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1、第 2 节 向心力与向心加速度第 2 节 向心力与向心加速度 学习目标核心提炼 1.知道什么是向心力和向心加速度。 2.理解向心力的效果、来源，并会分析向心力。 3.掌握向心力、 向心加速度的公式并会相关的计算。 2 个概念向心力、向心加速度 6 个表达式Fm Fm2r v2 r Fmr a a2r ar 42 T2 v2 r 42 T2 一、向心力及其方向 阅读教材第 7173 页“向心力”部分，知道向心力的概念及方向。 1.定义：做圆周运动的物体，受到的始终指向圆心的效果力。 2.方向：始终指向圆心，总是与运动方向垂直。 3.作用效果：向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心力不做功
2、。 4.来源 ： 可能是弹力、重力、摩擦力或是它们的合力或分力。做匀速圆周运动的物体，向心 力就是物体受到的合外力，做非匀速圆周运动的物体，向心力不是物体所受到的合外力。 二、向心力的大小 阅读教材第 7273 页“向心力的大小”部分，知道向心力的表达式，并会简单应用。 1.实验探究 控制变量探究内容 m、r相同，改变探究向心力F与角速度的关系 m、相同，改变r探究向心力F与半径r的关系 、r相同，改变m探究向心力F与质量m的关系 2.公式：Fm2r或Fm。 v2 r 思考判断 (1)探究向心力大小与哪些因素有关应采用控制变量法。( ) (2)做匀速圆周运动的物体线速度越大，所需向心力越大。(
3、 ) (3)做匀速圆周运动的物体运动半径越大，所需向心力越大。( ) 答案 (1) (2) (3) 三、向心加速度 阅读教材第 70 页“向心加速度”部分，知道向心加速度的概念，知道向心加速度方向的变 化特点。了解向心加速度与线速度、角速度及半径的几个关系表达式。 1.定义：做圆周运动的物体受到向心力的作用，存在一个由向心力产生的加速度。 2.大小：a或a2r。 v2 r 3.方向：与向心力的方向一致，始终指向圆心。 4.匀速圆周运动的性质：匀速圆周运动是加速度大小不变、方向不断改变的变加速运动。 思维拓展 (1)有人说：根据a可知，向心加速度与半径成反比，根据a2r可知，向心加速度与 v2
4、r 半径成正比，这是矛盾的。你认为呢？ (2)试分析做变速圆周运动的物体，其加速度的方向是否指向圆心。 答案 (1)不矛盾。说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与 半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾。 (2)做变速圆周运动的物体，加速度的方向并不指向圆心。 对匀速圆周运动向心力的理解与应用 要点归纳 1.向心力的特点 (1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。 (2)大小：Fmmr2mvmr。在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速 v2 r 42 T2 圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。 2.向心力的作用效果 ： 由于向心力
5、的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度 的大小，只改变线速度的方向。 3.向心力的来源 常见几个实例分析： 实例向心力示意图 用细线拴住的小球在竖直面 内转动至最高点时 绳子的拉力和小球的重力的合力 提供向心力，F向FG 用细线拴住小球在光滑水平 面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向T 物体随转盘做匀速圆周运动， 且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心 力，F向f 小球在细线作用下，在水平面 内做圆周运动 小球的重力和细线的拉力的合力 提供向心力，F向F合 木块随圆桶绕轴线做圆周运 动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心 力，F向N 精典示例 例 1 关于向心力的说法正确的
6、是( ) A.物体由于做圆周运动还受到一个向心力 B.向心力可以是任何性质的力 C.做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力 D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心 解析 力是改变物体运动状态的原因， 因为有向心力物体才做圆周运动， 而不是因为做圆周 运动才产生向心力，也不能说物体还受一个向心力，故 A 错误 ； 向心力是效果力，可以是任 何一种性质的力， 故 B 正确 ； 物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心， 其大小不变， 方向时刻改变，故 C 错误 ； 只有匀速圆周运动中，合外力提供向心力，而非匀速圆周运动中 向心力并非物体所受的合外力，而是合外力指向圆心的分力提供向心力，故 D
7、 错误。 答案 B 例 2 如图 1 所示， 水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)， 连接物体和转轴的绳 子长为r， 物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的倍， 转盘的角速度由零逐渐增大， 求 ： 图 1 (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为时，绳子对物体拉力的大小。 3g 2r 解析 (1)当绳子拉力为零，恰由最大静摩擦力提供向心力时，即转速达到最大，设此时转 盘转动的角速度为0，由mgm r得0。 2 0 g r (2)当时，0， 所以由绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力， 此时，F 3g 2r mgm2r 即Fmgmr，得Fmg。 3g 2r 1 2
8、答案 (1) (2)mg g r 1 2 “一、二、三、四”求解圆周运动问题 针对训练 1 (2018株洲高一检测)如图 2 所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物 块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔O。当小球A在水平板上绕O点做半径 为r的圆周运动时，物块B刚好保持静止。求： 图 2 (1)轻绳的拉力； (2)小球A运动的线速度大小。 解析 (1)物块B受力平衡，故轻绳拉力Tm2g (2)小球A做匀速圆周运动的向心力等于轻绳拉力T，根据牛顿第二定律得m2gm1v 2 r 解得v m2gr m1 答案 (1)m2g (2) m2gr m1 向心加速度的理解 要点归纳 1.物理
