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1、2.5 绝对值不等式,大一轮复习讲义,第二章 不等式,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.绝对值三角不等式,知识梳理,ZHISHISHULI,(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab| ，当且仅当 时，等号成立. (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么 ，当且仅当_ 时，等号成立.,|a|b|,ab0,|ac|ab|bc|,(ab),(bc)0,2.绝对值不等式的解法,(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：,(a，a),(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法： |axb|
2、c ； |axb|c .,caxbc,axbc或axbc,|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？,提示 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)|x2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离.( ) (2)|x|a的解集是x|xa或x|ab|恒成立.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,
3、5,6,题组二 教材改编,2.P20T7不等式3|52x|9的解集为 A.2,1)4,7) B.(2,1(4,7 C.(2，14,7) D.2,1)(4,7,1,2,3,4,5,6,解析 当x1时，原不等式可化为1x(5x)2， 42，不等式恒成立， x1. 当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2， x4，1x4， 当x5时，原不等式可化为x1(x5)2， 42，此时无解. 综上，原不等式的解集为(，4).,3.P20T8不等式|x1|x5|2的解集是 A.(，4) B.(，1) C.(1,4) D.(1,5),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,题组三 易错自纠,6,4.(2018
4、浙江源清中学月考)已知a，bR，则“|ab|3”是“|a|b|3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 |ab|a|b|， 由|a|b|3可得|ab|3， 又当a4，b2时，|ab|3成立， 而|a|b|3不成立， 故“|ab|3”是“|a|b|3”的必要不充分条件.,5.若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是 A.2,4 B.1,2 C.2,4 D.4，2,1,2,3,4,5,6,解析 |xa|x1|(xa)(x1)|a1|， 要使|xa|x1|3有解， 则|a1|3，3a13，2a4.,6.若不等式|2x1|x2|a2
5、a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析 设y|2x1|x2|,当x5；,故函数y|2x1|x2|的最小值为 .,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 绝对值不等式的解法,自主演练,1.(2018浙江嘉兴七校期中)不等式1|2x1|2的解集为,解析 不等式等价于12x12或22x11，,2.(2018宁波北仑中学期中)若关于x的不等式|x1|x3|a23a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是,解析 (|x1|x3|)max2，,3.不等式|x1|x2|5的解集为_.,x|x3或x2,解析 方法一
6、 要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分. 当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5， 解得x3； 当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5， 即35，无解； 当x1时，不等式等价于x1x25， 解得x2. 综上，不等式的解集为x|x3或x2.,方法二 |x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示， 数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2， 故满足不等式|x1|x2|5的x的取值范围为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3或x2.,1,解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.
7、 (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式. (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,题型二 利用绝对值不等式求最值,师生共研,例1 (1)(2018浙江温州十校联考)对于任意实数a和b(b0)，不等式|ab|ab|b|(|x1|x2|)恒成立，则实数x的取值范围是_.,由|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|， 得m2，当且仅当(|a|b|)(|a|b|)0，,即|a|b|时，取等号，,解析 由已知得M(x，y)|x2y1|，M(x，y)|y2x1|， 则2M(x，y)|x2y1|y2x1| |(x2y1)(y2x1)|x2xy2y2|,求
8、含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|. (3)利用零点分区间法.,解析 由题意，得当t0时，该不等式无解； 当t0时，因为|xt22|xt22t1|xt22(xt22t1)|2t1， 要使原不等式无解， 则需3t2t1， 解得0t1. 综上所述，实数t的取值范围为(，1，故选C.,当且仅当(x2)(x8)0时等号成立，,题型三 绝对值不等式的综合应用,师生共研,例2 (2018浙江省杭州重点中学期中)已知函数f(x)x|xa|1. (1)当a1时，解不等式f(x)x1；,解 当a1时，f(x)x|x1|1，
