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1、 2.3 函数的奇偶性与周期性,教材研读,1.函数的奇偶性,2.奇(偶)函数的性质,3.周期性,4.周期函数常用的三个结论,考点突破,考点一 函数奇偶性,考点二 函数图象的对称性,考点三 函数周期性,考点四 函数性质的综合应用,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函
2、数 .,(4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,知识拓展 与函数奇偶性相关的结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,xD,其中定义域D 是关于原点对称的非空数集. (3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自 变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(
3、x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,4.周期函数常用的三个结论 (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2|a|; (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2|a|; (3)若f(x+a)=- ,则函数的周期为2|a|.,知识拓展 与函数周期相关的其他结论 (1)若f(x+a)= ,则函数的一个周期为2|a|; (2)若函数f(x)的图象关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的一个周期为2|b-a|; (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)
4、对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的一个周期为2|b-a|; (4)若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的,一个周期为4|b-a|; (5)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则函数f(x)的周期为2|a|; (6)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则函数f(x)的周期为4|a|.,1.(教材习题改编)函数f(x)= 的大致图象为 ( D ),解析 因为f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且在(0,+)上为减函 数,所以排除B、C. 又因为f(-x)= = =f(x), 所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称
5、,排除A,故选D.,2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( D ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x|,解析 y=x+1是非奇非偶函数;y=-x3是减函数;y= 在(0,+)上为减 函数;y=x|x|为奇函数,当x0时,y=x2为增函数,由奇函数性质得y=x|x|在R 上为增函数,故选D.,3.设函数f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(x)= x3-x2+1,则f(1)= ( B ) A.-1 B.1 C.-2 D.2,解析 f(1)+g(1)=1, f(-1)+g(-1)=-f(1)+g(1)=-1,两式相减并化简得f(1)
6、=1.,4.已知f(x)是定义在m,4m+5上的奇函数,则m= -1 ,当x0时, f(x)= lg(x+1),则当x0时, f(x)= -lg(1-x) .,解析 由奇函数的定义区间关于原点对称可知m+4m+5=0,解得m=-1.当 x0,此时f(-x)=lg(-x+1)=-f(x),故f(x)=-lg(1-x),即当x0时, f(x)=-lg(1 -x).,函数奇偶性 命题方向一 函数奇偶性的判定 典例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3- ; (2)f(x)= + ; (3)f(x)=,考点突破,解析 (1)原函数的定义域为x|x0,关于原点对称, 并且对于定义域内的任意一个
7、x都有 f(-x)=(-x)3- =- =-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称, 且f(-1)=f(1)=0, f(-1)=-f(1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x0时, f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x0时, f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时, f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.,规律方法 判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法,(2)图象法 f(x)的图象 (3)性质法 设f(
8、x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= 奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇. 提醒 (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立 的.,(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各 段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.,典例2 (1)已知函数f(x)= 的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx 是偶函数,则logab= ( B ) A.1 B.-1 C.- D. (2)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x0时, f(x)=1+2x-x2,则函数f(x)的解 f(x)= 析式是 .,命
9、题方向二 函数奇偶性的应用,解析 (1)由题意得f(0)=0,a=2. g(x)是偶函数,g(1)=g(-1), ln(e+1)-b=ln +b, b= ,logab=log2 =-1.故选B. (2)设x0,f(x)是奇函数,f(-x)=1-2x-x2=-f(x), 即x0时, f(x)=-1+2x+x2, 又易知f(0)=0, f(x)=,规律总结 已知函数奇偶性可以解决的4个问题 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性 求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=
