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1、第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 第一节二维随机变量 第二节边缘分布 第三节条件分布 第四节相互独立的随机变量 第五节两个随机变量函数的分布 第一节二维随机变量 第二节边缘分布 第三节条件分布 第四节相互独立的随机变量 第五节两个随机变量函数的分布 第一节二维随机变量第一节二维随机变量 一、 二维随机变量及其分布函数 二、 二维离散型随机变量的联合 分布律 三、 二维连续型随机变量的 一、 二维随机变量及其分布函数 二、 二维离散型随机变量的联合 分布律 三、 二维连续型随机变量的(联合联合) 概率密度概率密度 到现在为止，我们只讨论了一维随机 变量及其分布. 但有些随机现
2、象用一个随 机变量来描述还不够，而需要用几个随机 变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对(两 个坐标)来确定的. 到现在为止，我们只讨论了一维随机 变量及其分布. 但有些随机现象用一个随 机变量来描述还不够，而需要用几个随机 变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一对(两 个坐标)来确定的. vr, 飞机的重心在空中的状态是由三个坐 标、机头仰角、机翼侧角五个随机变量 来确定的等等. 飞机的重心在空中的状态是由三个坐 标、机头仰角、机翼侧角五个随机变量 来确定的等等. 个随机变量所构成的整体, 叫维随 机向量或 个随机变量所构成的整体, 叫维随 机向量或n维随机变量.维随机变量. nn
3、 一、 二维随机变量及其分布函数一、 二维随机变量及其分布函数 E设随机试验的样本空间为：设随机试验的样本空间为：eS = = )(),(eYeX 定义在S上的随机变量，由它们定义在S上的随机变量，由它们 1. 二维随机变量二维随机变量 构成一个随机向量构成一个随机向量 (X,Y), 叫二维随机叫二维随机 向量或向量或二维随机变量二维随机变量. 注：注：随机变量随机变量 (X，Y)的性质不仅与的性质不仅与X和和Y 有关，还与有关，还与X和和Y的相互关系有关的相互关系有关. 2. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 定义定义设二维随机变量设二维随机变量 (X，Y)，对任意 实数 ，对任
4、意 实数x、y, 二元函数：二元函数： ( , )F x y()()PXxYy=,P Xx Yy= = 称为称为(X, Y)的的(联合联合)概率 分布函数 概率 分布函数. (x, y) Y X 0 F xP Xx( )= 一维随机变量分布函数一维随机变量分布函数 3. 二维随机变量分布函数的性质二维随机变量分布函数的性质 F(+ , + )=1 (1)固定对单调不减，固定对单调不减， ),(,yxFyx 固定对单调不减固定对单调不减. ),(,yxFxy 0( , )1;F x y(2) F(, )= F(, y) = F(x, )= 0 (3) Y X0 (x1, y1) (x2, y2)
5、(x1, y2) (x2, y1) ( , )(0, )F x yF xy= =+ + ( , )( ,0)F x yF x y= =+ + ( , )F x y 即关于和 右连续；即关于和 右连续； xy (4) Px1 = = 其它其它 联合分布函数 联合分布函数( , );F x y 求常数 求常数;C (01,02).PXY 时时 xy dxx y dy = = ( , ) (34) 00 12 xy xy dxedy + = = F x y( , ) 34 (1)(1) xy ee = 其它情况其它情况( , )0F x y = = = = ( , )F x y 34 (1)(1),
6、0,0 xy eexy 其它其它0, (0,2) (1,0) 0 y x (1,2) (01,02)PXY (1,2)(1,0)(0,2)(0,0)FFFF=+=+ 38 (1)(1)ee = 12 (34) 00 12. xy edxdy + or 例3. 一机器制造直径为例3. 一机器制造直径为X X的圆轴，另一机器 制造内径为Y的轴衬，设(X, Y)的联合密度 为： 的圆轴，另一机器 制造内径为Y的轴衬，设(X, Y)的联合密度 为： = 其它 = 其它0 53. 051. 0;51. 049. 02500 ),( yx yxf 若轴衬的内径和轴的直径之差大于若轴衬的内径和轴的直径之差大于 0.004且小于且小于0.036, 则两者可以相适衬. 求任一轴与轴衬相适衬的概率. 则两者可以相适衬. 求任一轴与轴衬相适衬的概率. 解：设解：设A为任一轴与轴衬相适衬为任一轴与轴衬相适衬 P A= 1= 1P(X, Y) D = = + + + + 51. 0 506 . 0 004 . 0 51 . 0 494. 0 49 . 0 53. 0 036. 0 250025001 x x dydxdydx = 0.96 yx=0.036 yx=0.004 X Y 0 D