f(x)的定义域为(0，).,当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减， f(x)在(0，)上没有极值点；,当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点， 当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.,(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围.,解 函数f(x)在x1处取得极值，,令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，,题型二 用导数求函数的最值,师生共研,当ke时，f(x)minek1.,(1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值
6、，一个为最小值； (2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.,跟踪训练2 已知常数a0，f(x)aln x2x.当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围.,所以当a0，x(0，)时，f(x)0， 即f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值；,所以当a0时，f(x)的最小值为,因为a0，所以ln(a)ln 20， 解得2a0， 所以实数a的取值范围是2,0).,题型三 函数极值、
7、最值的综合问题,师生共研,(1)求f(x)的单调区间；,令g(x)ax2(2ab)xbc， 因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0，所以当30，即f(x)0， 当x0时，g(x)0，即f(x)0， 所以f(x)的单调增区间是(3,0)， 单调减区间是(，3)，(0，).,(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.,解 由(1)知，x3是f(x)的极小值点，,解得a1，b5，c5，,因为f(x)的单调增区间是(3,0)， 单调减区间是(，3)，(0，)，,所以f(0)5为函数f(x)的极大值， 故
8、f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，,所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.,(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,跟踪训练3 (2018南通模拟)已知函数f(x)(xk1)ex(kR). (1)当x0时，求f(x)的单调区间和极值；,解 因为f(x)(xk)ex，x0. 当k0时，f(x)0恒成立， 所以f(x)的单调增区间是(0，)，无单调减区间，无极值. 当k0时，
9、由f(x)0，得xk； 由f(x)0，得0xk， 所以f(x)的单调减区间是(0，k)，单调增区间是(k，)， f(x)的极小值为f(k)ek，无极大值.,(2)若对于任意x1,2，都有f(x)4x成立，求k的取值范围.,解 由f(x)4x，可得(xk1)ex4x0，,因为x1,2，所以g(x)0，即g(x)在1,2上单调递增，,答题模板,DATIMUBAN,利用导数求函数的最值,例 (16分)已知函数f(x)ln xax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.,规范解答,综上可知，当a0时，函数f(x)的单调增区间为(0，)；,所以f(
10、x)的最小值是f(2)ln 22a. 8分,所以f(x)的最小值是f(1)a. 9分,又f(2)f(1)ln 2a， 10分,当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a. 13分 综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a； 当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 16分,答题模板 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较
11、，确定f(x)的最大值 与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.,2,课时作业,PART TWO,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)x24(x2)(x2)， f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减， 在(2，)上单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_.,2,解析 由题意得f(x)3x212，由f(x)0得x2， 当x(，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增， 当x(2,2)时，
12、f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.函数yxex的最小值是_.,解析 因为yxex，所以yexxex(1x)ex. 当x1时，y0； 当x1时，y0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令f(x)0，得x1. 令f(x)0，得0x1. f(x)在x1处取得极小值也是最小值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为 _.,解析 若函数f(x)x32cx2x有极值
13、点， 则f(x)3x24cx10有两个不等实根， 故(4c)2120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.,3,解析 y3x2273(x3)(x3)， 当00； 当x3时，y0. 故当x3时，该商品的年利润最大.,解析 f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa， 当aa或x0，函数f(x)单调递增， f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a). f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,1,2,3,
14、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范 围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,解析 由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018苏北四市检测)设直线ya与曲线y2x和yex分别交于点M，N，则当 线段MN的长度取得最小值时，a的值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得点M(a
15、2，a)，N(ln a，a)， 故MN的长度l|a2ln a|a2ln a(a0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018江苏)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)6x22ax2x(3xa)(x0). 当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增， 又f(0)1，f(x)在(0，)上无零点，不合题意.,此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，,1,2
16、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x1,1时，f(x)在1,0上单调递增，在(0,1上单调递减. 又f(1)0，f(1)4，f(0)1， f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求实数a，b的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令f(x)0，得1xe，,在(1，e上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；,1,
17、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以f(x)在1,1)上的最大值为2. 当1xe时，f(x)aln x， 当a0时，f(x)0； 当a0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值
18、为f(e)a. 故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a； 当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_.,20,解析 因为f(x)3x233(x1)(x1)， 令f(x)0，得x1，可知1,1为函数的极值点. 又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1， 所以在区间3,2上，f(x)max1，f(x)min19. 由题设知在区间3,2上，f(x)maxf(x)mint， 从而t
19、20，所以t的最小值是20.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(，ee，e1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因此a2，b1，g(x)exx22， 所以当x1,2时，g(x)ex2x0，g(x)exx22单调递增， 所以g(x)mine1，g(x)maxe22. 所以eme1或me.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知函数f(x)xln xmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的 取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8
20、,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)xln xmex(x0)，f(x)ln x1mex(x0)，,h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0， 当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增，,当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0； 若ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，,16.已知函数f(x)axln x，x(0，e的最小值是2，求正实数a的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上，正实数a的值为e.,