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1、高考数学（浙江专用）,2.3 二次函数与幂函数,考点 二次函数与幂函数,考点清单,考向基础 一、二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.,2.图象及性质,3.二次函数的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a0); (2)顶点式:若二次函数图象的顶点为(h,k),则二次函数为y=a(x-h)2+k(a 0); (3)两根式:若二次函数的图象与x轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),则二次函 数为y=a(x-x1)(x-x2)(a0). 4.二次函数在闭区间上的最值问题 y=f(x)=a(x-h)2+k(a0)在m,n上的最值问题: (
2、1)hm,n时,ymin=f(h),ymax=maxf(m), f(n). (2)hm,n时, 当hm时, f(x)在m,n上单调递增,ymin=f(m),ymax=f(n);,当hn时, f(x)在m,n上单调递减,ymin=f(n),ymax=f(m). 5.三个“二次”的关系,6.一元二次方程根的分布,二、幂函数 1.幂函数的定义 一般地,形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,为常数. 2.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象,3.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的性质,考向突破,考向一 求二次函数的最值,例1 (2017浙江镇海中学
3、模拟卷(五),17)已知f1(x)=x+1,且fn(x)=f1(fn-1(x) (n2,nN*),若关于x的函数y=x2+nfn(x)- n+10(nN*)在区间(-,-2上 的最小值为-3,则n的值为 .,解析 由题意知, fn+1(x)=fn(x)+1,所以fn(x)=fn(x)-fn-1(x)+fn-1(x)-fn-2(x)+ f2(x)-f1(x)+f1(x)=n-1+f1(x)=x+n,因此y=x2+nx+n2- n+10(nN*). 当- -2,即n4,nN*时,y的最小值在x=-2处取得,即n2- n+14=-3,所以n =3; 当- -2,即n4,nN*时,y的最小值在x=-
4、处取得,即 =-3, 所以n=6. 综上,n的值是3或6.,答案 3或6,考向二 幂函数的性质,例2 (2018福建六校联考,13)若幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不经 过坐标原点,则实数m的值为 .,解析 由题意得m2-3m+3=1,解得m=1或2.当m=1时,y=x-2,其图象不过原 点,符合题意; 当m=2时,y=x0,其图象不过原点,符合题意,m=1或2.,答案 1或2,方法1 解决一元二次方程根的分布问题的方法 对于方程根分布的问题,一般结合二次函数的图象从四个方面分析: (1)开口方向;(2)对称轴位置;(3)判别式;(4)端点函数值.,方法技巧,例1 (2017浙江绍兴教学
5、质量调测(3月),17)已知a,bR且0a+b1, 函数f(x)=x2+ax+b在 上至少存在一个零点,则a-2b的取值范围为 .,解析 解法一:设t=a+b,t0,1,则a=t-b.设x0 为方程x2+ax+b=0 的根,则b=- -ax0. 所以b=- -(t-b)x0,因此b= ,故a-2b=t-3b=t+3 =t +3 . 因为t0,1,所以a-2b . 再设u=1-x0 ,则 =3 =3 0(当=1时取等号), =3+ -81(当=1时取等号). 综上可知,a-2b0,1.,解法二:因为函数f(x)=x2+ax+b在 上至少存在一个零点, 所以 或 即 或 作出a,b所确定得可行域(
6、图略)可知,当a=b=0时,a-2b有最小值0;当a=1,b,=0时,a-2b有最大值1,所以a-2b的取值范围是0,1.,答案 0,1,方法2 二次函数的区间最值问题的解法 二次函数的区间最值问题一般有三种情况: (1)对称轴、区间都是给定的; (2)对称轴动,区间固定; (3)对称轴定,区间变动. 解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两 个端点和中点,一轴是指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类 讨论的思想即可完成. 对于(2)、(3)两种情况,通常要对对称轴与x轴交点的横坐标在区间内与 在区间外进行讨论.,例2 (2018浙江重点中学12月联考,3)已知函数
7、y=x2-4x+1的定义域为1, t,在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是 ( ) A.(1,3 B.2,3 C.(1,2 D.(2,3),解题导引,解析 当13时,函数y=x2-4x+1在区间1,2上为减函数,在区间2,t上为增函数, 则最大值为y=t2-4t+1,最小值为y=22-42+1=-3,则有t2-4t+1-3=-5,得t=1或t =3,都不符合题意. 故2t3.,答案 B,方法3 幂函数的图象、性质及应用 幂函数y=x的性质和图象因的取值不同而不同,一般可从三方面考察: (1)的正负:0时,图象经过点(0,0)和点(1,1),在第一象限的部分“上 升”;1时,曲线下凸,01时,曲线上凸,0 时,曲线下凹; (3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函 数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性. 注意重点掌握=1,-1,2, ,3时,这五个幂函数的图象、性质及应用. 特别警示:无论取何值,幂函数的图象必经过第一象限,且一定不经过 第四象限.,例3 (2017江西九江七校联考,4)幂函数f(x)=(m2-4m+4) 在(0,+) 上为增函数,则m的值为 ( ) A.1或3 B.1 C.3 D.2,解题导引,解析 由题意得m2-4m+4=1,m2-6m+80,解得m=1,选B.,答案 B,