《2020版广西高考人教A版 数学（理）一轮复习课件：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版广西高考人教A版 数学（理）一轮复习课件：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 .pptx（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值,(2)可导函数f(x)在区间a,b上单调递增,则有 在区间a,b上恒成立. (3)可导函数f(x)在区间a,b上单调递减,则有 在区间a,b上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f(x)在该区间内 .,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是 .,单调递增,单调递减,常数函数,f(x)0,f(x)0,不变号,
2、-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)=0, 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 确定函数的定义域,并求f(x); 求方程 的根;,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,检查方程 的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 .
3、,f(x)=0,极大值,极小值,3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在区间a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在区间a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤. 求f(x)在区间(a,b)内的 ; 将f(x)的各极值与 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,f
4、(a),f(b),2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f(x)0. ( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( ),答案,6,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( ),答案,解析,6,-8-,知识梳理,双基自测
5、,2,3,4,1,5,6,3.函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是( ) A.(0,1) B.(1,+) C.(-,1) D.(-1,1),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,4.函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,5.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,6.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)
6、的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为 .,答案,解析,-12-,考点1,考点2,考点3,考向一 讨论函数的单调性或求单调区间 例1(2018全国,理21)已知函数f(x)= -x+aln x. (1)讨论f(x)的单调性;,思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,(2)证明：由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1, 不妨设x11.,-16-,考点1,考点2,考点3,考向二 已知函
7、数单调性求参数的取值范围,思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么?,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法 (1)方法一:确定函数y=f(x)的定义域; 求导数y=f(x); 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)方法二:确定函数y=f(x)的定义域; 求导数y=f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根; 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这
8、些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;,-19-,考点1,考点2,考点3,确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 要特别注意的是,涉及含参数的单调性或单调区间的问题,一定要弄清参数对导数f(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.,-20-,考点1,考点2,考点3,2.由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法 (1)可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)对xD恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f(x)
9、0(或f(x)0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.,-21-,考点1,考点2,考点3,若a=1,求函数f(x)的单调区间; 若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,求a的取值范围.,对点训练1(1)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,讨论f(x)的单调性;,-22-,考点1,考点2,考点3,解:(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). 若a=0,则f(x)=
10、e2x,在(-,+)单调递增. 若a0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,例3已知函数f(x)=x-aln x(aR). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?,-26-,考点1,考点2,考点3,-27-,考点1,考点2,考点3,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a
11、-aln a,无极大值. 综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.,-28-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程:,-29-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex
12、-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1,A,-30-,考点1,考点2,考点3,解析:由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点, 所以f(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.,-31-
13、,考点1,考点2,考点3,(2)已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,cR)的导函数f(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线的斜率为4-c. 确定a,b的值; 若c=3,判断f(x)的单调性; 若f(x)有极值,求c的取值范围.,解:对f(x)求导,得f(x)=2ae2x+2be-2x-c, 由f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x)恒成立,即2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以a=b. 又f(0)=2a+2b-c=4-c, 故a=1,b=1. 当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,则,故f(x)在R上为增函数.,-32-,考点1,考点2,考
14、点3,由(1)知f(x)=2e2x+2e-2x-c,当且仅当x=0时等号成立. 下面分三种情况进行讨论: 当c0,此时f(x)无极值; 当c=4时,对任意x0,f(x)=2e2x+2e-2x-40,此时f(x)无极值; 当c4时,令e2x=t,当x0; 当x1xx2时,f(x)0;,-33-,考点1,考点2,考点3,当xx2时,f(x)0,从而f(x)在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值. 综上,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+).,-34-,考点1,考点2,考点3,-35-,考点1,考点2,考点3,解 (1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+). 当且仅当x=0时,
15、f(x)=0, 所以f(x)在(-,-2),(-2,+)内单调递增. 因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1. 所以(x-2)ex-(x+2), 即(x-2)ex+x+20.,由(1)知,f(x)+a在定义域上单调递增. 对任意a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0. 因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.,-36-,考点1,考点2,考点3,-37-,考点1,考点2,考点3,解题心得求函数f(x)在a,b上的最值的方法: (1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值. (2)若函数在闭区间a,b内
16、有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.,-38-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是( ),答案,解析,-39-,考点1,考点2,考点3,(2)已知函数f(x)=excos x-x. 求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;,解：因为f(x)=excos x-x, 所以f(x)=ex(cos x-
17、sin x)-1,f(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1. 设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.,-40-,高频小考点用导数的方法求参数的取值范围 典例1若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在区间(-,+)内单调递增,则a的取值范围是( ),-41-,-42-,-43-,A.1,+) B.(1,+) C.0,+) D.(0,+) 答案D 解析若至少存在一个x01,e,使得f(x0)g(x0)成立,即f(x)-g(x)0在x1,
18、e时有解.,-44-,故(x)在区间1,e上单调递增, 即min(x)=(1)=0,因此a0即可.故选D.,-45-,典例3设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是 ( ),答案D 解析设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0,即为g(x)h(x). 因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),-46-,而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线. 如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.,显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数解有无数多个. 函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交,-47-,-48-,反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.,