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1、9.5 圆与圆的位置关系及圆的应用,大一轮复习讲义,第九章 平面解析几何,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,考查圆与圆的位置关系的判断，两圆的公共弦和圆的实际应用问题，题型以填空题为主，有时可能出现解答题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,圆与圆的位置关系,ZHISHISHULI,dr1r2,|r1r2|dr1r2,d|r1r2|(r1r2),0d|r1r2|(r1r2),dr1r2,无解,一组实数解,两组不同的实数解,一组实数解,无解,1.两圆的公切线条数有几种情
2、况. 提示 有5种情况.内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条. 2.怎样得到两圆公共弦所在直线的方程？ 提示 当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.,【概念方法微思考】,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( ),基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,题组二 教材改编,1,2,3
3、,4,5,2.P115例1圆C1：x2y22x0，圆C2：x2y24y0，则两圆的位置关系是_.,相交,解析 圆C1：(x1)2y21， 圆C2：x2(y2)222，,所以两圆相交.,3.P116T2若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0相切，则实数m的值为_.,11或9,1,2,3,4,5,解析 圆C2：x2y26x8ym0即(x3)2(y4)225m，,由题意知，若两圆内切，则两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，,若两圆外切，则两圆的圆心距等于半径之和，,所以m9或11.,题组三 易错自纠,4.圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_.,得两圆公共弦所在的直线方程为
4、xy20.,1,2,3,4,5,2,1,2,3,4,5,从而两圆圆心O1(a，b)，O2(c，d)，原点三点共线，,1,2,3,4,因为O1：(xa)2(yb)2b21， O2：(xc)2(yd)2d21， 所以公共弦方程为(2c2a)x(2d2b)yc2a2，,5,即2ax2kaya28， 即2ax2bya28， 因为圆O1：(xa)2(yb)2b21可化为x2y22ax2bya21， 所以x2y29， 所以点P为圆x2y29上的点，且易知圆心O(0,0)，半径r3.,1,2,3,4,所以点P(x，y)到直线3x4y250的距离的最小值为2. 此时，点P(x，y)与直线3x4y250上任意一
5、点M之间的距离的最小值为2.,5,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 两圆位置关系的判定,师生共研,例1 (2018南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_.,3,解析 由题意，得圆N与圆M内切或内含， 即MNON1ON2， 又ON的最小值为OM1，,因此a的最小值为3.,判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长. (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|. (3)比较d，r1r2，
6、|r1r2|的大小，写出结论.,4,跟踪训练1 (1)圆x2y24x4y70与圆x2y24x10y130的公切线有_条.,解析 两圆的标准方程分别为(x2)2(y2)21，(x2)2(y5)216. 两圆圆心分别为(2,2)，(2，5).,则dr1r2，即两圆外离，因此它们有4条公切线.,(2)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是_.,相交,解析 圆M：x2(ya)2a2(a0)， 圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，,又圆N的圆心为N(1,1)，半径r21，,r1r2MNr1r2，两圆相交.,例2 已知圆C：x
7、2y210x10y0与圆M：x2y26x2y400相交于A，B两点. (1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；,题型二 两圆的公共弦问题,师生共研,解 直线AB的方程为x2y210x10y(x2y26x2y40)0， 即4x3y100.,(2)求AB的长.,解 由题意知，圆C的标准方程为(x5)2(y5)250，,当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程.,跟踪训练2 (1)圆C1：x2y22x80与圆C2：x2y22x4y40的公共弦长为_.,解析 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为xy10，,(2)已知圆C1：x2y26x60，圆
8、C2：x2y24y60，则公共弦所在直线的方程为_.,3x2y0,解析 圆C1：x2y26x60，,圆C2：x2y24y60，,圆C1与圆C2相交. 由圆C1：x2y26x60， 圆C2：x2y24y60， 得6x4y0，即3x2y0. 两圆公共弦所在直线的方程为3x2y0.,题型三 圆的应用,多维探究,命题点1 利用两圆位置关系求参数 例3 (1)如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，那么实数a的取值范围是_.,解析 圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.,(2)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21外
9、切，则ab的最大值为_.,解析 由圆C1与圆C2外切，,若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值.,命题点2 圆的实际应用 例4 (2018江苏如东高级中学期中)如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG50 m.在观测点正前方10 m处(即PD10 m)有一个高为10 m (即ED10 m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧.,(1)若圆形标志物半径为25 m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；,解 建系后
10、，圆C的方程为x2(y25)2252. 设直线PF的方程为yk(x50)(k0)，,解 以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系， 设直线PF的方程为yk(x50)(k0)，圆C的方程为x2(yr)2r2(r0).,解得r40或62.5(舍).故该圆形标志物的半径为40 m.,(1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1r2的关系. (2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决.,跟踪训练3 (2014江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划
11、要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO . (1)求新桥BC的长；,解 如图，过点B作BEOC于点E，过点A作AFBE于点F. ABC90，BEC90， ABFBCE， tanABFtanBCO . 设AF4x(m)，则BF3x(m)， AOEAFEOEF90， OEAF4x(m)，EFAO60(m)， BE(3x60)m. tanBCO ，,BE120 m，CE90 m. 综上所述，BC150 m
12、.,(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？,解 如图，设BC与M切于点Q，延长QM，CO交于点P， POMPQC90. PMOBCO.,A，O到M上任一点的距离不少于80 m，,解得10x35. 当且仅当x10时R取到最大值. 当OM10 m时，保护区面积最大， 综上所述，当OM10 m时，保护区面积最大.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,高考中与圆交汇问题的求解,与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将