10、0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出参数的方程或方程(组),进而得出参数的值.,(4)画函数图象:利用奇偶性可画出对称区间上的图象.,1-1 (2015课标全国理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则 a= 1 .,解析 由已知得f(-x)=f(x), 即-xln( -x)=xln(x+ ), 则ln(x+ )+ln( -x)=0, ln( )2-x2=0, 得ln a=0,a=1.,1-2 已知函数f(x)=asin x+bx3+x2-x+2,且f(2)=4,则f(-2)= 8 .,解析 令g(x)=asin x+bx3, 易知g(x)为奇函数, g(x)=-g(-
11、x),又 f(-2)+f(2)=g(2)+g(-2)+12=12, f(2)=4,f(-2)=8.,1-3 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= + ; (2)f(x)=,解析 (1)因为函数f(x)= + 的定义域为 ,不关于坐标原 点对称, 所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)易知函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称. 当x0时, f(x)=x2+x,则当x0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x0时,-x0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.,典例3 (1)已知定义域为R的函数f(x)在(8,+)上为减函数,且函数y=f(
12、x +8)为偶函数,则 ( D ) A.f(6)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10) (2)已知函数f(x)= ,其图象关于点(-3,2)对称,则f(2)的值是 .,函数图象的对称性,解析 (1)由y=f(x+8)为偶函数可知y=f(x)的图象关于直线x=8对称,而y=f (x)在(8,+)上是减函数,则在(-,8)上为增函数,故选D. (2)因为函数f(x)= =a+ , 所以函数的对称中心为(b,a). 又因为函数f(x)= ,其图象关于点(-3,2)对称, 所以a=2,b=-3. 所以函数f(x)的解析式为f(x)= ,所以f(2)= = .,规律
13、方法 (1)若函数满足f(x+t)=f(t-x)(或f(x)=f(2t-x),则函数关于直线x=t对称,若函数满足f(x+2t)=f(x),则函数f(x)以2t(t0)为周期. (2)若函数y=f(x)的对称中心为(a,b),根据函数y=f(x)图象上任意点关于该对称中心的对称点也在此函数图象上,利用恒等式求解.,2-1 (2019温州中学月考)用mina,b表示a,b两数中的最小值.若函数f (x)=min|x|,|x+t|的图象关于直线x=- 对称,则t的值为 ( D ) A.-2 B.2 C.-1 D.1,解析 由于函数f(x)的值是两个函数y1=|x|,y2=|x+t|的值中的较小者,
14、因此f (x)在不同的定义域内取值不同,故需作出其图象求解. 在同一坐标系中,分别作出函数y=|x|与y=|x+t|的草图(如图).由题意知f(x) 的图象为图中的实线部分(A-B-C-O-E).由于f(x)的图象关于直线x=- 对 称,于是 =- ,所以t=1.,2-2 函数f(x)= 的图象的对称中心是(4,1),则a= 3 .,解析 因为f(x)= = =1+ ,所以函数f(x)图象的对称 中心是(a+1,1). 由已知得a+1=4,故a=3.,典例4 (1)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),函数y=f(x-2)的图象关于y轴对 称,当0x2时, f(x)=log2 x2,
15、则下列结论中正确的是 ( A ) A.f(4.5)f(7)f(6.5) B.f(7)f(4.5)f(6.5) C.f(7)f(6.5)f(4.5) D.f(4.5)f(6.5)f(7) (2)(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1) 上, f(x)= 其中aR.若f =f ,则f(5a)的值 是 - .,函数周期性,解析 (1)由f(x+2)=f(x-2)易得f(x)=f(x+4), 即f(x)是以4为周期的周期函数. 由y=f(x-2)的图象关于y轴对称, 得y=f(x)的图象关于直线x=-2对称, 又f(x)的周期为4, 所以f(x)的图象关于直
16、线x=2对称. f(4.5)=f(0.5), f(7)=f(3)=f(1), f(6.5)=f(2.5)=f(1.5). 当0x2时, f(x)=log2x2,当0x2时, f(x)是单调递增函数. 又00.511.52, f(0.5)f(1)f(1.5), f(4.5)f(7)f(6.5), 故选A.,(2)f(x)是周期为2的函数,f =f =f , f =f =f ,又f =f ,f =f ,即- +a= ,解得a= ,则f(5a)=f(3)=f (4-1)=f(-1)=-1+ =- .,3-1 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2,且对任意实数x都有f(x+2)=- ,则f(2
17、 019)= - .,解析 对任意的实数x都有f(x+2)=- , 则f(x+4)=- =f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数, 由2 019=5044+3,知f(2 019)=f(3), f(3)=f(1+2)=- =- ,f(2 019)=- .,典例5 (1)已知奇函数f(x)在R上单调,若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个 零点,则实数的值是 ( C ) A. B. C.- D.- (2)(2016天津理,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0) 上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(- ),则a的取值范围是 .,函数性质的综合应用 命题
