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1、2.6 幂函数与二次函数,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,1.幂函数 (1)幂函数的定义:形如 (R)的函数称为幂函数,其中x是 ,是 . (2)五种幂函数的图象,y=x,自变量,常数,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,(3)五种幂函数的性质,R,R,R,0,+),x|xR,且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR,且y0,增,x0,+)时,增, x(-,0)时,减,增,增,x(0,+)时,减, x(-,0)时,减,-4-,知识梳理,双基自测,2,1,2.二次函数 (1)二次函数的三种形式 一般式: ; 顶点式: ,其中 为顶点坐标; 零点式: ,其中 为二次函数的零点.,f(x)=
2、ax2+bx+c(a0),f(x)=a(x-h)2+k(a0),(h,k),f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2,-5-,知识梳理,双基自测,2,1,(2)二次函数的图象和性质,-6-,知识梳理,双基自测,2,1,2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么( ) A.f(-2)f(0)f(2) B.f(0)f(-2)f(2) C.f(2)f(0)f(-2) D.f(0)f(2)f(-2),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,
3、4,1,5,A.bac B.abc C.bca D.cab,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.若幂函数 的图象不经过原点,则实数m的值为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点 则此函数的解析式为 ;在区间 上单调递减.,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不出现在第四象限.至于是否出现在第二、第三象限内,要看函数的奇偶性;若幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.幂
4、函数y=x的系数为1,系数不为1的都不是幂函数;当0时,幂函数在区间(0,+)内都是增函数,当0时,幂函数在区间(0,+)内都是减函数,而不能说在定义域上是增函数或减函数. 3.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a0;当题目条件中未说明a0时,就要讨论a=0和a0两种情况;二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向以及给定区间的范围有关,不能盲目利用配方法得出结论. 4.数形结合的方法是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.,-13-,考点1,考点2,考点3,例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y
5、=f(x)的图象是( ),x1f(x1)x2f(x2);x1f(x1)x2f(x2);,其中正确结论的序号是( ) A. B. C. D.,C,D,-14-,考点1,考点2,考点3,A.bac B.abc C.bca D.cab 思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?,A,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质: (1)幂函数在区间(0,+)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1). (2)当0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)
6、,且在区间(0,+)内单调递增. (3)当1时,曲线下凸;当01时,曲线上凸;当0时,曲线下凸.,-17-,考点1,考点2,考点3,3.比较幂值大小的常见类型及解决方法: (1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较; (2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较; (3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.,-18-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. 思考求二次函数解析式时如何选取恰当
7、的表达形式?,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,解法三 (利用交点式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8, 因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,-23-,考点1,考点2,考点3,解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)已知三个点坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两个交点
8、坐标,宜选用交点式.,-24-,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)= .,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,考向一 二次函数的最值问题 例3设函数y=x2-2x,x-2,a,若函数的最小值为g(x),求g(x). 思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?,-26-,考点1,考点2,考点3,解 函数y=x2-2x=(x-1)2-1, 对称轴为直线x=1, x=1不一定在区间-2,a内, 当-21时,函数在-2,1上单调递减,在1,a上单调递增, 则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.,-
9、27-,考点1,考点2,考点3,考向二 与二次函数有关的存在性问题 例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是 . 思考如何理解本例中对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)?,答案,解析,-28-,考点1,考点2,考点3,考向三 二次函数中的恒成立问题 例5已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,求
10、k的取值范围. 思考由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?,-29-,考点1,考点2,考点3,解 (1)函数f(x)的最小值为f(-1)=0, a=1,b=2. f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-,-1,单调递增区间为-1,+). (2)f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,等价为x2+x+1k在区间-3,-1上恒成立. 设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1上单调递减. 故g(x)min=g(-1)=1. 因此k1,即k的取值范围为(-,1).,-30-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴
11、动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值. 2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1a,b都存在x0a,b,使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在a,b上的取值范,3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键: (1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值.,-31-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1
12、上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 (2)已知当x0,1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a有最大值2,则a的值为 . (3)已知a是实数,当x-1,1时,函数f(x)=2ax2+2x-3恒小于零,则a的取值范围为 .,答案,-32-,考点1,考点2,考点3,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B. (2)函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a0时,f(x)max=f(0)=1-a, 则1-a=2,即a=-1. 当0a1
13、时,f(x)max=a2-a+1, 则a2-a+1=2, 即a2-a-1=0,当a1时,f(x)max=f(1)=a,则a=2. 综上可知,a=-1或a=2.,-33-,考点1,考点2,考点3,(3)由题意知2ax2+2x-30在区间-1,1上恒成立. 当x=0时,-30,符合题意;,-34-,考点1,考点2,考点3,1.幂函数y=x(R)的图象的特征: 当0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限图象从左往右是逐渐上升; 当0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限图象从左往右是逐渐下降. 2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表达式. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.,