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1、第六节独立性第六节独立性 一、独立性的概念 二、独立概型概率的计算 一、独立性的概念 二、独立概型概率的计算 一、独立性的概念一、独立性的概念 例例 掷两枚色子，观察出现点数：掷两枚色子，观察出现点数： A甲出现6点；甲出现6点；B乙出现6点. 含 乙出现6点. 含66 个元素，个元素，S 6 1 6 1 =)(,)(BPAP () 1 6 =PB A() 1 6 6 = P AB ()( ) P B AP B= ()( )( )P ABP A P B= 定义定义 设为两事件，若设为两事件，若 BA,( () )( ( ) )( ( ) )P ABP A P B= = 则称与为则称与为相互独立
2、的事件相互独立的事件. . AB 注注1:若与独立若与独立, AB 则 与 ， 与 ，与 也相互独立（4对中有一 对独立，则另外3对也独立）. 则 与 ， 与 ，与 也相互独立（4对中有一 对独立，则另外3对也独立）. A B A B AB ( () ) UUAA BBABAB=证明证明 ( ( ) )( ( ) )( () )P A P BP AB=+=+( )( )( () )( () ) P AP ABP AB=+=+ ( ( ) )( ( ) )1P AP B = = ( ( ) )( ( ) )P A P B= =()()( )( )( ( ) )( ( ) )P ABP AP A
3、P B= 注2注2:若:若 ,)(,)(00BPAP 则 与 独立和 与则 与 独立和 与 ABAB 不相容不能同时成立不相容不能同时成立.（由独立和不相容的 定义） （由独立和不相容的 定义） ( () )( ( ) )( ( ) )P ABP A P B= = 定理定理设、 为两事件，设、 为两事件，AB且，且，0 )(AP 则 、相互独立则 、相互独立A B ()( )P B AP B= 定义定义设 、三事件，设 、三事件，A BC ()( )()( ) ( ( ) ()( ) ( ) ()( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) ) ()( ) ( ) ()( ) ( ) ()( )
4、 ( ) ( ) , , , , P ABP A P B P ACP A P CA B C A B C P BCP B P C P ABCP A P B P C = = = = 两两相互独立 相互独立 = = = = 两两相互独立 相互独立 注注：两两独立相互独立.：两两独立相互独立.CBA,CBA, 例例 有四张卡片有四张卡片, 110101011000 ( () ) 1 P A= = ( () ) 12 P A A ( () ) 123 P A A A 任取一张，任取一张， i A“取到的卡片第 位上 数字是1 取到的卡片第 位上 数字是1”， ., 321= =i i ()()()()
5、23 21 42 P AP A= = ()()()() 2313 1 4 P A AP A A= = 0= = 可见两两独立,但不相互独立. 可见两两独立,但不相互独立. CBA, CBA, 推广推广 , n AAAL 21相互独立是指相互独立是指:对任意对任意 :k nk 1 ,都有都有 )()()()( ikiiikii APAPAPAAAPLL 2121 = = ( () ) 2301 1 121L n nn nnnnn CCCCCn+ +=+=+=+= 二、独立概型概率的计算二、独立概型概率的计算 注注：实际应用中，独立性往往不根据定义 判断，而据实际意义判断（这需注意） ：实际应用中
6、，独立性往往不根据定义 判断，而据实际意义判断（这需注意）. 例例1 设设 ,)(aAP= =,.)(30= =BP 70.)(= = BAP 试问试问: (1)若 与 互不相容若 与 互不相容, AB?= =a (2) 若 与 相互独立若 与 相互独立,A B?= =a 解解 ()() P AB= ( ( ) )( ( ) )( ( ) )( () )( () )1P AP BP BP AB= += + ( ( ) )( () )1P AP AB= += + B A AB AB ( ( ) )( ( ) )( () ) P AP BP AB+ (1)0.7100.3aa= +=AB = =
7、(2) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )07 1.,P AP A P B= += + 0 710 3aa= += + 3 7 a= B A AB AB 例例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进射击， 三人击中的概率分别为 甲、乙、丙三人同时对飞机进射击， 三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为飞机被一人击中而被击落的概率为0.2， 被两人击中而被击落的概率为 ， 被两人击中而被击落的概率为0.6， 都击中，求飞机被击落的飞机必定被击落 ， 都击中，求飞机被击落的飞机必定被击落. 概率. 若三人 概率. 若三人 i B-飞机被 人击中飞机被 人击中,i
