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1、 2.4 二次函数和幂函数,教材研读,1.幂函数,2.二次函数,考点突破,考点一 二次函数的解析式,考点二 二次函数的图象与性质,考点三 二次函数的综合问题,考点四 幂函数的图象与性质,1.幂函数 (1)定义:形如 y=x(R) 的函数称为幂函数,其中底数x是自变量, 为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1. (2)性质 a.幂函数在(0,+)上都有定义; b.当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增; c.当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.,教材研读,2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(
2、x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式 a.一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0) ; b.顶点式: f(x)=a(x-h)2+k(a0) ; c.两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) . (3)二次函数的图象和性质,(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直 线 x= 对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+m)=f(- x+n),则图象关于直线 x= 对称.,1.(教材习题改编)下图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图象,则a,b,c 的大
3、小关系为 ( D ),A.cba B.abc C.bca D.acb,2.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x(0,+)上为增函数,则实数m的 值是 ( B ) A.-1 B.2 C.3 D.-1或2,3.(2018浙江温州高三月考)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)0,f(p)0 B.f(p+1)0 C.f(p+1)=0 D.f(p+1)的符号不能确定,4.(教材习题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点 ,则此函数的解析 式为 y= ;在区间 (0,+) 上递减.,5.已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间1,2上具有单调性,则实数a的取值范围 是 (-,12,+)
4、 .,二次函数的解析式 典例1 已知二次函数f(x)满足 f(3)=f(-1)=-5,且f(x)的最大值是3,求函数f (x)的解析式.,考点突破,解析 设f(x)=ax2+bx+c(a0), 依题意得 解得 所以二次函数的解析式为f(x)=-2x2+4x+1.,方法指导 在求二次函数的解析式时,要灵活地选择二次函数解析式的表达形式: (1)已知三个点的坐标,应选择一般式; (2)已知顶点坐标或对称轴与最值,应选择顶点式; (3)已知函数图象与x轴的交点坐标,应选择两根式.,1-1 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR)满足条件:当xR时, f(x- 4)=f(2-x),且f(
5、x)x;当x(0,2)时,f(x) ;f(x)在R上的最小值 为0. (1)求f(x)的解析式; (2)求最大的m(m1),使得存在tR,只要x1,m,就有f(x+t)x.,解析 (1)由f(x-4)=f(2-x)知,对称轴为直线x=-1,由知开口向上,即a0, 又最小值为0,故f(x)=a(x+1)2,由知f(1)1;由知f(1) =1,故f(1) =1,代入得a= ,所以f(x)= (x+1)2. (2)由题意知,在区间1,m上函数y=f(x+t)的图象恒在直线y=x的下方,且m 最大,故1和m是关于x的方程 (x+t+1)2=x(*)的两个根,将x=1代入(*),得t= 0或t=-4,当
6、t=0时,方程(*)的解为x1=x2=1(这与m1矛盾).当t=-4时,方程(*) 的解为x1=1,x2=9,所以m=9.又当t=-4时,对任意x1,9,恒有(x-1)(x-9)0, (x-4+1)2x,即f(x-4)x,所以m的最大值为9.,典例2 已知函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象可能是 ( D ),二次函数的图象与性质 命题方向一 二次函数图象识别问题,解析 由abc,且a+b+c=0,得a0且c0,所以f(0)=c0,所以函数y=ax2+ bx+c的图象开口向上,且与y轴的交点在y轴的负半轴上,故选D.,规律总结 识别二次函数图象,主要根据开口方向(
7、a的正负)和图象上的特殊点以 及图象反映出来的函数性质进行判断,必要时,要根据不同情况进行分 类讨论.,典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. (1)求使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数的实数a的取值范围; (2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,命题方向二 二次函数的单调性问题,解析 (1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=- =-a, 要使f(x)在-4,6上为单调函数,只需-a-4或-a6,解得a4或a-6. 故a的取值范围是(-,-64,+). (2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 = 其图象如图所示.,x-4,6,f
8、(|x|)在区间-4,-1)和0,1)上为减函数,在区间-1,0)和1,6 上为增函数.,探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数,求a的取值范围.,解析 f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上为增函数, -a-4,即a4.,探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+),求a为何值.,解析 f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为-4,+), -a=-4,即a=4.,典例4 设函数f(x)=x2-2x,x-2,a(a-2),若函数的最小值为0,则a= 0 .,命题方向三 二次函数的最值问题,解析 f(x)=x2-2x=(x-1)2-1, 当a1时,