9、意义 ： 描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的 快慢。 2.方向：不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所 以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。 3.无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。 精典示例 例 3 (多选)关于向心加速度，以下说法正确的是( ) A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 解析 向心加速度的方向沿半
10、径指向圆心， 速度方向则沿圆周的切线方向， 所以向心加速度 的方向始终与速度方向垂直， 只改变线速度的方向， 选项 A、 B 正确 ； 物体做匀速圆周运动时， 只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项 D 正确 ； 物体做变速圆周运动时，物体 的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，选项 C 错误。 答案 ABD 针对训练 2 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( ) A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B.向心加速度表示角速度变化的快慢 C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢 D.匀速圆周运动的向心加速度不变 解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速
11、度只改变速度的方向，显然 A 项错误 ； 匀速圆周 运动的角速度是不变的，所以 B 项错误 ； 匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变 化， 加速度作为反映速度变化快慢的物理量， 向心加速度只描述速度方向变化的快慢， 所以 C 项正确；向心加速度的方向是时刻变化的，所以 D 项错误。 答案 C 向心加速度公式的理解和应用 要点归纳 1.向心加速度的几种表达式 2.向心加速度与半径的关系 (1)若一定，根据a2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。 (2)若v一定，根据a可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。 v2 r (3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
12、精典示例 例 4 (多选)一个小球以大小为a4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r1 m，则 下列说法正确的是( ) A.小球运动的角速度为 2 rad/s B.小球做圆周运动的周期为 s C.小球在ts 内通过的位移大小为 m 4 20 D.小球在 s 内通过的路程为零 解析 由a2r得角速度2 rad/s，A 对；周期T s，B 对；小球在t a r 2 s 内通过 圆周，位移大小为r m，C 错 ； 小球在 s 内通过的路程为一个圆周的长 4 1 4 22 度 2r2 m，D 错。 答案 AB 向心加速度公式的应用技巧 (1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。 (2)在
13、线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径 成正比。 (3)向心加速度公式a和a2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。 v2 r 针对训练 3 (2018徐州高一检测)如图 3 所示，一球体绕轴O1O2以角速度旋转，A、B 为球体上两点。下列说法中正确的是( ) 图 3 A.A、B两点具有相同的角速度 B.A、B两点具有相同的线速度 C.A、B两点具有相同的向心加速度 D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心 解析 A、B都随球体一起绕轴O1O2旋转， 转一周所用时间相等， 故角速度相等， 有AB ，A 正确；A做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆
14、心，设球半径为R，故A的轨道 半径rARsin 60，B的轨道半径rBRsin 30， 所以两者的线速度vArAR， 3 2 vBrBR，显然，vAvB，B 错误 ； 两者的向心加速度aArA2R2，aBrB2 1 2 3 2 R2，显然，两者的向心加速度也不相等，C 错误；又两者的向心加速度指向各自的圆心， 1 2 并不指向球心，所以 D 错误。 答案 A 1.(对向心力的理解)(2018泰州高一检测)关于做匀速圆周运动的物体所需的向心力， 下列 说法正确的是( ) A.物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用 B.物体所受的合力提供向心力 C.向心力是一个恒力 D.向心力是根据性质命名的
15、一种力 答案 B 2.(对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( ) A.向心加速度越大，物体速率变化越快 B.向心加速度越大，物体转动得越快 C.向心加速度方向始终与速度方向垂直 D.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 答案 C 3.(向心力的来源分析)如图4所示， 一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动， 在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下 列说法正确的是( ) 图 4 A.木块A受重力、支持力和向心力 B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反 C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向