8、设设解解 飞机被击落飞机被击落C ( )( )P C = =()()()() 3 1 ii i P C BP B = = 123123123 A A AA A AA A A 1 =B ()()()()( () ) ( () )( () )( () )( () )( () ) ( () )( () ) 1123123123 P BP AP AP AP AP AP AP AP AP A=+=+ 0 36.= = () 2 0.41P B= 2123123123 UUBAA AAA AAA A= = 3123 BA A A= = ( () )( () )( () )()() 3123 0 14.P
9、BP AP AP A= ( )( )()()()() 3 1 ii i P CP C BP B = = = = 0 2 0 360 6 0 410 14 10 458= =+ =+ = i B-飞机被 人击中飞机被 人击中i设设 例3例3如果一危险情况 发生时，一电路闭合并 发出警报，我们可以借用两个或多个开关并 联以改善可靠性，在 发生时这些开关每一个 都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报 就发出.如果两个这样的开关并联联接，它们 每个具有0.96的可靠性（即在情况发生时 闭合的概率），问这时系统的 如果一危险情况 发生时，一电路闭合并 发出警报，我们可以借用两个或多个开关并 联以改善可靠
10、性，在 发生时这些开关每一个 都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报 就发出.如果两个这样的开关并联联接，它们 每个具有0.96的可靠性（即在情况发生时 闭合的概率），问这时系统的可靠性可靠性（即电 路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可 靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多 少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是 相互独立的. （即电 路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可 靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多 少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是 相互独立的. C C C 解解设分别表示开关闭合设分别表示开关闭合 BA, 可靠性为可靠性为 ( )( )( ( ) )( (
11、 ) )( ( ) )P AP BP A P B= =+()() UP A B = =( )( )( ( ) )( () )P AP BP AB+ + 2 0.9620.960.9984= 记表示第 个不能闭合，记表示第 个不能闭合， i Ci 则若记系统失败为时有, 则若记系统失败为时有, C12n CC CC=L ( )() 12n P CP C CC=L()()()() 12 1 0.960.04 n n n P CP CP C=L 此时系统可靠性为此时系统可靠性为 ( )11 0.04 n P C= 则得，即至少三个则得，即至少三个 3= =n 令令10.040.9999 n 开关并联
12、.开关并联. ()() ()() ()() () () () () ()()()()() () () ()()()()() ()() ()()U () ii i k PA n PB A PAB PB A PA PABPB A PA PAPA BP B PBA PAB = = = = = = = = 直接求 定义的含义 条件 求概率 间接求全概率 贝叶斯 直接求 定义的含义 条件 求概率 间接求全概率 贝叶斯 小结：小结： 第 一 章 内 容 总 框 图 第 一 章 内 容 总 框 图 随机试验与事件随机试验与事件 样本空 与事件 样本空 与事件事件概率的直观意义事件概率的直观意义 排列 组合 排列 组合 古典 概率 古典 概率 几何 概率 几何 概率 统计 概率 统计 概率 概率的 公理 概率的 公理 加法公 及其应 加法公 及其应 乘法公 及其应用 乘法公 及其应用 条件概率 事件的关 与运算 事件的关 与运算 概率 性质 概率 性质 事件的独立性事件的独立性 全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式 贝叶斯公式 几 种 定 义 概 率 的 方法几 种 定 义 概 率 的 方法