9、f(x)min=f(1)=-10,不符合题意; 当-2a1时, f(x)min=f(a)=a2-2a, 若函数的最小值为0,则a2-2a=0, 解得a=2(舍去),或a=0, 综上可知a=0.,规律总结 解答二次函数的最值问题,通常采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+ n(a0)的形式,得其图象顶点(m,n)或对称轴方程x=m,常见题型有三种: 顶点固定,区间固定; 顶点含参数,区间固定; 顶点固定,区间变动.,同类练 设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).当b= +1时,求函数f(x)在-1,1上 的最小值g(a)的表达式.,解析 当b= +1时, f(x)= +1, 故对称
10、轴为直线x=- . 当- 1,即a-2时,g(a)=f(1)= +a+2. 当-1- 2时,g(a)=f(-1)= -a+2.,综上,g(a)=,变式练 (2019台州中学月考)若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最 小值为4,则a的取值集合为 ( C ) A.-3,-1 B.-1,3 C.-3,3 D.-1,-3,3,解析 f(x)=x2-2x+1=(x-1)2, 故函数图象的对称轴是x=1. 因为f(x)在区间a,a+2上的最小值为4, 所以当1a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3, 当a+21,即a-1时,ymin=f(a+2)=(a+1
11、)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3, 当a1a+2,即-1a1时,ymin=f(1)=04,不符合题意. 故a的取值集合为-3,3.,深化练 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x-1,1上恒小于零,求实 数a的取值范围.,解析 由题可知2ax2+2x-30在-1,1上恒成立. 当a=0时,符合题意; 当a0时,x=0时,有-30恒成立; x0时,a - , 因为 (-,-11,+), 当 =1,即x=1时,不等式右边取最小值 . 所以a ,且a0.,综上,实数a的取值范围是 .,典例5 设a0,(3x2+a)(2x+b)0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为( A ) A
12、. B. C. D.,命题方向四 一元二次不等式恒成立问题,解析 当ab0时,(3x2+a)(2x+b)0在(a,b)上恒成立,可转化为x (a,b),a-3x2,所以a-3a2,所以- a0,所以b-a ;当a0b时,当x=0时, (3x2+a)(2x+b)=ab0,不符合题意;当a0=b时,由题意知x(a,0),(3x2+a) 2x0恒成立,所以3x2+a0,所以- a0,所以b-a .综上所述,b-a的 最大值为 .故选A.,规律总结 二次函数中的恒成立问题的解题关键是根据二次函数的图象、单调性 得出关于参数的不等式,进而求得参数的范围. 常用的转化方法:f(x)0恒成立f(x)min0
13、;f(x)0恒成立f(x)max0.,2-1 已知函数f(x)=(lo x)2+alo x+4,若对任意的x , f(x)6恒成 立,则实数a的最大值为 ( A ) A.-1 B.1 C.-2 D.2,解析 令t=lo x,因为x ,所以t(0,2,则问题可转化为对任意的t (0,2,t2+at+46恒成立,即a = -t对任意的t(0,2恒成立,因为y = -t在t(0,2上单调递减,所以ymin=1-2=-1,所以a-1,即实数a的最大值 为-1.故选A.,典例6 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR). (1)若对任意实数a,总存在实数m,当xm-1,m+1时,使得f(x)0恒成立
14、, 求b的最大值; (2)若存在xR,使不等式f(x)-ax-b2|x-a|-|x+1-a|成立,求a的取值范围.,二次函数的综合问题,解析 (1)易知=a2-4b0,由x2+ax+b0, 得 x , 依题意知,对任意实数a,总存在实数m, 使得m-1,m+1 ,所以 - 2,即4ba2-4对于任意实数a恒成立. 故4b-4,即b-1,故b的最大值为-1. (2)先求使不等式x22|x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值范围. 当xa-1时,不等式化为x2-x-1+a2(a-x),即x2+x-1a,亦即a - . 若a-1- ,即a ,则与a- 矛盾.,若a-10,解得a1+ 或a
15、2(a-x),即x2+3x+13a,亦即3a - . 若a-1- a,即- a- ,则3a- ,即a- ,所以- a- . 若a-1- ,即a- ,则3a(a-1)2+3(a-1)+1,即a2-2a-10,解得a1+ 或a1+ . 若a1+ . 当xa时,不等式化为x2+x+1-a2(x-a), 即x2-x+1-a,亦即-a + , 若a ,则-aa2-a+1恒成立,所以a .,若a- ,所以- - . 综合得,使不等式x22|x-a|-|x+1-a|对任意xR恒成立的a的取值 范围是- a1- . 故存在xR,使不等式f(x)-ax-b2|x-a|-|x+1-a|成立的a的取值范围是a 1-
16、 或a- .,规律总结 二次函数的综合问题中,最典型的就是二次函数与不等式的综合问题, 其中又以三个“二次”问题最为典型,也就是二次函数、二次方程和二 次不等式的综合问题. 它们常结合在一起,而二次函数又是其核心,所以,利用二次函数的图象 (数形结合)是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题 常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方 面入手处理.,3-1 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)在区间(0,1)上有两个零点,则3a+b 的取值范围是 (-5,0) .,解析 由题意得 画出不等式组所表示的区域, 如图中阴影部分所示(不包括边界),易知直线a+
17、b+1=0与抛物线b= a2相 切于点A(-2,1),平移直线l:3a+b=0,可得3a+b(-5,0),故填(-5,0).,典例7 已知幂函数f(x)= (mZ)为偶函数,且在区间(0,+)上是 单调增函数,则f(2)的值为 16 .,幂函数的图象与性质,解析 根据幂函数的性质可得-m2-2m+30,即m2+2m-30,解得-3m1, 又mZ,故m的可能取值为-2,-1,0.当m=-2时,-m2-2m+3=3,不合题意;当m= -1时,-m2-2m+3=4,符合题意;当m=0时,-m2-2m+3=3,不合题意.所以f(x)=x4, 所以f(2)=24=16.,方法指导 研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x( R)的相关性质,再辅之以数形结合的方法,这类问题就会迎刃而解.如 果不是基本的幂函数,那么通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数 指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式),然后根据得到的根式(分 式)研究幂函数的性质.幂函数的定义域就是使这些分式或根式有意义 的自变量的集合,直接利用定义判断其奇偶性和单调性.,4-1 若函数f(x)是幂函数,则f(1)= 1 ,若满足f(4)=8f(2),则f = .,解析 设f(x)=x(R), 则f(1)=1.由f(4)=8f(2)得4=82, 则2=+3,=3,则f(x)=x3,则f = .,