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1、第15讲 曲线的切线,第15讲 曲线的切线 1.已知点P在曲线y= 上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范 围是 .,答案,解析 y= = ,因为ex+ 2 =2,当且仅当x=0时取等号, 所以-1 0,则 .,2.已知P是曲线y= x2- ln x上的动点,Q是直线y= x-1上的动点,则PQ的最小 值为 .,答案,解析 平移直线y= x-1到与曲线y= x2- ln x相切时,切点到直线y= x-1的距 离即为PQ的最小值.由y= x- = ,x0,解得x=2,则切点P ,则PQ的 最小值为 = .,3.已知两曲线f(x)=2sin x,g(x)=acos x,x 相交于点P.若两曲
2、线在点P处 的切线互相垂直,则实数a的值为 .,答案,解析 设P(x0,y0),x0 ,则2sin x0=acos x0,且f (x0)g(x0)=2cos x0(-asin x0)=-1,解得x0= ,a= = .,4.在同一坐标系中,直线l是函数f(x)= 的图象在点(0,1)处的切线,若直线l 也是g(x)=-x2+mx的切线,则m= .,答案 2或-2,解析 函数f(x)= 的图象是单位圆的上半个圆,在点(0,1)处的切线方程 为y=1,则直线y=1与g(x)=-x2+mx的图象相切,则方程-x2+mx=1,x2-mx+1=0有两 个相等的实数根,则=m2-4=0,解得m=2.,题型一
3、 求切线方程,例1 已知函数f(x)=x3-3x及曲线y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l. (1)求和曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线l的方程; (2)求和曲线y=f(x)相切且切点异于P的直线l的方程.,解析 (1)f (x)=3x2-3,f (1)=0, 以P为切点的切线方程为y=-2. (2)设切线l的方程为y-( -3x0)=(3 -3)(x-x0),即y=(3 -3)x-2 .l过点P,-2=3 -3-2 , 即2 -3 +1=0,解得x0=- 或x0=1(舍), 切点异于P并过点P的直线方程是y=- x+ .,【方法归纳】 f (x0)表示曲线y=f(x)在点(
4、x0, f(x0)处的切线斜率,曲线y=f(x) 在点(x0, f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0);求曲线y=f(x)过点(x0,y0)的切 线方程,需要设出切点坐标(x1, f(x1),写出切线方程为y-f(x1)=f (x1)(x-x1),再代 入点(x0,y0)求出x1的值,进而求出切线方程.,1-1 (2018江苏泰州中学高三月考)若幂函数f(x)的图象经过点A(4,2),则它在 A点处的切线方程为 .,答案 x-4y+4=0,解析 设f(x)=xa,则f(4)=4a=2,a= ,则f(x)= , f (x)= , f (4)= ,所以在点A处 的切线方程
5、为y-2= (x-4),即x-4y+4=0.,题型二 求参数的值,例2 (1)(2018南京师大附中高三模拟)若直线y=2x+b是曲线y=ex-2的切线,则 实数b= . (2)(2018南通高三调研)若曲线y=xln x在x=1与x=t处的切线互相垂直,则正数t 的值为 .,答案 (1)-2ln 2 (2)e-2,解析 (1)设切点坐标为(x0, -2),则 解得x0=ln 2,b=-2ln 2. (2)y=ln x+1,则曲线y=xln x在x=1与x=t处的切线斜率分别为1与ln t+1,由两条 切线互相垂直得ln t+1=-1,则正数t的值为e-2.,【方法归纳】 (1)直线与曲线相切
6、时,与切点坐标有关,若题中没有切点,则 需要设出切点坐标,利用切点在曲线上、切点在切线上和在切点处的导数值 等于切线的斜率三个性质建立方程组求解.(2)若两条直线的斜率都存在,且 互相垂直,则斜率乘积为-1.,2-1 (2018常州教育学会学业水平检测)已知函数f(x)=bx+ln x,其中bR.若过 原点且斜率为k的直线与曲线y=f(x)相切,则k-b的值为 .,答案,解析 设切点坐标为(x0,bx0+ln x0),则 解得x0=e,则k-b= = .,题型三 两曲线的公切线,例3 设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函 数的图象在点P
7、处有相同的切线.试用t表示a,b,c.,解析 因为函数f(x),g(x)的图象都经过点P(t,0), 所以f(t)=0,g(t)=0,即t3+at=0,bt2+c=0. 因为t0,所以a=-t2,c=ab. 又因为f(x),g(x)的图象在点P(t,0)处有相同的切线, 所以f (t)=g(t). 由题意知f (x)=3x2+a,g(x)=2bx, 所以3t2+a=2bt. 将a=-t2代入上式得b=t,则c=ab=-t3. 故a=-t2,b=t,c=-t3.,【方法归纳】 两条曲线在交点处有相同的公切线即在交点处的切线斜率 相同,若交点解不出,则需要设出切点坐标,利用交点满足两曲线方程和两条
8、 曲线在该点处的导数值相同建立方程组求解;若两曲线的公切线与两曲线的 切点不相同,则要分别设出切点坐标,分别写出切线方程,再利用两直线重合 的条件求解,或者先求出一条曲线的切线,再与另一条曲线联立.,3-1 曲线y=- (x0)与曲线y=ln x公切线(切线相同)的条数为 .,答案 1,解析 设公切线与曲线y=- ,x0,此时 切线方程为y-ln x2= (x-x2),即为y= x+ln x2-1(2),(1)(2)表示同一直线,则 即 x10,即确定方程1- =2ln(-x),x0解的个数.作出 函数y=1- ,y=2ln(-x),x0的图象,可知有1个交点,即方程1- =2ln(-x),x0有1解,所以两曲线的公切线有1条.,