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1、10.4 随机事件的概率,大一轮复习讲义,第十章 算法、统计与概率,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，试题为简单题，题型为填空题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验 中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)_为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的_会
2、在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个_称为随机事件A的概率，记作P(A).,ZHISHISHULI,频率,常数,2.事件的关系与运算,包含,BA,AB,并事件(或和事件),事件A发生,事件B发生,交事件(或积事件),互为对立事件,P(A)P(B)1,3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_. (2)必然事件的概率P(E)_. (3)不可能事件的概率P(F)_. (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)_. (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)_.,0P(A)1,1,0,P(A)P(B),1
3、P(B),【概念方法微思考】,1.随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？ 提示 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近. 2.随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？ 提示 当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件A，B对立时，一定互斥.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( ) (4)两互斥事件的概
4、率和为1.( ),1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编 2.P94练习T1下列事件是随机事件的有_.(填序号) 若a，b，c都是实数，则a (bc)(a b)c； 没有空气和水，人也可以生存下去； 掷一枚硬币，出现反面； 在标准大气压下，水的温度达到90 时沸腾. 解析 为必然事件， 为随机事件， 为不可能事件.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,3.P97练习T1某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是_.(填序号) 明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨； 明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨； 明天本地降雨的可能性是80
5、%； 以上说法均不正确. 解析 选项显然不正确，因为80%的概率是指降雨的概率，而不是指80%的区域降雨，更不是指有80%的时间降雨，是指降雨的可能性是80%.,7,1,2,3,4,5,6,4.P101例3同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件有_个. 解析 由题意知，事件A包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个.,6,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 5.从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，则下列事件中概率为1的是_.(填序号) 三个都
6、是正品； 三个都是次品； 三个中至少有一个是正品； 三个中至少有一个是次品. 解析 16个同类产品中，只有2个次品，从中抽取三件产品，则是随机事件，是不可能事件，是必然事件，是随机事件.又必然事件的概率为1，所以答案为.,7,6.从1,2,3,4,5中随机选取一个数a，从1,2,3中随机选取一个数b，则ba的概 率是_.,1,2,3,4,5,6,解析 基本事件的个数为5315，其中满足ba的有3种，,7,7.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_. 解析
7、 事件A抽到一等品，且P(A)0.65， 事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P1P(A)10.650.35.,1,2,3,4,5,6,7,0.35,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 事件关系的判断,自主演练,1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： 至少有1个白球与至少有1个黄球； 至少有1个黄球与都是黄球； 恰有1个白球与恰有1个黄球； 恰有1个白球与都是黄球. 其中互斥而不对立的事件共有_组.,1,解析 中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件； 中“至少有1个黄球”说明可以是1个
8、白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥； 中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件； 中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件.,解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.,至多有一张移动卡,3.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A“取出的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球中至少有一个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为
9、_. A与D为对立事件；B与C是互斥事件；C与E是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C).,解析 当取出的两个球中一黄一白时，B与C都发生，不正确； 当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，不正确； 显然A与D是对立事件，正确； CE为必然事件，P(CE)1，正确；,(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生. 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件
10、为对立事件，对立事件一定是互斥事件.,题型二 随机事件的频率与概率,师生共研,例1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：,解 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格 数据知，最高气温低于25的频率为
11、0.6，所以这种酸奶一天的需 求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.,以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；,(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.,解 当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y64504450900； 若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100， 所以Y的所有可能值为900
12、,300，100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频 率为 0.8.,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.,(1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值. (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.,解 (1)设日销售量为x枝，,跟踪训练1 某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量落入各组区间
13、的频率视为概率.,(1)求这30天中日销售量低于100枝的概率；,(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天做促销活动，求这2天恰好是在销售量低于50枝时的概率.,解 日销售量低于100枝的共有8天，从中任选2天做促销活动，共有28种情况； 日销售量低于50枝的共有3天，从中任选2天做促销活动，共有3种情况.,题型三 互斥、对立事件的概率,多维探究,命题点1 互斥事件的概率,解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”分别是A，B，C，D，,又总球数是12，所以绿球有12453(个).,所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有532(
14、个)， 所以黑球有124323(个). 因此取到黑球、黄球、绿球的概率分别是,命题点2 对立事件的概率 例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率；,解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件A1任取1球为红球，A2任取1球为黑球，A3任取1球为白球，A4任取1球为绿球，,根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 取出1球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2),方法二 (利用对立事件求概率) 由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球， 即
