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1、9.6 椭 圆,大一轮复习讲义,第九章 平面解析几何,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以填空题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做 .这两个定点F1，F2叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若 ，则集合P为
2、椭圆； (2)若 ，则集合P为线段； (3)若 ，则集合P为空集.,ZHISHISHULI,椭圆,焦距,焦点,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,3.椭圆的第二定义 平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l( )的距离的_是常数 (0e1)的点的轨迹是椭圆.定点F是 ，定直线l是 ，常数e是 .,点F不在直线l上,比,e,焦点,准线,离心率,1.在椭圆的定义中，若2aF1F2或2aF1F2，动点P的轨迹如何？ 提示 当2aF1F2时动点P的轨迹是线段F1F2；当2aF1F2时动点P的轨迹是不存在的. 2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系
3、？,【概念方法微思考】,3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断. 提示 点P(x0，y0)和椭圆的位置关系有3种,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( ) (2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ),基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,7,8,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,解析 当焦点在x轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.
4、 m4或8.,4或8,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,2,解析 m2m21，m2a2，m21b2，c21.,7,8,(3,1)(1,5),1,2,3,4,5,6,解得3m5且m1.,题组三 易错自纠,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,其中d表示P点到右准线的距离记为PD，,当且仅当P，A和D三点共线时，值最小，,7,8,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,第1课时 椭圆及其性质,题型一 椭圆的定义及应用,自主演练,1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使
5、M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是_.,椭圆,解析 由条件知PMPF， POPFPOPMOMROF. P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.,设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得BABFCACF2a， 所以ABC的周长为BABCCABABFCFCA,4.已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则PAPF的最大值为_，最小值为_.,设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，,又AF1PAPF1AF1 (当P，A，F1共线时等号成立)，,椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长
6、、面积及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.,例1 (1)已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_.,题型二 椭圆的标准方程,命题点1 定义法,多维探究,(2)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是_.,解析 由ACBC188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).,命题点2 待定系数法,(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法. (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F
7、2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.,椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，2a12，a6，,其焦点在y轴上，且c225916.,c216，且c2a2b2，故a2b216. ,题型三 椭圆的几何性质,多维探究,命题点1 求离心率的值(或范围),解析 方法一 如图，在RtPF2F1中，PF1F230，F1F22c，,方法二 (特殊值法)： 在RtPF2F1中，令PF21，,整理得x2y25c22a2，,而PF2的最小值为ac，,所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)， 所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所
8、以5c22ac3a20，所以5e22e30. 又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21. ,命题点2 求参数的值(或范围),(0,19，),解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上，则0m3，点M(x，y). 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0). 故tanAMBtan(AMNBMN),结合0m3解得0m1. 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9. 则m的取值范围是(0,19，).,方法二 当0m3时，焦点在x轴上， 要使C上存在点M满足AMB120，,当m3时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足AMB120，,故m的取值范围为(0,19，).,命题点3 椭圆的第二定义,(
9、1)求椭圆的标准方程；,解 由题意知OP的斜率存在.,当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为ykx.,(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系. 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围.,解析 设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P到右准线的距离为d10，,4,又PF1PF22a10，
10、解得PF14， 故点P到椭圆左焦点的距离为4.,解析 由椭圆的方程可知a2， 由椭圆的定义可知，AF2BF2AB4a8，,离心率0e1，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2. 设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.,解析 因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，b)，A(a,0)，,因为B2FAB1，所以acb20，即c2aca20，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PF12aPF21064.,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
11、,12,13,14,15,16,在RtFOB中，OFOBBFOD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,根据椭圆的定义，得PF1PF22a6， 结合PF14，得PF26PF12. 在F1PF2中，根据余弦定理，,结合三角形的内角的范围，可得F1PF2120.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15,所以342PF1PF264，所以PF1PF215.
12、,解析 因为BC过椭圆的中心，所以BC2OC2OB， 又ABBC，BC2AB，所以OAB是以角B为直角的等腰直角三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABx轴，A，B两点的横坐标为c，,a2b2c2， 由解得a29，b26，c23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,
13、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设m为椭圆的右准线，过A，B作AA1，BB1垂直于m，A1，B1为垂足，过B作BEAA1于E，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍
14、以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：,其中正确式子的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确； a1c1a2c2PF，即式正确；,即式正确，式不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,椭圆的长轴长和短轴
15、长分别为2a2和2b1，,(1)求椭圆C的离心率的取值范围；,解 设PF1m，PF2n，则mn2a. 在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆C的短半轴长b有关.,证明 由(1)知4c24a23mn，在椭圆中a2c2b2，,即F1PF2的面积只与短半轴长b有关.,技能提升练,13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭
16、圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为_.,解析 过F1的直线MF1是圆F2的切线， F1MF290，MF2c，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,得3x212x182b20，由12243(182b2)0，解得b23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为PF2是PF1F2的一边，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,