18、方向一 奇偶性与单调性的综合应用,解析 (1)令f(2x2+1)+f(-x)=0, 则f(2x2+1)=-f(-x). 因为f(x)是奇函数,所以f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-). 又因为f(x)在R上单调,所以2x2+1=x-, 整理得2x2-x+1=0, 由y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点知方程f(2x2+1)+f(-x)=0只有一个根, 即2x2-x+1=0只有一个根,所以=(-1)2-42(+1)=0,解得=- . (2)由题意知函数f(x)在(0,+)上单调递减.因为f(2|a-1|)f(- ), f(- )=f ( ),所以f(2|a-1|)f( ),所以2|
19、a-1| ,解得 a .,方法指导 在遇到偶函数时,合理利用性质f(x)=f(|x|),可以避免分类讨论,从而简化解题过程.,4-1 已知函数f(x)= +x3,则不等式f(2a)+f(1-a)0的解集为 ( C ) A.(0,+) B.-1,+) C.(-1,+) D.0,+),解析 因为f(x)= +x3=1- +x3,所以f(x)在R上是增函数,又f(-x)= -x3=- =-f(x),所以f(x)在R上是奇函数.所以f(2a)+f(1-a)0 f(2a)-f(1-a)=f(a-1)2aa-1a-1,故选C.,典例6 (1)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 01
20、7)= ( B ) A.-2 017 B.0 C.1 D.2 017,命题方向二 函数奇偶性与周期性的综合应用,(2)已知函数f(x)的定义域为R.当x 时, f =f .则f(6)= ( D ) A.-2 B.-1 C.0 D.2,解析 (1)y=f(x)是R上的周期为2的奇函数,所以f(x)=f(x+2),所以f(1)=f(- 1)=-f(1),所以f(1)=f(-1)=0.所以f(2 017)=f(1)=0,故选B.,(2)当x 时,由f =f 可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知 f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故
21、选D.,方法指导 利用函数的奇偶性和周期性可以把所求问题转化到性质已知的区间求 解.,4-2 已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x1时, f(x)=4x, 则f + f(1)= -2 .,解析 f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=-f(-x), 又f(x)的周期为2,f(x+2)=f(x),f(x+2)=-f(-x), 即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0, f(1)=0. 又f =f =-f =- =-2, f +f(1)=-2.,典例7 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间 1,2上是减函数,
22、则f(x) ( B ) A.在区间-2,-1上是增函数,在区间3,4上是增函数 B.在区间-2,-1上是增函数,在区间3,4上是减函数 C.在区间-2,-1上是减函数,在区间3,4上是增函数 D.在区间-2,-1上是减函数,在区间3,4上是减函数,命题方向三 函数奇偶性与对称性,解析 由f(x)=f(2-x),得函数f(x)关于x=1对称, 又因为f(x)在R上是偶函数,所以f(x)关于y轴对称. 又因为f(x)在区间1,2上是减函数, 所以f(x)在0,1上为增函数,在-1,0上为减函数,故函数f(x)的大致图象 如图所示.由图可知B正确.,4-3 偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称
23、, f(3)=3,则f(-1)= 3 .,解析 因为f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以f(4-x)=f(x), 又f(3)=3,所以f(4-1)=f(1)=f(3)=3,即f(1)=3. 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以f(-1)=f(1)=3.,典例8 已知函数f(x+1)是偶函数,且满足f(x+1)= ,当2x2x11时,f (x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,设a=f(-2 016),b=f(2 015),c=f(),则a,b,c的大小 关系为 acb .,命题方向四 函数性质的综合应用,解析 y=f(x+1)是偶函数,y=f(x+1)的图象关于y轴对
24、称.函数y=f(x) 的图象向左平移1个单位可得y=f(x+1)的图象,y=f(x)的图象关于直线x =1对称.f(x+1)= ,f(x+2)= =f(x),函数f(x)是周期为2的函 数.当2x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,函数f(x)在1,2上单 调递增.a=f(-2 016)=f(0)=f(2),b=f(2 015)=f(1),c=f()=f(-2),又1cb.,方法指导,1.关于奇偶性、单调性、对称性的综合性问题,关键是利用奇偶性将未 知区间上的问题转化为已知区间上的问题. 2.掌握以下两个结论,会给解题带来方便: f(x)为偶函数f(x)=f(|x|).
25、若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0.,3.判断函数的奇偶性需注意5点 (1)判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定 义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (2)f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件. (3)对于解析式比较复杂的函数,有时需要将函数化简后再判断它的奇 偶性,但一定要先考虑它的定义域. (4)对于分段函数,必须分段判断它的奇偶性,只有在每一段上都满足奇 (偶)函数的定义时,才能下相应的结论.,(5)当f(x)0时,奇偶函数定义中的判断式f(-x)=f(x)常被它的变式 =1所替代. 4.判断函数f(x)是奇函数(偶函数
26、),必须对定义域内的每一个x均有f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0)(f(-x0)=f(x0)成立,就可推出此性质.,4-4 设定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xR,都有f(x)=f(2-x),且当x (0,1时, f(x)= ,e为自然对数的底数.若a=f ,b=f ,c=f ,则 ( C ) A.acb B.abc C.cab D.bac,解析 由题意得f(x)=f(2-x)=f(x-2), f(x)是周期为2的周期函数, a=f =f =f , b=f =f =f , c=f =f , 又当x(0,1时, f (x)= 0, f(x)在(0,1上单调递增, , f f f ,即cab.,