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1、9.1 直线的方程,大一轮复习讲义,第九章 平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴 时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的范围是 . 2.斜率公式 (1)若直线l的倾斜角90，则斜率k . (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k_.,知识梳理,ZHISHISHULI,向上方向,平行或重合,0，180),ta
2、n ,3.直线方程的五种形式,AxByC0 (A2B20),yy0k(xx0),ykxb,【概念方法微思考】,1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？,2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？,提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( ) (2)若直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜
3、角不一定相等.( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.( ),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P86T3若过点M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A.1 B.4 C.1或3 D.1或4,1,2,3,4,5,6,3.P100A组T9过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程 为 .,解析 当截距为0时，直线方程为3x2y0；,3x2y0或xy50,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围
4、是,1,2,3,4,5,6,5.如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.,6.过直线l：yx上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 .,x2y20或x2,1,2,3,4,5,6,解析 若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意； 若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；,1,2,3,4,5,6,综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.,2,题型分类 深度剖析,PART
5、TWO,题型一 直线的倾斜角与斜率,例1 (1)直线xsin y20的倾斜角的范围是,解析 设直线的倾斜角为，则有tan sin ，,师生共研,1.若将本例(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.,2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.,解 如图，直线PA的倾斜角为45， 直线PB的倾斜角为135， 由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180).,(1)倾斜角与斜率k的关系,(2)斜率的两种求法 定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率.,(3)倾斜角范围与直线斜率范围互求时
6、，要充分利用ytan 的单调性.,跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于,解析 平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，,(2)直线l经过点A(3，1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是 .,所以ktan 1.,题型二 求直线的方程,例2 求适合下列条件的直线方程： (1)求经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；,师生共研,当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，,故所求直线方程为2x5y0或x2y10.,又直线经过点A(1，3)，,即3x4y15
7、0.,(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且|AB|5.,解 过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.,求得B点坐标为(1，4)，此时|AB|5，即x1为所求. 设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，,即3x4y10. 综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.,在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.,跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程：,解 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.,即x3y40或x3y40.,(2)经过点P
8、(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；,解 设直线l在x，y轴上的截距均为a. 若a0，即l过(0，0)及(4，1)两点，,l的方程为xy50. 综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.,(3)直线过点(5，10)，到原点的距离为5.,解 当斜率不存在时，所求直线方程为x50； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y10k(x5)， 即kxy(105k)0.,故所求直线方程为3x4y250. 综上可知，所求直线方程为x50或3x4y250.,题型三 直线方程的综合应用,命题点1 与基本不等式相结合求最值问题,例3 已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点
9、，O为坐标原点，求当 取得最小值时直线l的方程.,多维探究,解 设A(a，0)，B(0，b)，则a0，b0，,当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.,命题点2 由直线方程解决参数问题 例4 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.,解 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，,与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2
10、)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.,所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，,跟踪训练3 过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点. (1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；,因为直线l经过点P(4，1)，,(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程.,当且仅当a6，b3时等号成立，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
11、,1.(2018浙江省东阳中学期中)下列四条直线中，倾斜角最大的是 A.yx1 B.y2x1 C.yx1 D.x1,解析 直线方程yx1的斜率为1，倾斜角为45， 直线方程y2x1的斜率为2，倾斜角为(6090)， 直线方程yx1的斜率为1，倾斜角为135， 直线方程x1的斜率不存在，倾斜角为90. 所以直线yx1的倾斜角最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.过点(2，1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小 的直线方程是 A.x2 B.y1 C.x1 D.y2,斜率不存在，过点(2，1)的直线方程为x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
12、,11,12,13,14,15,16,A.150 B.135 C.120 D.不存在,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,显然直线l的斜率存在， 设过点P(2，0)的直线l为yk(x2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故直线l的倾斜角为150.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018舟山调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0有可能是,解析 当a0，b0时，a0，b0.选项B符合.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
13、10,11,12,13,14,15,16,5.直线MN的斜率为2，其中点N(1，1)，点M在直线yx1上，则 A.M(5，7) B.M(4，5) C.M(2，1) D.M(2，3),解析 设M的坐标为(a，b)，若点M在直线yx1上， 则有ba1. ,联立可得a4，b5， 即M的坐标为(4，5).故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，,要使直线
14、l与线段MN相交， 当l的倾斜角小于90时，kkPN； 当l的倾斜角大于90时，kkPM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.不论实数m为何值，直线mxy2m10恒过定点 .,解析 直线mxy2m10可化为m(x2)(y1)0， mR，,(2，1),直线mxy2m10恒过定点(2，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.已知三角形的三个顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为 .,x1
15、3y50,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.经过点A(4，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 .,解析 当截距为0时，设直线方程为ykx，则4k2，,x3y100或x2y0,综上，直线l的一般式方程为x3y100或x2y0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y x上时，求直线AB的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
16、0,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知直线l：kxy12k0(kR). (1)证明：直线l过定点；,证明 直线l的方程可化为yk(x2)1， 故无论k取何值，直线l总过定点(2，1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；,解 直线l的方程可化为ykx2k1， 则直线l在y轴上的截距为2k1， 要使直线l不经过第四象限，,故k的取值范围是k0
17、.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.,在y轴上的截距为12k，且k0，,故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.过点A(3，1)且在两坐标轴上截距相等的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设
18、该直线的方程为xya， 把(3，1)代入所设的方程得a2， 则所求直线的方程为xy2，即xy20； 当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为ykx，,综上，所求直线的方程为xy20或x3y0，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.设点A(2，3)，B(3，2)，若直线axy20与线段AB没有交点，则a的取值范围是,解析 直线axy20恒过点M(0，2)，且斜率为a，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 动直线l0：axbyc30(a0，c0)恒过点P(1，m)， abmc30. 又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，,当且仅当c2a2时取等号.,