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1、二、方差的性质 三、契比雪夫 二、方差的性质 三、契比雪夫(Chebyshev)不等式 一、方差的定义 不等式 一、方差的定义 第二节方 差第二节方 差 一、方差一、方差 偏离程度偏离程度( () ) EXE X ()() 2 EXE X 1、定义定义 设为随机变量,若存在，设为随机变量,若存在，X()() 2 EXE X 则称为随机变量的方差. 则称为随机变量的方差. ()() 2 EXE X X 或或 ()D X().Var X 记为 即 记为 即 ( () )XE X ()() 2 EXE X = ()()D X( () )Var X= = 称为称为标准差标准差或或均方差均方差.( ()
2、 )( () ) XD X = = 注：注：刻画取值分散程度；刻画取值分散程度；()D XX 实质上是的期望实质上是的期望. ()D X ( () )( () ) 2 g XXE X = 2、离散型离散型随机变量方差随机变量方差 随机变量随机变量,X 1 2 kk P Xxpk, ,.?= = ()() 2 1 kk k xE Xp = = = = 3、连续型连续型随机变量的方差 随机变量 随机变量的方差 随机变量,X 概率密度函数为概率密度函数为( ( ) ),fx ( () )D X ( () )D X = =()( )()( ) 2 xE Xf x dx + + 4、方差的计算公式、方差
3、的计算公式 2 2 D XE XE X= （ ）（）（ ） （ ）（）（ ） ( () )D X ( () )( () )( () ) 2 2 2E XE X E XE X=+ （）=+ （） ()() 2 EXE X = ()()()() 2 2 2E XE X XE X =+=+ 2 2 E XE X= （）（ ） （）（ ） 例例 已知已知35(),(),E XD X= = =求求 2 2() .EX + + 解解()() 2 2EX + + ( () ) 2 44E XX= =+ ( () )()() 2 44E XE X= =+ ()()()() ()() 2 44D XE XE X
4、= =+ + 2 534 3430= =+ +=（）+ +=（） 2 2 D XE XE X= （ ）（）（ ） （ ）（）（ ） 二、方差的性质（均设方差存在）二、方差的性质（均设方差存在） 1、设若是常数,则、设若是常数,则;c( ( ) )0D c = = 2、 是常数,则、 是常数,则;( ()()() 2 D cXc D X= = c 3、 与 相互独立、 与 相互独立, 则则 (强调相互独立强调相互独立); XY( () )( () )( ( ) )D XYD XD Y+=+=+ 4、这里、这里, 即以概率即以概率1取常数取常数. ()()0D X = = 1P Xc= = =(
5、() )cE X= = Xc 证明证明( )( )D c( )( ) 2 EcE c = ( ( ) )0E= =0= = ( () )D cX()() 2 EcXE cX= = ()() 2 2 E cXE X = ( () ) 2 cD X= = ( () )D XY+ +()()()() 2 EXYE XY =+=+ 2 ( ) ( )EXE XYE Y=+=+ ()()( () )( )( )( () )()( )()( ) 22 2EXE XYE YXE XYE Y=+ =+ 由相互独立知由相互独立知, 与也相互独 立 与也相互独 立, 从而从而 ,X Y( () )XE X ( (
6、 ) )YE Y ( () )( ( ) )2EXE XYE Y ( () )( )( ) 2EXE XEYE Y = = ()()( () )( ( ) )( ( ) ) 2E XE XE YE Y = = 0= = ( () )D XY+ +( () )( ( ) ) D XD Y= =+ + 三、契比雪夫（三、契比雪夫（Chebyshev）不等式）不等式 随机变量随机变量, 数学期望数学期望, 方差方差 则则对有对有 X()E X = =( () ) 2 ,D X = = 0, PX 2 2 证明证明 只证明连续型情况只证明连续型情况. 设概率密度为设概率密度为X( ( ) ) fx P
7、X ( ( ) ) x fx dx = = ( )( ) 2 2 x x fx dx ()( )()( ) 2 2 1 xfx dx + + 2 2 = = 注:注: 另一形式另一形式 2 2 1PX ( () ) 1 XE X P ( () ) 2 . D X PX 2 2 1 () kk k E Xx p = = = = ( ()( )( )E Xxfx dx + + = = ()()()() 2 D XEXE X = 2 2 D XE XE X= （ ）（）（ ） （ ）（）（ ） PXE X() 2 D X() 数学期望的性质（假设期望存在）数学期望的性质（假设期望存在） 1、若 是常
8、数、若 是常数, 则；则；( ( ) )E cc= = c ( () )( () )E cXcE X= =2、 是常数、 是常数, ；c ( () )( () )( ( ) )E XYE XE Y+=+=+3、可推广可推广！(未必独立未必独立); 4、相互独立、相互独立, 则则.可推广可推广!( () )( () )( ( ) )E XYE XE Y=,X Y 方差的性质（假设方差存在）方差的性质（假设方差存在） 1、设若是常数,则、设若是常数,则;c( ( ) )0D c = = 2、 是常数,则、 是常数,则;( ()()() 2 D cXc D X= = c 3、 与 相互独立、 与 相互独立, 则则XY( () )( () )( ( ) )D XYD XD Y+=+=+ 4、这里、这里, 即以概率1取常数即以概率1取常数. ()()0D X = = 1P Xc= = =( () )cE X= = Xc