9、 由不等式f(x)x1，得x|x1|x. 当x1时，不等式化为x(x1)x， 即x22x0，解得1x2. 当x1时，不等式化为x(1x)x， 即x20，解得x1. 综上，不等式的解集是x|x2.,解析 由x1,4，可知x10恒成立，,即|tm|m14，t4,5恒成立，,即5mm14恒成立，,(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题. (2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决. (3)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩. (4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数.,解 由于a3，
10、故当x1时，(x22ax4a2)2|x1|x22(a1)(2x)0， 当x1时，(x22ax4a2)2|x1|(x2)(x2a). 所以，使得等式F(x)x22ax4a2成立的x的取值范围是2,2a.,解 设函数f(x)2|x1|，g(x)x22ax4a2， 则f(x)minf(1)0，g(x)ming(a)a24a2，,(2)求F(x)的最小值m(a)；,求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).,当a4时，348a2； 当3a2，,3,课时作业,PART THREE,1.不等式|2x1|3的解集是 A.(1,2) B.(1,2) C.(2，1) D.(，2)(2，),基础保分练,1,2,3
11、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 |2x1|332x131x2.,2.不等式|2x1|x2|1 D.x|x1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 原不等式即为|2x1|x2|， 4x24x1x24x4， 3x23，1x1. 方法二 原不等式等价于不等式组,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上可得1x1， 原不等式的解集为x|1x1.,3.若集合Ax|x1|1，B2，1,0,1,
12、2，则集合AB等于 A.0,2 B.2,2 C.0,1,2 D.2，1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由|x1|1得0x2， 所以集合Ax|0x2， 所以AB0,1,2，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018嘉兴市教学测试)已知数列an为等差数列，且a81，则2|a9|a10|的最小值为 A.3 B.2 C.1 D.0,解析 记y2|a9|a10|，设数列an的公差为d， 则a91d，a1012d， 所以y2|1d|12d|22d|12d|(22d)(12d)|1， 当且仅
13、当(22d)(12d)0时，取等号，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以f(x)3，即|2x1|3，即2x13或2x13， 即x2或x1，故选B.,6.已知f(x)2x24x1，设有n个不同的数xi(i1,2，n)满足0x1x2xn3，则满足|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|M的M的最小值是 A.10 B.8 C.6 D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,
14、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由二次函数的性质得f(x)2x24x1在(0,1)上单调递减， 在(1,3)上单调递增， 且f(0)1，f(1)3，f(3)5， 则当x10，xn3， 且存在xi1时，|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|取得最大值， 最大值为|f(x1)f(xi)|f(xi)f(xn)|1(3)|35|10， 所以M的最小值为10，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为|f(x)f
15、(xl)2|f(x)f(xl)|max|2f(x)2|，|2f(xl)2|， 所以|2f(x)2|2或|2f(xl)2|2， 即f(x)2或f(xl)2的解集为R，,8.(2018金华十校调研)若a，b，cR，且|a|1，|b|1，|c|1，则下列说法正确的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知，1abbcca3，对于选项A，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对a，b，c分别取特殊值， 取a1，b1，c0，排除选项B， 取a1，b0，c1，排除选项C，故选A.,9.若关于x的不等式|x|xa
16、|b的解集为(2,1)，则实数a_，b_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由不等式与方程的关系知，2,1恰为方程|x|xa|b的两根，,1,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当a0时，不等式恒成立； 当a0时，原问题可转化为当1x3时，,即mx(3x)恒成立.设f(x)x(3x)(x1,3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
17、,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由绝对值不等式的性质得|x1|x|y1|y1|(1x)x|(1y)(1y)|3，,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令b2ax，a2by， |x|y|xy|xy， |x|y|1xy1
18、， 而反之xy1|x|y|1， 故是充分不必要条件，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以实数a的取值范围为(，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,不等式|f(2x)|5|f(2x1)|等价于|2x1|5|2x2|，等价于|2x1|2x2|5，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2018绍兴嵊州市适应性考试)已知a0，若集合AxZ|2x2xa
19、2|2x2xa2|2a0中的元素有且仅有2个，则实数a的取值范围为_.,1,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为|2x2xa2|2x2xa2|(2x2xa2)(2x2xa2)|2a， 当且仅当a2x2x2a时等号成立， 所以集合A中有且仅有两个元素等价于不等式a2x2x2a有且仅有两个整数解.,又f(2)8，f(1)1，f(0)2，f(1)1，f(2)4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,作出函数yf(x)的图象如图所示， 由图知，要使a2x2x2a有两个整数解，则1a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,