13、问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.,一、与圆有关的最值问题,7,解析 A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，,二、直线与圆的综合问题 例2 (1)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB_.,6,解析 由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴， 圆心C(2,1)在直线xay10上， 2a10，a1，A(4，1). AC236440.又r2，AB240436. AB6.,(2)已知直线yax3与圆x2y22x80相交于
14、A，B两点，点P(x0，y0)在直线y2x上，且PAPB，则x0的取值范围为_.,(1,0)(0,2),解析 由条件得圆心C(1,0)，,由PAPB，CACB，得PCl，,三、圆与圆的位置关系问题 例3 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是_.,解析 由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,相交,1.圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的
15、位置关系为_.,又r12，r23，r2r11dr2r15， 两圆相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,2.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有_条.,解析 如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆. 由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1， 直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2， 所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.点P在圆C1：x2y28x4y110上，点Q在圆C2：x2y24x2
16、y10上，则PQ的最小值是_.,解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得 (x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24. 圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3； 圆C2的圆心坐标是(2，1)，半径是2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,解析 动直线l与圆O：x2y24相交于A，B两点，且满足AB2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别
17、是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为_.,解析 设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，,解析 由已知得点(x1，y1)在圆(x2)2y25上，点(x2，y2)在直线x2y40上， 故(x1x2)2(y1y2)2表示(x2)2y25上的点和直线x2y40上点的距离的平方，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.圆心M在曲线y218x上，圆M与y轴相切且与圆C：(x2)2(y3)21外切，则圆M的方程为_.,解析 设圆M：(xa)2(yb)2r2，,圆心C(2,3)，rc1，又圆M与圆C外切，则MCr
18、rc，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2y24引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为_.,解析 易知直线AB的方程是yx4， 设P(x1，x14)，则以OP为直径的圆的方程是 x(xx1)yy(x14)0， 与x2y24相减得直线CD的方程为x1x(x14)y4. 当x10时，易求得M点的坐标为(0,1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,
19、9,10,11,12,13,14,15,16,化简得x2y2xy0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，设PAPBx(x0)，APO，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当且仅当P为直线yx与圆在第二象限交点处取得.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
20、1,12,13,14,15,16,方法二 设P(x，y)，又M(2,0)，N(0，2)，,x22xy22y42(xy). 设x2cos ，y2sin ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4). (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；,解 圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6,7)，半径r5， 由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0).,解得b1，圆N的标准方程为(x6)2
21、(y1)21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；,解 kOA2，可设l的方程为y2xm，即2xym0.,直线l的方程为y2x5或y2x15.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又P，Q为圆M上的两点，PQ2r10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,圆O2的圆心在直线yx上，不妨设其圆心为(a，a)，,a0，a2(a4)216， 圆O2的方程为x2y216.,(2)若圆O2过点C(4,
22、0)，圆O1，O2相交于点M，N，且两圆在点M处的切线互相垂直，求直线MN的方程.,解 圆O2过点(0，4)，(4,0)， 圆O2的圆心所在的直线为yx， 不妨设圆心坐标为(m，m)，,m4，圆O2的方程为(x4)2(y4)280，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：x2y216，点M(1,0)，动点P，Q分别在圆C1和圆C2上，满足MPMQ，则线段PQ的取值范围是_.,由MPMQ，得x1x2y1y2x
23、1x212x1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,10,14.已知直线l：(m2)x(m1)y44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2y22x4y30的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是_.,解析 如图，设切点分别为A，B.连结AC，BC，MC，由AMBMACMBC90及MAMB知，四边形MACB为正方形，,若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，,即m28m200，2m10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,3,0,15.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，若
24、圆C：(xa)2(ya2)21上存在一点M满足MA2MO，则实数a的取值范围是_.,解析 由题意得圆C：(xa)2(ya2)21的圆心为(a，a2)，半径为1. 设点M的坐标为(x，y)，,整理得x2(y1)24，故点M的轨迹是以(0，1)为圆心，2为半径的圆. 由题意得圆C和点M的轨迹有公共点，,实数a的取值范围是3,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 易得圆C1：(xa)2y24的圆心为C1(a,0)，半径为r12； 圆C2：x2(yb)21的圆心为C2(0，b)，半径为r21. 由题意可得a2b29，,结合图形(图略)可知AP为圆a2b29的切线时斜率取得最值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,