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1、5.6 正弦定理和余弦定理,大一轮复习讲义,第五章 三角函数、解三角形,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,ZHISHISHULI,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况,3.三角形常用面积公式,1.在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?
2、,【概念方法微思考】,提示 在ABC中，由AB可推出sin Asin B.,2.如图，在ABC中，有如下结论：bcos Cccos Ba.试类比写出另外两个式子.,提示 acos Bbcos Ac； acos Cccos Ab.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.( ),1,2,3,4,5,6,(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P10B组T2在ABC中，
3、acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ .,等腰三角,形或直角三角形,解析 由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B， 即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B， 即AB或AB ， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.,1,2,3,4,5,6,sin B1，B90，,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形,解析 由已知及正弦定理得sin C0，cos B0，B为钝角， 故ABC为钝角三角形.,1,2,3,4,
4、5,6,角B不存在，即满足条件的三角形不存在.,6.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则C .,解析 由3sin A5sin B及正弦定理，得3a5b.又因为bc2a，,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 利用正、余弦定理解三角形,师生共研,所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B,(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.,(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解
5、方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.,跟踪训练1 (1)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于,解析 在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A， bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)， cos Asin A，tan A1，A(0，)，A ， 故选C.,题型二 和三角形面积有关的问题,师生共研,例2 (2016浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2ac
6、os B. (1)证明：A2B；,证明 由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B， 于是sin Bsin(AB). 又A，B(0，)，故0AB， 所以B(AB)或BAB， 因此A(舍去)或A2B，所以A2B.,由sin B0，得sin Ccos B.,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,解析 c2(ab)26，c2a2b22ab6. ,由得ab60，即ab6.,题型三 正弦定理、余弦定理的应用,例3 (1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C
7、所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形,多维探究,命题点1 判断三角形的形状,因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc， 从而ABC为等腰三角形. 方法二 由正弦定理可得sin A2sin Bcos C， 因此sin(BC)2sin Bcos C， 即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C， 于是sin(BC)0，因此BC0，即BC， 故ABC为等腰三角形.,(2)(2018杭州二中期中)在ABC中，acos Abcos B，则ABC的形状是 A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C
8、.直角三角形 D.以上都可能,化简得(a2b2c2)(ab)(ab)0， 由于ab0，所以a2b2c2或ab， 故选D.,1.本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.,又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB， 故ABC为等边三角形.,命题点2 求解几何问题,(1)求sinABD的值；,解 因为ADAB23，所以可设AD2k，,所以AD2，AB3，,命题点3 解三角形的实际应用,例5 (1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于,解析 如图
9、，在RtACD中，CAD903060，AD60 m，,在RtABD中，BAD907515，,22.6,解析 因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45， 所以BAD60，CAD45， 设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，,在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，,(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系. 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论. (2)求解几何计算问题要注意： 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,(3)在实际问题中，可能会
10、遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. (4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.,2a2a2c2b2，a2b2c2， ABC为直角三角形.,(2)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是 .,解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE. 在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，,在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，,3,课时作业,PART T
11、HREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 a2c2b22cbcos A， 13c292c3cos 60， 即c23c40， 解得c4或c1(舍去).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以A0，且当AB与圆C相切时，角A取得最大值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又因为ab，所以角A为锐角，所以角A的最大值为60， 综上所述，角A的取值范围为0A60，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1
12、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,同理可得BC.ABC的形状为等边三角形.故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以ABC的外接圆面积为R29，故选C.,6.(2018浙东北联盟期中考试)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为,解析 设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线， 交CD的延长线于点B(图略
13、)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2019台州调研)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)如图所示，且BD180，则AC的长为 km.,7,解析 在ABC中，由余弦定理得AC28252285cos B， 在ACD中，由余弦定理得AC23252235cos D，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1
14、5,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018诸暨模拟)如图，已知ABC中，AB8，AC5，BC7，AB的中垂线交BC于点D，则BD ，ADC的面积等于 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018宁波模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知3asin Cccos A. (1)求sin A的值；,解 因为3asi
15、n Cccos A， 所以3sin Asin Csin Ccos A，,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求AC边上的高.,技能提升练,13.在ABC中，a2b2c22absin C，则ABC的形状是 A.不等腰的直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形,由于a2b22ab，当且仅当ab时取等号，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
16、,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，a3，则ABC的周长的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即2abc，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PCBCsin ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,