15、A1A2的对立事件为A3A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为,(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.,解 方法一 (利用互斥事件求概率) 取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3),方法二 (利用对立事件求概率)因为A1A2A3的对立事件为A4，,求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则
16、反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.,跟踪训练2 某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：,(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；,解 设A表示事件“赔付金额为3 000元”， B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得,由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.,解 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(
17、辆)， 而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，,由频率估计概率得P(C)0.24.,(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.,思想方法,SIXIANGFANGFA,用正难则反思想求对立事件的概率,若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解.,例 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.,已知这100位顾客中一次购物量超过8
18、件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；,解 由已知得25y1055，x3045， 所以x15，y20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为,解 记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得,3,课时作业,PART THREE,1.(2018南京调研)某单位要在4名员工(含甲、乙
19、两人)中随机选2名到某地出差， 则甲、乙两人中至少有一人被选中的概率是_.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 从4名员工中随机选2名的所有基本事件共有6个，而甲、乙都未被选中的事件只有1个，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都 有同学参加公益活动的概率为_.,解析 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有 2416(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
20、1,12,13,14,15,16,解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018苏北四市模拟)若随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数，则这两个数 恰好为一奇一偶的概率为_.,解析 从1,2,3,4,5五个数中选出两个数的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中一奇一偶的基本事件有6个，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.下列命题： 将一枚硬
21、币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件AB为必然事件. 其中的真命题是_.(填序号),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 对于，一枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故错； 对于，对立事件首先是互斥事件，故正确； 对于，互斥事件不一定是对立事件，如中的两个事件，故错； 对于，事件A，B为对立事件，则
22、在这一次试验中A，B一定有一个要发生，故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若 表示B的对立事件，则一次试验中，事件A 发生的概率 为_.,解析 掷一个骰子的试验有6种可能的结果.,解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393， 其频率为 0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知某运动员每次投篮命中的概率都
23、为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_.,0.25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不
24、等于0，且P(A)2a，P(B) 4a5，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1,2,3，若|ab|1，则称甲、乙 “心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_.,解析 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为339. 设甲、乙“心有灵犀”为事件A， 则A的对立事件B为“|ab|1”，即|ab|2包含2个基本事件，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
25、15,16,10.经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：,则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_.,0.74,解析 由表格可得至少有2人排队的概率P0.30.30.10.040.74.,11.A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：,试估计C班的学生人数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的
26、人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i1,2，5， 事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j1,2，8.,设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”， 由题意知， EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3 A5C1A5C2A5C3A5C4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因此P(E)P(A1C
27、1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3)P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2
28、)1张奖券的中奖概率；,解 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖. 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC. A，B，C两两互斥， P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.,解 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N， 则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些
29、成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个 成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不超过2个小组的概率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，,“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”， 其对立事件是“3个小组”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球. (1)求取出的两个球颜色相同的概率；,1,2,3,4
30、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个. 记事件A为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，,记事件C为“取出的两个球的颜色相同”，A，B互斥， 根据互斥事件的概率加法公式，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求取出的两个球颜色不相同的概率.,解
31、 记事件D为“取出的两个球的颜色不相同”， 则事件C，D对立，根据对立事件概率之间的关系，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的 概率是_.,解析 小明输入密码后两位的所有情况为(4，A)，(4，a)，(4，B)，(4，b)，(5，A)，(5，a)，(5，B)，(5，b)，(6，A)，(6，a)，(6，B)，(6，b)，共12种， 而能成功登陆的密码只有一种， 故小明输入一次密码能够成功登陆的概率
32、是 .,16.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.,(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所种作物的平均年收获量为,解 所种作物的总株数为1234515， 其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株， 列表如下：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至多为48 kg的概率.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至多为48 kg的概率为,