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1、2.3 函数的奇偶性与周期性,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,1.函数的奇偶性,f(-x)=f(x),y轴,f(-x)=-f(x),原点,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,2.奇(偶)函数的性质 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇函数奇函数=奇函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数奇函数=偶函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数偶函数=奇函数. (4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.,-4-,知识梳理
2、,双基自测,2,3,4,1,3.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0; 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小正数,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,4.函数周期性的常用结论 对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a. (4)若f(x)
3、是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a. (5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a. (6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|. (7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|. (8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|.,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数. ( ) (2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0. ( ) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(
4、x)的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. ( ) (4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ) (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-,0)内是减函数,则f(x)在区间(0,+)内是增函数. ( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. ( ),答案,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间a-1,2a上的偶函数,则a+b的值是( ),答案,解析,-8-
5、,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.(教材习题改编P39T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,f(x)= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评
6、1.若函数的定义域不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.若函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则有f(0)=0. 3.根据周期函数的定义,函数的周期应是一个非零常数.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x;,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,解 (1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数. 因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数. (3)函数的定义域
7、为x|x0,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 思考判断函数的奇偶性要注意什么?,答案,解析,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题
8、心得判断函数奇偶性的方法: (1)定义法.利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式: =1(f(x)0)判断函数的奇偶性. (2)图象法.利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. (3)性质法.设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,则在它们的公共定义域上,有下面结论:,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)下列函数为奇函数的是( ),D,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,B错,y=ex是非奇非偶函数; C错,y=cos x是偶函数; D中,令y=f(x),f(-x)=e-x-e-(-x)=-(ex-e-x)=-f(x), D为奇函数,故选D.,-18-,考点1,考
9、点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,(4)已知函数g(x)是定义在区间-2,2上的偶函数,当x0时,g(x)单调递减,若g(1-m)g(m),求m的取值范围. 思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?,答案,例3(1)若f(x)是R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=( ) A.x|-22 B.x|04 C.x|x2,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,经检验,a=1时,f(x)为偶函数,解析:(1)当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x)的大致图象,由图象可知,当-22,即04时,有f(x-
10、2)0,故选B.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得函数奇偶性应用的类型及解法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解,根据f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调
11、性.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)已知f(x)满足对任意xR,f(-x)+f(x)=0,且当x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为( ) A.4 B.-4 C.6 D.-6 (2)(2018安徽合肥月考)已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 (3)已知偶函数f(x)在区间0,+)内单调递减,f(2)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围是 .,(4)设a,bR,且a2,若定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg 是奇函数,则a+b的取值范围为 .,
12、-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故选B. (2)设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数, 又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1, 从而f(-a)=0.故选B. (3)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|). 所以f(x-1)0可化为f(|x-1|)f(2). 又f(x)在区间0,+)内单调递减, 所以|x-1|2,解得-2x-12,即-1x3.
13、,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,(4)因为f(x)在区间(-b,b)内是奇函数,例4(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)等于 ( ) A.335 B.336 C.1 678 D.2 012 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=- ,当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)= . 思考函数的周期性主要的应用是什么?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)f(
14、x+6)=f(x),函数f(x)的周期T=6. 当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1.,又f(2 016)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=336.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数f(x)的周期为4. f(105.5)=f(427-2.5) =f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5.,解题心
15、得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)= . (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x0,都有f(x+2)=- ,且当x0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 013)+f(2 015)= .,答案,解析,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x
16、)在区间-1,0上是减函数,则f(x)在区间1,3上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数,(2)(2018全国,文12)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?,D,C,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在0,1上是增函数. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(
17、x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期. 结合以上性质,画出f(x)的部分草图,如图所示.,由图象可以观察出,f(x)在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故选D.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)f(-x)=f(2+x)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0. f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0), f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49
18、)+f(50)=f(1)+f(2)=2.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数
19、,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 014)的值为( ) A.2 B.0 C.-2 D.2,-35-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1). 又g(x)=f(x-1), f(x+1)=-f(x-1). f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数, f(2 018)=f(2)=2.,-36-,考点1,考点2,考点3,考点4,令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=1. 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f
20、(1.5), f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0, 又函数f(x)是周期为3的周期函数, 函数f(x)在区间0,6上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个, 故选D.,-37-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=f(x)f(-x)f(x)=0 =1(f(x)0). 3.函数的奇偶性,对称性,周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.,-38-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.判断函数的奇偶性不可忽视函数定义域. 2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.,