16、圆心 D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同 解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度， 所以， 它在竖直方向上受重力和支持 力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静 摩擦力的方向指向圆心O。 答案 C 4.(向心加速度公式的应用)(2018广州高一检测)(多选)如图 5 所示的皮带传动装置， 主动 轮的半径与从动轮的半径之比R1R221，A、B分别是两轮边缘上的点， 假定皮带不打滑， 则下列说法正确的是( ) 图 5 A.A、B两点的线速度之比为vAvB12 B.A、B两点的线速度之比为vAvB11 C.A 、B两点的
17、加速度之比为aAaB12 D.A、B两点的加速度之比为aAaB21 解析 皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，A 错误，B 正确；由a知两轮上A、B v2 r 点的向心加速度跟两轮的半径成反比，故 C 正确，D 错误。 答案 BC 5.(向心力的分析)如图 6 所示， 天车下吊着两个质量都是m的工件A和B， 系A的吊绳较短， 系B的吊绳较长。若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的拉力FA和FB的大小关系为 ( ) 图 6 A.FAFB B.FAFB C.FAFBmg D.FAFBmg 解析 设天车原来的速度大小为v， 天车突然停止运动，A、B工件都处于圆周运动的最低点， 线速度均为v。由于
18、Fmgm，故拉力Fmgm，又由于rArB，所以FAFB，A 正确。 v2 r v2 r 答案 A 6.(向心力的计算)如图 7 所示，一位链球运动员在水平面内旋转质量为 4 kg 的链球，链球 每 1 s 转一圈，转动半径为 1.5 m，求： 图 7 (1)链球的线速度大小； (2)链球做圆周运动需要的向心力大小。 解析 (1)vr2r T m/s9.42 m/s。 2 3.14 1.5 1 (2)根据向心力公式Fmv 2 r 可得F N236.6 N。 4 9.422 1.5 答案 (1)9.42 m/s (2)236.6 N 基础过关 1.物体做匀速圆周运动的条件是( ) A.有一定的初速
19、度，且受到一个始终与初速度垂直的恒力作用 B.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向变化的力的作用 C.有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用 D.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向始终和速度垂直的合力作用 解析 做匀速圆周运动的物体， 必须受到一个大小不变、 方向时刻指向圆心的向心力的作用， 且其向心力等于合力，故只有 D 正确。 答案 D 2.在水平冰面上， 狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。 能正确表示雪橇受到的牵引力F 及摩擦力f的图是( ) 解析 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向； 因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆
20、心。由此可知 C 正确。 答案 C 3.如图 1 所示， 一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动， 则关于老鹰受力的说法正确的是 ( ) 图 1 A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用 B.老鹰受重力和空气对它的作用力 C.老鹰受重力和向心力的作用 D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用 解析 老鹰在空中做圆周运动， 受重力和空气对它的作用力两个力的作用， 两个力的合力充 当它做圆周运动的向心力。 但不能说老鹰受重力、 空气对它的作用力和向心力三个力的作用。 选项 B 正确。 答案 B 4. (2018徐州高一检测)链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转 动几圈，如图
21、 2 所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速 转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角将随链球转速的增大 而增大，则以下几个图象中能描述与的关系的是( ) 图 2 解析 设链条长为L， 链球质量为m， 则链球做圆周运动的半径rLsin ， 向心力F mgtan ，而Fm2r。由以上三式得2 ，即2，D 正确。 g L 1 cos 1 cos 答案 D 5.如图 3 所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径 为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r22r1，r31.5r1，A、B、C分别是三个轮 边缘上的点，
22、则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( ) 图 3 A.123 B.243 C.843 D.362 解析 因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率，根据向心 加速度公式a，可得aAaBr2r121。由于B、C是固定在同一轮上的两点，所以 v2 r 它们的角速度相同。根据向心加速度公式ar2，可得aBaCr2r321.5。由此得 aAaBaC843，故选 C。 答案 C 6.如图 4 所示， 在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。 若圆筒和物体 以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是( ) 图 4 A.物体所受弹力增大，摩擦力增大 B.
23、物体所受弹力增大，摩擦力减小 C.物体所受弹力减小，摩擦力减小 D.物体所受弹力增大，摩擦力不变 解析 物体在竖直方向上受重力G与摩擦力f，是一对平衡力，在水平方向上受弹力N，根 据向心力公式，可知Nm2r，当增大时，N增大，所以应选 D。 答案 D 7. (2018武汉高一检测) (多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计) 固定于O点，在O点正下方 处钉有一颗钉子。如图 5 所示，将悬线沿水平方向拉直无初速 L 2 度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( ) 图 5 A.小球的角速度突然增大 B.小球的线速度突然减小到零 C.小球的向心加速度突然增大 D.小球的向心加速度不
24、变 解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力， 故小球的线速度不能发生突变， 由 于做圆周运动的半径变为原来的一半，由vr知，角速度变为原来的 2 倍，A 正确，B 错 误；由a知，小球的向心加速度变为原来的 2 倍，C 正确，D 错误。 v2 r 答案 AC 8. (多选)如图 6 所示，一圆环以直径AB为轴做匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列 说法正确的是( ) 图 6 A.向心加速度的大小aPaQaR B.任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向相同 C.线速度vPvQvR D.任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同 解析 R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上，且它们的轨道
25、平面互相平行，因此三点的角 速度相同， 由于向心加速度方向也相同且指向轴AB， 由ar2可知 ：aPaQaR， 又由vr 可知vPvQvR，选项 A 错误，B、C 正确 ； 三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们 的线速度方向相同，选项 D 错误。 答案 BC 能力提升 9.(2018济南高一检测)如图 7 所示，“旋转秋千”中的两个坐椅A、B质量相等，通过相 同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。 不考虑空气阻力的影响， 当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速 转动时，下列说法正确的是( ) 图 7 A.A的速度比B的大 B.A与B的向心加速度大小相等 C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D.悬挂A
26、的缆绳所受的拉力比悬挂B的小 解析 在转动过程中，A、B两座椅的角速度相等，但由于B座椅的半径比较大，故B座椅 的速度比较大，向心加速度也比较大，选项 A、B 错误；A、B两座椅所需向心力不等，而重 力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，选项 C 错误；根据Fm2r判断A座椅的向心力 较小，所受拉力也较小，选项 D 正确。 答案 D 10.如图 8 所示，将完全相同的两小球A、B，用长L0.8 m 的细绳悬于以v4 m/s 向左匀 速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张 力之比FAFB为(g10 m/s2)( ) 图 8 A.11 B.12 C.13 D
27、.14 解析 小车突然停止，B球将做圆周运动，所以FBmmg30m；A球做水平方向上的减 v2 L 速运动，FAmg10m，故此时悬线中张力之比为FAFB13，选项 C 正确。 答案 C 11.一轿车以 30 m/s 的速率沿半径为 60 m 的圆形跑道行驶， 当轿车从A运动到B时， 轿车与 圆心的连线转过的角度为 90，求： (1)轿车的周期多大？ (2)此过程中轿车通过的路程是多少？ (3)轿车运动过程中的向心加速度是多大？ 解析 (1)由v得轿车的周期T s4 s 2r T 2r v 2 60 30 (2)轿车通过的路程即轿车通过的弧长，轿车与圆心的连线转过的角度为 90，即经过的时 间
28、tT s 1 4 所以svt30 m30 m (3)向心加速度a m/s215 m/s2 v2 r 302 60 答案 (1)4 s (2)30 m (3)15 m/s2 12.如图 9 所示，AB为固定在竖直平面内的 光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切， 1 4 其半径为R，质量为m的小球由A点静止释放，试求： 图 9 (1)小球滑到最低点B时，小球速度v的大小； (2)小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力N的大小。 解析 (1)由动能定理得mgRmv2，则v，即小球滑到最低点B时，小球速度v的大 1 2 2gR 小为v。2gR (2)在B处，对小球由牛顿第二定律得Nmgm，则N3mg，即小球刚到达最低点B时， v2 R 轨道对小球支持力N的大小为 3mg。 答案 (1) (2)3mg2gR